線性代數(shù) (總復習).ppt

1、-1-,線性代數(shù)總復習,-2-,例1 計算下列行列式,設行列式,解,-3-,例2 計算下列行列式,-4-,例3.,解:,-5-,例4計算,解,-6-,-7-,例5 1）設A、B都是n階方陣，并且AB=0，則,-8-,例6 2）設A、B都是n階方陣，則,-9-,解,-10-,例7,解:,-11-,例題8,解 1）,-12-,例題8,解 2）,-13-,例題8(3) 設方陣A滿足2A2-5A-8E=0，證明A-2E可逆，并,解法1,關鍵：尋求方陣B，使（A-2E）B=E,分析,解法2,令C=A-2E，則得A=C+2E，代入得,得C*B=E， 則C-1=B,-14-,例9,設A是n階矩陣,證明:,-

2、15-,例題9,設矩陣X滿足：AXB=XB+C，求X，其中,由已知，得AXB-XB=C，,則得,顯然A-E、B均可逆，并且,對式（1）左乘（A-E）-1，右乘B-1，得,1、左右次序 2、左右乘逆,解,-16-,例題10-矩陣的秩,r(A)=2,初等變換,-17-,例11,設A是n階矩陣,且,證明：,證明：,-18-,例2,證明元列向量,線性無關的充要,條件是,其中,-19-,例13,是n元的實向量,且,已知,的非零 解向量,試判斷,的線性相關性?,-20-,解:,-21-,例14 求 如下線性方程組的通解,解 對增廣矩陣A進行初等行變換,與T相對應的同解方程組為：,移項并“配齊”得：,則通解

3、為,-22-,例15 討論a、b滿足什么條件時，如下方程組無解、有唯一解、有無窮 多解？有無窮多解時，求其通解。,解 對增廣矩陣A進行初等行變換,-23-,例題15（續(xù)）,則通解為,則得一同解方程組為,-24-,例16,(1) 對齊次線性方程組AX=0來說,以下哪個結論正確?,(2) 對非齊次線性方程組AX= 來說,以下哪個結論正確?,2),5),-25-,例題16（續(xù)）,(4) 齊次線性方程組AX=0有非零解的充分必要條件是,3),4),4),(3),-26-,例題17,解 1）,因為行列式,所以當b=3或b=1時，D=0，線性相關； 否則線性無關。,-27-,例題17續(xù),解 2）,因為,-

4、28-,例題 設,解,-29-,例題(續(xù)),B的極大無關組為：,其余向量由此極大無關組表示為：,因為矩陣的初等行變換不改變列向量組的線性關系，所以,其余向量由此極大無關組表示為：,-30-,例題1,解,1）是；,2）,-31-,例題1（續(xù)）,3）,由（2）即得條件,-32-,相似的充分條件是,； （）,(),有相同的特征值且這些特征值互異；,(),（）,例20,（）,設,且,，則,例21,提示： 由條件得,由,可逆，得,即,再變形,從而,可逆并且有下面答案,-33-,例2,是正交的非零實向量，,證明方陣,且不可對角化,即線性無關的特征向量的個數(shù)不等于特征值的重根數(shù),所以不能對角化,-34-,例

5、3,證明:,證明:,(反證法),即,-35-,例24,設用正交變換,化成標準形,求正數(shù)a和b以及正交矩陣P.,解:,-36-,同理可得,-37-,例25,設A是n階可逆矩陣,如果A中每行元素之和都是3,那么,的每行元素之和是,解,例24,6設A,B均為n階的可逆矩陣,正確的公式是,-38-,例27,已知,-39-,例28,則,也是該方程組的一個基礎解系.,例27,那么關于A的特征,值能做出怎樣的結論?,-40-,例29,的一個特征向量,解:,-41-,從而可知有一個線性無關的特征向量，所以不能 對角化,-42-,例30,如果矩陣,正定，,那么應滿足,的條件是,例,如果,負定，那么的取值范圍是,例,已知階矩陣的特征值為,，,-43-,3齊次線性方程組,只有零解，則應滿足的條件是,一.填空題,-44-,8.設4階方陣A滿足條件,則,1,2,任意非零向量,-1,-5,4,-45-,），,，,，則,的基礎解系中向量的個數(shù) (即解空間的的維數(shù))是_,10. 設,均為,階對稱矩陣，則使,合同的充要條件是（ ）,的秩相同