數(shù)學建模講座2.ppt

1、數(shù)學建模講座,主講： 陳員龍,自然科學的主要研究對象是 物質存在的自然規(guī)律,社會科學的主要研究對象的是 社會規(guī)律和主觀意識,1 自然科學、社會科學與數(shù)學,當然，自然科學不能脫離社會，社會科學也不能與自然無關。,數(shù)學獨立于自然科學和社會科學,2 學科的價值與審美,科學和學說是對客觀規(guī)律的理論解釋,科學研究就是尋求事物的公共特征、探索其公共屬性,均衡、知識的通用性和嚴密性 是學科審美的基本依據(jù),數(shù)學具有獨到的學科美,經(jīng)驗羅列是學科發(fā)展的最初級階段,把握均衡和追求精確的側重取向 是工程師和學者的主要區(qū)別,精確地刻畫均衡,很多直感美蘊含著價值因素，美的結論應該立足于價值的精確性,期待數(shù)學的介入,首推數(shù)

2、學模型,古羅馬建筑的窗戶寬長比大多接近0.618,寒帶地區(qū)人的鼻子小看上去就不美,手機越小越美，樓房越大越美,直感均衡美與價值相關,3 模型和數(shù)學,簡化問題、構造模型,科學研究的水平表現(xiàn)在合理的取舍，抓住主要因素，忽略次要因素,均衡簡化替代抽象大師,模型的威力,數(shù)學是關于模型的科學,數(shù)學既然能夠獨立于自然科學和社會科學，在學科結構和思維方式上必然有其獨到之處數(shù)學的抽象、確切和嚴密性被任何一門學科所利用和借鑒著,恩格斯的數(shù)學定義： 數(shù)學是研究現(xiàn)實世界 空間形式和數(shù)量關系的科學,玩具、照片、飛機、火箭模型, 實物模型,水箱中的艦艇、風洞中的飛機, 物理模型,地圖、電路圖、分子結構圖, 符號模型,模

3、型是為了一定目的，對客觀事物的一部分 進行簡縮、抽象、提煉出來的原型的替代物,模型集中反映了原型中人們需要的那一部分特征,3.1、從現(xiàn)實對象到數(shù)學模型,我們常見的模型,我們碰到過的數(shù)學模型“航行問題”,用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程：,答：船速每小時20千米.,甲乙兩地相距750公里，船從甲到乙順水航行需30小時，從乙到甲逆水航行需50小時，問船的速度是多少?,x =20 y =5,3.2、什么是數(shù)學模型，怎樣進行數(shù)學建模？,航行問題建立數(shù)學模型的基本步驟,作出簡化假設（船速、水速為常數(shù)）；,用符號表示有關量（x, y表示船速和水速）；,用物理定律（勻速運動的距離等于速度乘以 時間）

4、列出數(shù)學式子（二元一次方程）；,求解得到數(shù)學解答（x=20, y=5）；,回答原問題（船速每小時20千米）。,數(shù)學模型 (Mathematical Model) 和 數(shù)學建模（Mathematical Modeling),對于一個現(xiàn)實對象，為了一個特定目的， 根據(jù)其內在規(guī)律，作出必要的簡化假設， 運用適當?shù)臄?shù)學工具，得到的一個數(shù)學結構。,建立數(shù)學模型的全過程 （包括表述、求解、解釋、檢驗等）,數(shù)學模型,數(shù)學建模,3.3 數(shù)學模型的例子,（2）幻方,（1）哥尼斯堡七橋問題,（5）蜂房結構,（3）博弈數(shù)學的“失誤”,（4）商人們怎樣安全過河,（6）加工奶制品的生產(chǎn)計劃,哥尼斯堡七橋問題,作為一筆畫

5、，應該只有一個起點和一個終點，而其它點只能是通過點,通過點:有進去的路必有出去的路,所以這些點必須有偶數(shù)條線相連.,因此一個圖形能一筆畫: (1)只能是起點和終點2個點具有奇數(shù)條線相連. (2)全部點都具有偶數(shù)條線相連.(起點與終點為同合),(3),(3),(3),(5),幻方,將從1到9,的自然數(shù)填格，使每行、每列以及對角,線的三數(shù)值和相等。,據(jù)說是大禹于公元前2200年給出的，稱為洛書。,將從1到16,的自然數(shù)填格，使每行、每列以及對角,線的四數(shù)值和相等。,奇階數(shù)的幻方,一.先將1置于第一行中間格內;,(1)如果已出第一行則取最后一行同位置;,二.將下一數(shù)字置于其右斜上格內.,注意:,(2

6、)如果已出最后一列則 取第一列同位置,1,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,(3)如果該位置已有數(shù)字則 置于下邊位置,23,24,25,為了方便與下面的討論，所填數(shù)字從0開始，并且采用5進位制。所明確的規(guī)則將是通用的。,表中每一行或每一列的五個數(shù)個位和十位分別取遍05，這種均衡恰好滿足了問題的要求。,為達到每一行和每一列的五個數(shù)個位和十位分別取遍05的目標，寫航的順序填寫理所當然。,單偶數(shù)階的幻方,當,時，先將幻方表格等分成四個小幻,同時把數(shù)字從小到大分成相應的四組，分別填入。,博弈數(shù)學的“失誤”,例 有互不熟悉的兩人因斗毆，將接受處罰,根據(jù)規(guī)定，若

7、兩人均投案，則因聚眾斗毆各罰款二百元；若兩人均不投案，則只能按普通滋事各罰款一百元；若只有一人投案仍,可確定為聚眾斗毆，投案者免予處罰，不投案者罰款四百元。,納什均衡： 兩人均投案,約翰F.Nash(納什),美國數(shù)學家，1928年生,1950年獲普林斯頓大,大學博士學位1994年獲諾貝爾經(jīng)濟學獎,約翰C.Harsanyi,Reinhard Selten(德),商人們怎樣安全過河,問題(智力游戲), 3名商人 3名隨從,隨從們密約, 在河的任一岸, 一旦隨從的人數(shù)比商人多, 就殺人越貨.,但是乘船渡河的方案由商人決定.商人們怎樣才能安全過河?,問題分析,多步?jīng)Q策過程,決策 每一步(此岸到彼岸或彼

8、岸到此岸)船上的人員,要求在安全的前提下(兩岸的隨從數(shù)不比商人多),經(jīng)有限步使全體人員過河.,模型構成,xk第k次渡河前此岸的商人數(shù),yk第k次渡河前此岸的隨從數(shù),xk, yk=0,1,2,3; k=1,2,sk=(xk , yk)過程的狀態(tài),S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2,S 允許狀態(tài)集合,uk第k次渡船上的商人數(shù),vk第k次渡船上的隨從數(shù),dk=(uk , vk)決策,D=(u , v) u+v=1, 2 允許決策集合,uk, vk=0,1,2; k=1,2,sk+1=sk dk,+(-1)k,狀態(tài)轉移律,求dkD(k=1

9、,2, n), 使skS, 并按轉移律由 s1=(3,3)到達 sn+1=(0,0).,多步?jīng)Q策問題,模型求解,窮舉法 編程上機,圖解法,狀態(tài)s=(x,y) 16個格點,允許決策 移動1或2格; k奇,左下移; k偶,右上移.,s1,sn+1,d1, d11給出安全渡河方案,評注和思考,規(guī)格化方法,易于推廣,考慮4名商人各帶一隨從的情況,允許狀態(tài),S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2,小小的蜜蜂能夠建造出精巧的蜂房，這是自然界的奇觀之一. 蜂房的基本結構是一個個六角形巢房，每一個巢房是一個尖頂六棱柱。它實際上是由有底的正六棱柱ABC

10、DEF-A1B1C1D1E1F1被通過上底平面的對角線截后沿對角線翻轉180度所得。(動畫演示),為什么蜂房是這樣的一種形狀呢？它與材料和體積有什么關系？,蜂房問題,18世紀法國學者馬拉爾琪曾測量過蜂窩的尺寸，發(fā)現(xiàn)菱形APCP1的內角分別是10928和7032。法國物理學家列奧繆拉對這個問題很感興趣。他請教了巴黎科學院院士瑞士數(shù)學家克尼格?？四岣竦挠嬎憬Y果令人非常震驚。假設蜂房的容積一定要使,后來蘇格蘭數(shù)學家馬克勞林又重新計算一次，發(fā)現(xiàn)蜜蜂是對的，而克尼格反而算錯了，因為他所用的對數(shù)表印錯了?？磥?，小蜜蜂建造的蜂房確實是為了使體積最大而材料最省。,材料最省，這兩個角度應分別是10926和703

11、0，這與蜂窩的角度僅差兩分。,加工奶制品的生產(chǎn)計劃,50桶牛奶,時間480小時,至多加工100公斤A1,制訂生產(chǎn)計劃，使每天獲利最大,35元可買到1桶牛奶，買嗎？若買，每天最多買多少?,可聘用臨時工人，付出的工資最多是每小時幾元?,A1的獲利增加到 30元/公斤，應否改變生產(chǎn)計劃？,每天：,x1桶牛奶生產(chǎn)A1,x2桶牛奶生產(chǎn)A2,獲利 243x1,獲利 164 x2,原料供應,勞動時間,加工能力,決策變量,目標函數(shù),每天獲利,約束條件,非負約束,線性規(guī)劃模型(LP),時間480小時,至多加工100公斤A1,模型求解,max 72x1+64x2 st 2）x1+x250 3）12x1+8x248

12、0 4）3x1100 end,OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3360.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 20.000000 0.000000 X2 30.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 48.000000 3) 0.000000 2.000000 4) 40.000000 0.000000 NO. ITERATIONS= 2,DO RANGE (SENSITIVITY) ANALYSIS?,No,20桶牛奶生產(chǎn)A1, 30桶生產(chǎn)A2，利潤336

13、0元。,模型求解,reduced cost值表示當該非基變量增加一個單位時（其他非基變量保持不變）目標函數(shù)減少的量(對max型問題),OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3360.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 20.000000 0.000000 X2 30.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 48.000000 3) 0.000000 2.000000 4) 40.000000 0.000000 NO. ITERATIONS= 2,也可理解為： 為

14、了使該非基變量變成基變量，目標函數(shù)中對應系數(shù)應增加的量,OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3360.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 20.000000 0.000000 X2 30.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 48.000000 3) 0.000000 2.000000 4) 40.000000 0.000000,原料無剩余,時間無剩余,加工能力剩余40,max 72x1+64x2 st 2）x1+x250 3）12x1+8x2480 4）3

15、x1100 end,三種資源,“資源” 剩余為零的約束為緊約束（有效約束）,結果解釋,OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3360.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 20.000000 0.000000 X2 30.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 48.000000 3) 0.000000 2.000000 4) 40.000000 0.000000,結果解釋,最優(yōu)解下“資源”增加1單位時“效益”的增量,原料增1單位, 利潤增48,時間加1單位, 利

16、潤增2,能力增減不影響利潤,影子價格,35元可買到1桶牛奶，要買嗎？,35 48, 應該買！,聘用臨時工人付出的工資最多每小時幾元？,2元！,RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 72.000000 24.000000 8.000000 X2 64.000000 8.000000 16.000000 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABL

17、E ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 50.000000 10.000000 6.666667 3 480.000000 53.333332 80.000000 4 100.000000 INFINITY 40.000000,最優(yōu)解不變時目標系數(shù)允許變化范圍,DO RANGE(SENSITIVITY) ANALYSIS?,Yes,x1系數(shù)范圍(64,96),x2系數(shù)范圍(48,72),A1獲利增加到 30元/千克，應否改變生產(chǎn)計劃,x1系數(shù)由243= 72 增加為303= 90，在允許范圍內,不變！,(約束條件不變),結果解釋,結果解釋,RANGES IN W

18、HICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 72.000000 24.000000 8.000000 X2 64.000000 8.000000 16.000000 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 50.000000 10.000000 6.666667 3 480.000000 53.3

19、33332 80.000000 4 100.000000 INFINITY 40.000000,影子價格有意義時約束右端的允許變化范圍,原料最多增加10,時間最多增加53,35元可買到1桶牛奶，每天最多買多少？,最多買10桶？,(目標函數(shù)不變),注意: 充分但可能不必要,數(shù)學建模的基本方法,機理分析,測試分析,根據(jù)對客觀事物特性的認識， 找出反映內部機理的數(shù)量規(guī)律,將對象看作“黑箱”,通過對量測數(shù)據(jù)的 統(tǒng)計分析，找出與數(shù)據(jù)擬合最好的模型,機理分析沒有統(tǒng)一的方法，主要通過實例研究 (Case Studies)來學習。以下建模主要指機理分析。,二者結合,用機理分析建立模型結構, 用測試分析確定模型參數(shù),3