復(fù)數(shù)及其代數(shù)運(yùn)算.ppt

1、1,復(fù)變函數(shù),主講人: 胡 曉 曉(674067) 辦公室: 7 B325 ,2,復(fù)數(shù)是16世紀(jì)人們在解代數(shù)方程時引入的,1954年，意大利數(shù)學(xué)物理學(xué)家,在所著重要的藝術(shù)一書中列出,將10分成兩部分，使其積為40的問題,即求方程x(10-x)=40的根 ,它求出形式的根為,因而復(fù)數(shù)在歷史上長期不能為人民所接受“虛數(shù)”這一名詞就恰好反映了這一點(diǎn),3,直到十八世紀(jì),等人逐步闡明了復(fù)數(shù)的幾何意義與物理意義，建立了 系統(tǒng)的復(fù)數(shù)理論，從而使人們終于接受并理解了復(fù)數(shù),復(fù)變函數(shù)的理論基礎(chǔ)是在十九世紀(jì)奠定的,三人的工作進(jìn)行的,4,到本世紀(jì)，復(fù)變函數(shù)論是數(shù)學(xué)的重要分支之一，隨著它的領(lǐng)域的不斷擴(kuò)大而發(fā)展成龐大的一

2、門學(xué)科，在自然科學(xué)其它（如空氣動力學(xué)、流體力學(xué)、電學(xué)、熱學(xué)、理論物理等）及數(shù)學(xué)的其它分支（如微分方程、積分方程、概率論、數(shù)論等）中，復(fù)變函數(shù)論都有著重要應(yīng)用,5,柯西 復(fù)變函數(shù)論的奠基人之一,柯西（Cauchy，1789-1857），十九世紀(jì)前半世 紀(jì)的法國數(shù)學(xué)家。證明了復(fù)變函數(shù)論的主要定理 以及在變數(shù)和復(fù)變數(shù)的情況下微分方程解的存在定理。 A.-L.柯西定義了復(fù)變函數(shù)的積分，建立了復(fù)積分的理論，他證明了柯西積分定理 。 用復(fù)變函數(shù)的積分計(jì)算實(shí)積分，這是復(fù)變函數(shù)論中柯西積分定理的出發(fā)點(diǎn) 。 柯西最重要和最有首創(chuàng)性的工作是關(guān)于單復(fù)變函數(shù)論的。 18世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們采用過上、下限是虛數(shù)的定積分。但沒

3、 有給出明確的定義?？挛魇紫汝U明了有關(guān)概念，并且用這 種積分來研究多種多樣的問題 。,6,黎曼 復(fù)變函數(shù)論的奠基人之一,黎曼，19世紀(jì)最富有創(chuàng)造性的德國數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)物理學(xué)家。黎曼1826年9月17日生于漢諾威的布列斯倫茨，1866年7月20日卒于意大利的塞那斯加，終年40歲。 1851年，在高斯的指導(dǎo)下完成題為單復(fù)變函數(shù)的一般理論的基礎(chǔ)的博士論文 。 在黎曼對多值函數(shù)的處理中，最關(guān)鍵的是他引入了被后人稱“黎曼面”的概念。 經(jīng)黎曼處理的復(fù)函數(shù)，單值函數(shù)是多值函數(shù)的 待例，他把單值函數(shù)的一些已知結(jié)論推廣到多值 函數(shù)中，尤其他按連通性對函數(shù)分類的方法，極 大地推動了拓?fù)鋵W(xué)的初期發(fā)展。,7,魏爾斯特拉

4、斯復(fù)變函數(shù)論的奠基人之一,魏爾斯特拉斯，KWT(Weierstrass，Karl WilhelmTheodor)1815年10月31日生于德國威斯特伐利亞地區(qū)的奧斯登費(fèi)爾特；1897年2月19日卒于柏林?jǐn)?shù)學(xué) 在魏爾斯特拉斯的早期論文中，已引進(jìn)多復(fù)變量冪級數(shù) 與復(fù)n維空間中的一些拓?fù)涓拍?，定義了多復(fù)變量冪級數(shù)的收斂多圓柱，他還通過系數(shù)估計(jì)得到由冪級數(shù)表示的函數(shù). 所確定的隱函數(shù)zv=hv(zm+1，zn) (v=1，m)可展開為冪級數(shù)的定理 魏爾斯特拉斯對多復(fù)變函數(shù)論的最大貢獻(xiàn)， 是他于1860年講課中提出并于1879年發(fā)表 的“預(yù)備定理”,8,第一節(jié) 復(fù)數(shù)及其代數(shù)運(yùn)算,一、復(fù)數(shù)的概念,二、復(fù)數(shù)

5、的代數(shù)運(yùn)算,三、小結(jié)與思考,一、復(fù)數(shù)的概念,二、復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算,三、小結(jié)與思考,一、復(fù)數(shù)的概念,二、復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算,9,一、復(fù)數(shù)的概念,1. 虛數(shù)單位:,對虛數(shù)單位的規(guī)定:,10,虛數(shù)單位的特性:,11,2.復(fù)數(shù):,12,1: 兩個復(fù)數(shù)相等? 2: Z=0,思考：兩個復(fù)數(shù)能比較大小嗎？,說明 兩個數(shù)如果都是實(shí)數(shù),可以比較它們的大小, 如果不全是實(shí)數(shù), 就不能比較大小, 也就是說, 復(fù)數(shù)不能比較大小.,反例,13,二. 復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算,1： 定義,14,2：復(fù)數(shù)運(yùn)算所滿足的運(yùn)算律,15,3： 共軛復(fù)數(shù):,實(shí)部相同而虛部絕對值相等符號相反的兩個復(fù)數(shù)稱為共軛復(fù)數(shù).,例1,解,16,共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì):,

6、以上各式證明略.,17,例2,解,18,練習(xí),解,19,練習(xí),證,20,三、小結(jié)與思考,本課學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)的有關(guān)概念、性質(zhì)及其運(yùn) 算. 重點(diǎn)掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算, 它是本節(jié)課的重點(diǎn).,21,思考題,復(fù)數(shù)為什么不能比較大小？,22,思考題答案,由此可見, 在復(fù)數(shù)中無法定義大小關(guān)系.,23,第1.1.2節(jié) 復(fù)數(shù)的幾何表示,一、復(fù)平面,1. 復(fù)數(shù)的模和輻角,三、小結(jié)與思考,二、復(fù)球面,24,一、復(fù)平面(z平面),1. 復(fù)平面的定義,坐標(biāo)平面上的點(diǎn)；,25,二：復(fù)數(shù)的模和輻角,顯然下列各式成立,1. 復(fù)數(shù)的模(或長度),26,27,28,x,y,0,2. 復(fù)數(shù)的輻角（Argument）,說明,29,2. 復(fù)數(shù)的

7、輻角（Argument）,輻角不確定.,30,x,y,0,輻角主值的定義:,2. 復(fù)數(shù)的輻角（Argument）,31,X,y,0,32,練習(xí),是不是永遠(yuǎn)成立；,33,練習(xí),34,35,例3 求 Arg (-3-4i),36,利用復(fù)數(shù)的模與輻角,我們給出復(fù)數(shù)的兩個非常重要的表示法,37,1. 復(fù)數(shù)的三角表示法,x,x,y,0,38,2: 復(fù)數(shù)的指數(shù)表示法,39,例4 將下列復(fù)數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式:,解,故三角表示式為,指數(shù)表示式為,40,故三角表示式為,指數(shù)表示式為,41,定理一,兩個復(fù)數(shù)乘積的模等于它們的模的乘積; 兩個復(fù)數(shù)乘積的輻角等于它們的輻角的和.,證,證畢,42,兩復(fù)數(shù)相乘就

8、是把模數(shù)相乘, 輻角相加.,從幾何上看, 兩復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量分別為,43,說明,由于輻角的多值性,兩端都是無窮多個數(shù)構(gòu)成的兩個數(shù)集.,對于左端的任一值, 右端必有值與它相對應(yīng).,例如，,44,由此可將結(jié)論推廣到 n 個復(fù)數(shù)相乘的情況:,45,兩個復(fù)數(shù)的商的模等于它們的模的商; 兩個復(fù)數(shù)的商的輻角等于被除數(shù)與除數(shù)的輻角之差.,定理二,證,按照商的定義,證畢,46,47,48,49,50,x,y,z,0,51,二：復(fù)球面,二.擴(kuò)充復(fù)平面,一.復(fù)數(shù)的球面表示,52,一.復(fù)數(shù)的球面表示,除去點(diǎn)N外球面上的點(diǎn)P與復(fù)平面上的點(diǎn)Z為一一對應(yīng),即復(fù)數(shù)可用球面上的點(diǎn)來表示.,53,球面上的點(diǎn)N,復(fù)平面上沒有復(fù)數(shù)與之對應(yīng).怎么做到球面上的點(diǎn)與復(fù)平面上的點(diǎn)一一對應(yīng),54,我們規(guī)定: 復(fù)平面上無限遠(yuǎn)離原點(diǎn)的點(diǎn)稱為”無窮遠(yuǎn)點(diǎn)”, 它與球面上的點(diǎn)N相對應(yīng).(要求無窮遠(yuǎn)點(diǎn)是唯一),二.擴(kuò)充復(fù)平面,擴(kuò)充復(fù)平面: 包含無窮遠(yuǎn)點(diǎn)在內(nèi)的復(fù)平面； 與擴(kuò)充復(fù)平面對應(yīng)的球面稱為：復(fù)球面 復(fù)平面:不包含無窮遠(yuǎn)點(diǎn)在內(nèi)的復(fù)平面.,本書如無特別說明，只考慮有限復(fù)數(shù)及復(fù)平面,55,：復(fù)數(shù),56,三、小結(jié)與思考,學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容有