復數(shù)及其代數(shù)運算.ppt

1、1,復變函數(shù),主講人: 胡 曉 曉(674067) 辦公室: 7 B325 ,2,復數(shù)是16世紀人們在解代數(shù)方程時引入的,1954年，意大利數(shù)學物理學家,在所著重要的藝術一書中列出,將10分成兩部分，使其積為40的問題,即求方程x(10-x)=40的根 ,它求出形式的根為,因而復數(shù)在歷史上長期不能為人民所接受“虛數(shù)”這一名詞就恰好反映了這一點,3,直到十八世紀,等人逐步闡明了復數(shù)的幾何意義與物理意義，建立了 系統(tǒng)的復數(shù)理論，從而使人們終于接受并理解了復數(shù),復變函數(shù)的理論基礎是在十九世紀奠定的,三人的工作進行的,4,到本世紀，復變函數(shù)論是數(shù)學的重要分支之一，隨著它的領域的不斷擴大而發(fā)展成龐大的一

2、門學科，在自然科學其它（如空氣動力學、流體力學、電學、熱學、理論物理等）及數(shù)學的其它分支（如微分方程、積分方程、概率論、數(shù)論等）中，復變函數(shù)論都有著重要應用,5,柯西 復變函數(shù)論的奠基人之一,柯西（Cauchy，1789-1857），十九世紀前半世 紀的法國數(shù)學家。證明了復變函數(shù)論的主要定理 以及在變數(shù)和復變數(shù)的情況下微分方程解的存在定理。 A.-L.柯西定義了復變函數(shù)的積分，建立了復積分的理論，他證明了柯西積分定理 。 用復變函數(shù)的積分計算實積分，這是復變函數(shù)論中柯西積分定理的出發(fā)點 。 柯西最重要和最有首創(chuàng)性的工作是關于單復變函數(shù)論的。 18世紀的數(shù)學家們采用過上、下限是虛數(shù)的定積分。但沒

3、 有給出明確的定義?？挛魇紫汝U明了有關概念，并且用這 種積分來研究多種多樣的問題 。,6,黎曼 復變函數(shù)論的奠基人之一,黎曼，19世紀最富有創(chuàng)造性的德國數(shù)學家、數(shù)學物理學家。黎曼1826年9月17日生于漢諾威的布列斯倫茨，1866年7月20日卒于意大利的塞那斯加，終年40歲。 1851年，在高斯的指導下完成題為單復變函數(shù)的一般理論的基礎的博士論文 。 在黎曼對多值函數(shù)的處理中，最關鍵的是他引入了被后人稱“黎曼面”的概念。 經(jīng)黎曼處理的復函數(shù)，單值函數(shù)是多值函數(shù)的 待例，他把單值函數(shù)的一些已知結論推廣到多值 函數(shù)中，尤其他按連通性對函數(shù)分類的方法，極 大地推動了拓撲學的初期發(fā)展。,7,魏爾斯特拉

4、斯復變函數(shù)論的奠基人之一,魏爾斯特拉斯，KWT(Weierstrass，Karl WilhelmTheodor)1815年10月31日生于德國威斯特伐利亞地區(qū)的奧斯登費爾特；1897年2月19日卒于柏林數(shù)學 在魏爾斯特拉斯的早期論文中，已引進多復變量冪級數(shù) 與復n維空間中的一些拓撲概念，定義了多復變量冪級數(shù)的收斂多圓柱，他還通過系數(shù)估計得到由冪級數(shù)表示的函數(shù). 所確定的隱函數(shù)zv=hv(zm+1，zn) (v=1，m)可展開為冪級數(shù)的定理 魏爾斯特拉斯對多復變函數(shù)論的最大貢獻， 是他于1860年講課中提出并于1879年發(fā)表 的“預備定理”,8,第一節(jié) 復數(shù)及其代數(shù)運算,一、復數(shù)的概念,二、復數(shù)

5、的代數(shù)運算,三、小結與思考,一、復數(shù)的概念,二、復數(shù)的代數(shù)運算,三、小結與思考,一、復數(shù)的概念,二、復數(shù)的代數(shù)運算,9,一、復數(shù)的概念,1. 虛數(shù)單位:,對虛數(shù)單位的規(guī)定:,10,虛數(shù)單位的特性:,11,2.復數(shù):,12,1: 兩個復數(shù)相等? 2: Z=0,思考：兩個復數(shù)能比較大小嗎？,說明 兩個數(shù)如果都是實數(shù),可以比較它們的大小, 如果不全是實數(shù), 就不能比較大小, 也就是說, 復數(shù)不能比較大小.,反例,13,二. 復數(shù)的代數(shù)運算,1： 定義,14,2：復數(shù)運算所滿足的運算律,15,3： 共軛復數(shù):,實部相同而虛部絕對值相等符號相反的兩個復數(shù)稱為共軛復數(shù).,例1,解,16,共軛復數(shù)的性質(zhì):,

6、以上各式證明略.,17,例2,解,18,練習,解,19,練習,證,20,三、小結與思考,本課學習了復數(shù)的有關概念、性質(zhì)及其運 算. 重點掌握復數(shù)的運算, 它是本節(jié)課的重點.,21,思考題,復數(shù)為什么不能比較大??？,22,思考題答案,由此可見, 在復數(shù)中無法定義大小關系.,23,第1.1.2節(jié) 復數(shù)的幾何表示,一、復平面,1. 復數(shù)的模和輻角,三、小結與思考,二、復球面,24,一、復平面(z平面),1. 復平面的定義,坐標平面上的點；,25,二：復數(shù)的模和輻角,顯然下列各式成立,1. 復數(shù)的模(或長度),26,27,28,x,y,0,2. 復數(shù)的輻角（Argument）,說明,29,2. 復數(shù)的

7、輻角（Argument）,輻角不確定.,30,x,y,0,輻角主值的定義:,2. 復數(shù)的輻角（Argument）,31,X,y,0,32,練習,是不是永遠成立；,33,練習,34,35,例3 求 Arg (-3-4i),36,利用復數(shù)的模與輻角,我們給出復數(shù)的兩個非常重要的表示法,37,1. 復數(shù)的三角表示法,x,x,y,0,38,2: 復數(shù)的指數(shù)表示法,39,例4 將下列復數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式:,解,故三角表示式為,指數(shù)表示式為,40,故三角表示式為,指數(shù)表示式為,41,定理一,兩個復數(shù)乘積的模等于它們的模的乘積; 兩個復數(shù)乘積的輻角等于它們的輻角的和.,證,證畢,42,兩復數(shù)相乘就

8、是把模數(shù)相乘, 輻角相加.,從幾何上看, 兩復數(shù)對應的向量分別為,43,說明,由于輻角的多值性,兩端都是無窮多個數(shù)構成的兩個數(shù)集.,對于左端的任一值, 右端必有值與它相對應.,例如，,44,由此可將結論推廣到 n 個復數(shù)相乘的情況:,45,兩個復數(shù)的商的模等于它們的模的商; 兩個復數(shù)的商的輻角等于被除數(shù)與除數(shù)的輻角之差.,定理二,證,按照商的定義,證畢,46,47,48,49,50,x,y,z,0,51,二：復球面,二.擴充復平面,一.復數(shù)的球面表示,52,一.復數(shù)的球面表示,除去點N外球面上的點P與復平面上的點Z為一一對應,即復數(shù)可用球面上的點來表示.,53,球面上的點N,復平面上沒有復數(shù)與之對應.怎么做到球面上的點與復平面上的點一一對應,54,我們規(guī)定: 復平面上無限遠離原點的點稱為”無窮遠點”, 它與球面上的點N相對應.(要求無窮遠點是唯一),二.擴充復平面,擴充復平面: 包含無窮遠點在內(nèi)的復平面； 與擴充復平面對應的球面稱為：復球面 復平面:不包含無窮遠點在內(nèi)的復平面.,本書如無特別說明，只考慮有限復數(shù)及復平面,55,：復數(shù),56,三、小結與思考,學習的主要內(nèi)容有