晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性_從點(diǎn)陣到空間群.ppt

1、晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-從點(diǎn)陣到空間群,中國(guó)科學(xué)院物理研究所 董成,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,主要內(nèi)容,晶體的平移對(duì)稱性：三維點(diǎn)陣和晶胞 晶體學(xué)中的對(duì)稱操作元素： (旋轉(zhuǎn)軸、倒反中心、鏡面、反軸、映軸、螺旋軸和滑移面) 晶體學(xué)點(diǎn)群，晶系和點(diǎn)陣型式 空間群及其應(yīng)用：空間群符號(hào)，等效點(diǎn)系，分?jǐn)?shù)坐標(biāo)，不對(duì)稱單位,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,晶體性質(zhì),晶體是原子(包括離子，原子團(tuán))在三維空間中周期性排列形成的固體物質(zhì)。晶體有以下的共同性質(zhì)： 均勻性; 各向異性; 自范性; 對(duì)稱性; 穩(wěn)定性。,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,對(duì)稱性的不同含義,物體的組成部分之間或不同物體之間特征的對(duì)應(yīng)、等價(jià)或相等的

2、關(guān)系。（希臘字根=類似尺寸的。） 由于平衡或和諧的排列所顯示的美。 形態(tài)和（在中分平面、中心或一個(gè)軸兩側(cè)的）組元的排列構(gòu)型的精確對(duì)應(yīng)。,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,晶格,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,晶體點(diǎn)陣與晶體對(duì)稱性,在每個(gè)重復(fù)周期都選取一個(gè)代表點(diǎn)，就可以用三維空間點(diǎn)陣來(lái)描述晶體的平移對(duì)稱性。而平移對(duì)稱性是晶體最為基本的對(duì)稱性。整個(gè)點(diǎn)陣沿平移矢量 t=ua+vb+wc (u、v， w為任意整數(shù)) 平移，得到的新空間點(diǎn)陣與平移前一樣，稱沿矢量t的平移為平移對(duì)稱操作。,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,晶體點(diǎn)陣與晶體對(duì)稱性,點(diǎn)陣是一組無(wú)限的點(diǎn)，連接其中任意兩點(diǎn)可以得到一個(gè)矢量，點(diǎn)陣按此矢量平移后都能復(fù)原。三維空間

3、點(diǎn)陣是在三維空間中點(diǎn)的無(wú)限陣列，其中所有的點(diǎn)都有相同的環(huán)境。選任意一個(gè)陣點(diǎn)作為原點(diǎn)，三個(gè)不共面的矢量a， b和c作為坐標(biāo)軸的基矢，這三個(gè)矢量得以確定一個(gè)平行六面體如下：,此平行六面體稱為晶胞。,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,晶胞,如上確定的六面體稱為晶胞，由矢量a， b和c確定的方向稱為晶體學(xué)的晶軸 X， Y， Z。 如果晶胞中只包含一個(gè)陣點(diǎn)，則這種晶胞被稱為初基的 (primitive)。 晶胞的大小和形狀可以用晶胞參數(shù)來(lái)表示，即用晶胞的三個(gè)邊的長(zhǎng)度a， b， c三個(gè)邊之間的夾角a， b， g表示。 晶胞包含描述晶體結(jié)構(gòu)所需的最基本結(jié)構(gòu)信息。如果知道了晶胞中全部原子的坐標(biāo)，就有了晶體結(jié)構(gòu)的全部信息

4、。 一般寫作：晶體結(jié)構(gòu)=點(diǎn)陣+結(jié)構(gòu)基元；但準(zhǔn)確的描述應(yīng)為： 晶體結(jié)構(gòu)=點(diǎn)陣*結(jié)構(gòu)基元 ；晶體結(jié)構(gòu)=結(jié)構(gòu)基元點(diǎn)陣,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,晶胞的選取,晶胞的選取可以有多種方式，但在實(shí)際確定晶胞時(shí)，要盡可能選取對(duì)稱性高的初基單胞，還要兼顧盡可能反映晶體內(nèi)部結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性，所以有時(shí)使用對(duì)稱性較高的非初基胞-慣用晶胞。 （1）符合整個(gè)空間點(diǎn)陣的對(duì)稱性。 （2）晶軸之間相交成的直角最多。 （3）體積最小。 （4）晶軸交角不為直角時(shí)，選最短的晶軸，且交角接近直角。,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,點(diǎn)陣、結(jié)構(gòu)和單胞,點(diǎn)陣：晶體的周期性，忽略填充空間的實(shí)際結(jié)構(gòu)(分子) 。 點(diǎn)陣矢量：由點(diǎn)陣矢量移動(dòng)晶體到一個(gè)等效位置的平

5、移。 初基點(diǎn)陣矢量： 可選擇的最小點(diǎn)陣矢量。 初基晶胞： 初基點(diǎn)陣矢量定義的平行六面體，僅包含一個(gè)點(diǎn)陣點(diǎn)。 晶體結(jié)構(gòu)： 原子在晶體中的周期性排列。 它可以通過(guò)在每點(diǎn)陣點(diǎn)安放一個(gè)稱為基元（或型主）的一組原子來(lái)描述。,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,不要混淆點(diǎn)陣點(diǎn)和原子,陣點(diǎn)是在空間中無(wú)窮小的點(diǎn)。 原子是實(shí)在物體。 陣點(diǎn)不必處于原子中心。,晶體結(jié)構(gòu)= 結(jié)構(gòu)基元點(diǎn)陣 晶體結(jié)構(gòu)是在每個(gè)點(diǎn)陣點(diǎn)上安放一個(gè)結(jié)構(gòu)基元。,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,三維晶胞的原子計(jì)數(shù),在晶胞不同位置的原子由不同數(shù)目的晶胞分享： 頂角原子 1/8 棱上原子 1/4 面上原子 1/2 晶胞內(nèi)部 1,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,石墨晶體結(jié)構(gòu),晶體結(jié)

6、構(gòu)的對(duì)稱性-董成,三維點(diǎn)陣和晶胞,使用矢量a、b和c 指定點(diǎn)陣：在所有兩個(gè)點(diǎn)陣點(diǎn)之間的矢量(r)滿足關(guān)系， r = ua + vb + wc, ， 其中u、v和w是整數(shù)。 指定晶體中的任意點(diǎn)： r = (u+x)a + (v+y)b + (w+z)c ，其中u， v， w為整數(shù) r = (ua + vb +wc) + (xa + yb +zc) x, y, z是在晶胞之內(nèi)指定一個(gè)位置的分?jǐn)?shù)座標(biāo)。 x, y, z用晶胞邊長(zhǎng)的分?jǐn)?shù)表示，在0-1之間變化。晶胞原點(diǎn)的分?jǐn)?shù)坐標(biāo)總是0，0，0。 用相同分?jǐn)?shù)座標(biāo)x、y和z指定的所有位置都對(duì)稱等價(jià)。（由于晶體的三維周期性，在分?jǐn)?shù)坐標(biāo)上加減任意整數(shù)，仍然表示平

7、移對(duì)稱的等價(jià)位置。）,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,晶體學(xué)中的對(duì)稱操作元素,分子和晶體都是對(duì)稱圖像，是由若干個(gè)相等的部分或單元按照一定的方式組成的。對(duì)稱圖像是一個(gè)能經(jīng)過(guò)不改變其中任何兩點(diǎn)間距離的操作后復(fù)原的圖像。這樣的操作稱為對(duì)稱操作。 在操作中保持空間中至少一個(gè)點(diǎn)不動(dòng)的對(duì)稱操作稱為點(diǎn)對(duì)稱操作，如簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)和鏡像轉(zhuǎn)動(dòng)(反映和倒反)是點(diǎn)式操作;使空間中所有點(diǎn)都運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱操作稱為非點(diǎn)式操作，如平移，螺旋轉(zhuǎn)動(dòng)和滑移反映。,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,對(duì)稱操作和對(duì)稱元素,對(duì)稱操作： 一個(gè)物體運(yùn)動(dòng)或變換，使得變換后的物體與變換前不可區(qū)分（復(fù)原，重合）。 對(duì)稱元素：在對(duì)稱操作中保持不變的幾何圖型：點(diǎn)、軸或面。 點(diǎn)群：

8、 保留一點(diǎn)不變的對(duì)稱操作群。 空間群：為擴(kuò)展到三維物體例如晶體的對(duì)稱操作群，由點(diǎn)群對(duì)稱操作和平移對(duì)稱操作組合而成；由 32 晶體學(xué)點(diǎn)群與 14個(gè)Bravais 點(diǎn)陣組合而成；空間群是一個(gè)單胞（包含單胞帶心）的平移對(duì)稱操作；反射、旋轉(zhuǎn)和旋轉(zhuǎn)反演等點(diǎn)群對(duì)稱性操作、以及螺旋軸和滑移面對(duì)稱性操作的組合。,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,全同操作,(1)全同操作(Identity)，符號(hào)表示為1 (E)，對(duì)應(yīng)于物體不動(dòng)的對(duì)稱操作，對(duì)應(yīng)的變換矩陣為單位矩陣。,矩陣表示,注意：符號(hào)表示為國(guó)際符號(hào)也稱為赫爾曼-毛古因Hermann-Mauguin符號(hào)，括號(hào)內(nèi)為熊夫利斯Schnflies 符號(hào)。,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成

9、,旋轉(zhuǎn)軸,(2)旋轉(zhuǎn)軸(旋轉(zhuǎn)軸) ：繞某軸反時(shí)針旋轉(zhuǎn)q =360/n度， n稱為旋轉(zhuǎn)軸的次數(shù)(或重?cái)?shù))，符號(hào)為n (Cn)。其變換矩陣為：,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,旋轉(zhuǎn)矩陣,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,晶體中的旋轉(zhuǎn)軸限制,練習(xí)題： 平移對(duì)稱性對(duì)旋轉(zhuǎn)軸的次數(shù)n有很大的限制，證明在晶體學(xué)中只能出n=1,2,3,4,6的旋轉(zhuǎn)軸。 寫出沿三個(gè)坐標(biāo)軸X，Y和Z的4次旋轉(zhuǎn)軸的表示矩陣。,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,矩陣乘法,2次旋轉(zhuǎn)矩陣,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,倒反中心(Inversion center),倒反中心：也稱為反演中心或?qū)ΨQ中心(Center of symmetry)，它的操作是通過(guò)一個(gè)點(diǎn)的倒反(反演

10、)，使空間點(diǎn)的每一個(gè)位置由坐標(biāo)為(x、y， z)變換到(- x， - y， - z)。符號(hào)為1(i)，變換矩陣為,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,反映面-鏡面,反映面，也稱鏡面，反映操作是從空間某一點(diǎn)向反映面引垂線，并延長(zhǎng)該垂線到反映面的另一側(cè)，在延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)，使其到反映面的距離等于原來(lái)點(diǎn)到反映面的距離。符號(hào)為m (s)。 為了表示反映面的方向，可以在其符號(hào)后面標(biāo)以該面的法線。如法線為010的反映面，可記為m 010。,m 010 (x、y， z) = (x， - y， z),晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,鏡面類型和矩陣表示,關(guān)于對(duì)稱平面（或鏡面）的反映，可以平行于(vertical ，v) 或 垂直于(

11、horizontal ，sh) 主軸。 在二個(gè)C2軸之間角平分線的一個(gè)垂直平面叫作雙面鏡面，d （ dihedral plane ）。,通過(guò)yz面的反映。,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,旋轉(zhuǎn)倒反軸-反軸,旋轉(zhuǎn)倒反軸，簡(jiǎn)稱反軸 (Axis of inversion ， Rotoinversion axis)，其對(duì)稱操作是先進(jìn)行旋轉(zhuǎn)操作(n)后立刻再進(jìn)行倒反操作，這樣的復(fù)合操作稱為記為,組合成這種復(fù)合操作的每一個(gè)操作本身不一定是對(duì)稱操作。其矩陣表示為：,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,旋轉(zhuǎn)反映軸-映軸,旋轉(zhuǎn)反映軸，簡(jiǎn)稱映軸(rotoreflection axis)，其對(duì)稱操作是先進(jìn)行繞映軸的旋轉(zhuǎn)操作(n)后立刻

12、再對(duì)垂直于該映軸的反映面進(jìn)行反映操作m。符號(hào)為 (Sn)，設(shè)對(duì)稱軸沿001方向，其矩陣表示為：,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,旋轉(zhuǎn)反映Sn,旋轉(zhuǎn)反映 Sn，包括繞對(duì)稱軸的逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)360/n，接著作垂直反射。 旋轉(zhuǎn)反演和旋轉(zhuǎn)反映（Improper rotation）被（譯）稱為異常旋轉(zhuǎn)、非真旋轉(zhuǎn)、不當(dāng)旋轉(zhuǎn)等。,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,反軸和映軸間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,用映軸表示的對(duì)稱操作都可以用反軸表示，所以在新的晶體學(xué)國(guó)際表中只用反軸。 所有的點(diǎn)對(duì)稱操作實(shí)際上可以簡(jiǎn)單的分為簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)操作和旋轉(zhuǎn)倒反操作兩種。全同操作就是一次真旋轉(zhuǎn)軸，倒反中心為一次反軸，鏡面為二次反軸，所有映軸都可以用等價(jià)反軸表示。,晶體結(jié)構(gòu)的

13、對(duì)稱性-董成,反軸和映軸間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,旋轉(zhuǎn)倒反軸和旋轉(zhuǎn)反映軸之間存在簡(jiǎn)單的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，旋轉(zhuǎn)角度為q的反軸和旋轉(zhuǎn)角為(q-p)的映軸是等價(jià)的對(duì)稱軸，這一關(guān)系也很容易從他們的表示矩陣看出。所以1次， 2次， 3次， 4次和6次反軸分別等價(jià)于2次， 1次， 6次， 4次和3次映軸。,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,練習(xí)題,證明：(1)倒反中心是一次反軸;(2)鏡面是二次反軸。 找出一個(gè)立方體具有的所有旋轉(zhuǎn)軸。(6個(gè)2次軸， 4個(gè)3次軸， 3個(gè)4次軸。),晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,非點(diǎn)式對(duì)稱操作,非點(diǎn)式對(duì)稱操作：是由點(diǎn)式操作與平移操作復(fù)合后形成的新的對(duì)稱操作，平移和旋轉(zhuǎn)復(fù)合形成能導(dǎo)出螺旋旋轉(zhuǎn)，平移和反映復(fù)合能

14、導(dǎo)出滑移反映。,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,螺旋軸,螺旋軸：先繞軸進(jìn)行逆時(shí)針方向360/n度的旋轉(zhuǎn)，接著作平行于該軸的平移，平移量為(p/n) t，這里t是平行于轉(zhuǎn)軸方向的最短的晶格平移矢量，符號(hào)為np， n稱為螺旋軸的次數(shù)， (n可以取值2,3,4,6)，而p只取小于n的整數(shù)。所以可以有以下11種螺旋軸： 21，31，32，41，42，43，61，62，63，64，65。,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,二次螺旋軸,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,螺旋軸 21，31 ，32 ，63,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,螺旋軸41，42 ，43,41和43彼此對(duì)映。當(dāng)其中之一是左手螺旋時(shí)，另一個(gè)為右手螺旋。,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性

15、-董成,螺旋軸61，62，63，64,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,石英結(jié)構(gòu)中的六次螺旋軸,石英的基本結(jié)構(gòu)可以看成是硅氧四面體在三和六次螺旋軸附近的螺旋鏈 。 在如下左邊其中一個(gè)三倍螺旋，右方顯示的是螺旋連接構(gòu)成晶體框架。,/dutchs/PETROLGY/QuartzStruc.HTM,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,滑移面,滑移反映面， (滑移面)簡(jiǎn)稱滑移面，其對(duì)稱操作是沿滑移面進(jìn)行鏡面反映操作，然后接著進(jìn)行與平行于滑移面的一個(gè)方向的平移，平移的大小與方向等于滑移矢量。 點(diǎn)陣的周期性要求重復(fù)兩次滑移反映后產(chǎn)生的新位置與起始位置相差一個(gè)點(diǎn)陣周期，所以滑移面的平移量等于該方向點(diǎn)陣平移

16、周期的一半。,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,滑移反射,不對(duì)稱單位先經(jīng)鏡面反射，然后沿平行與鏡面的方向平移。 滑移反射改變了不對(duì)稱單位的手性。,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,滑移面分類,軸向滑移面：沿晶軸(a、b， c)方向滑移; 對(duì)角滑移面：沿晶胞面對(duì)角線或體對(duì)角線方向滑移，平移分量為對(duì)角線一半; 金剛石滑移面：沿晶胞面對(duì)角線或體對(duì)角線方向滑移，平移分量對(duì)角線1/4的對(duì)角滑移面。只有在體心或面心點(diǎn)陣中出現(xiàn)，這時(shí)有關(guān)對(duì)角線的中點(diǎn)也有一個(gè)陣點(diǎn)，所以平移分量仍然是滑移方向點(diǎn)陣平移點(diǎn)陣周期的一半。,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,鏡面和滑移面,鏡面或滑移面的符號(hào)。 (在左邊： 沿鏡面的邊緣看。 在右邊是沿垂直于鏡面的方向

17、觀看。 箭頭表示平移方向。,a， b， c是平行于單胞邊的滑移。 n是對(duì)角滑移，在兩個(gè)方向都滑移單胞長(zhǎng)度的一半。 d是類似n的對(duì)角滑移，但這里在每個(gè)方向移動(dòng)單胞邊長(zhǎng)的1/4。,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,對(duì)稱操作分類,只產(chǎn)生可重合物體的操作統(tǒng)稱為第一類操作；而產(chǎn)生物體對(duì)映體（鏡像）的操作統(tǒng)稱為第二類操作。 第一類操作：真（純）旋轉(zhuǎn)；螺旋旋轉(zhuǎn)。 第二類操作：反射；反演；滑移；非真旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)反演，旋轉(zhuǎn)反映） 沒有反軸對(duì)稱性的晶體是手性晶體。,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,晶系(The seven crystal systems),晶系：按照晶胞的特征對(duì)稱元素可以分成7個(gè)不同類型，稱為晶系。,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性

18、-董成,7個(gè)晶系的單胞,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,不同晶系中的標(biāo)準(zhǔn)單胞選擇規(guī)則,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,群的定義,假設(shè)G是由一些元素組成的集合，即G= ， g，。 在G中定義了一種二元合成規(guī)則(操作、運(yùn)算，群的乘法)。 如果G對(duì)這種合成規(guī)則滿足以下四個(gè)條件： a)封閉性： G中任意兩個(gè)元素的乘積仍然屬于G。 b)結(jié)合律： c)單位元素。 集合G中存在一個(gè)單位元素e，對(duì)任意元素， 有 d)可逆性。 對(duì)任意元素 ，存在逆元素 ，使 則稱集合G為一個(gè)群。,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,晶體學(xué)點(diǎn)群,晶體中滿足群的性質(zhì)定義的點(diǎn)對(duì)稱操作的集合稱作晶體學(xué)點(diǎn)群。點(diǎn)對(duì)稱操作的共同特征是進(jìn)行操作后物體中至少有一個(gè)點(diǎn)是不動(dòng)

19、的。 晶體學(xué)中，點(diǎn)對(duì)稱操作只能有軸次為1,2,3,4,6的旋轉(zhuǎn)軸和反軸。(對(duì)稱中心= ，鏡面= ) 如果把點(diǎn)對(duì)稱操作元素通過(guò)一個(gè)公共的點(diǎn)按所有可能組合起來(lái)，則一共可以得出32種不同的組合方式，稱為32個(gè)晶體學(xué)點(diǎn)群。,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,32個(gè)點(diǎn)群,點(diǎn)群是至少保留一點(diǎn)不動(dòng)的對(duì)稱操作群。 點(diǎn)群晶體+非晶體 32個(gè)晶體學(xué)點(diǎn)群是滿足“晶體制約”的點(diǎn)群。,32晶類的推演 http:/metafysica.nl/derivation_32.html,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,晶體學(xué)點(diǎn)群的對(duì)稱元素方向及國(guó)際符號(hào),晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,點(diǎn)群的Schnflies符號(hào),Cn: 具有一個(gè)n次旋轉(zhuǎn)軸的點(diǎn)群。 Cn

20、h: 具有一個(gè)n次旋轉(zhuǎn)軸和一個(gè)垂直于該軸的鏡面的點(diǎn)群。 Cnv: 具有一個(gè)n次旋轉(zhuǎn)軸和n個(gè)通過(guò)該軸的鏡面的點(diǎn)群。 Dn: 具有一個(gè)n次旋轉(zhuǎn)主軸和n個(gè)垂直該軸的二次軸的點(diǎn)群。 Sn:具有一個(gè)n次反軸的點(diǎn)群。 T:具有4個(gè)3次軸和4個(gè)2次軸的正四面體點(diǎn)群。 O:具有3個(gè)4次軸,4個(gè)3次軸和6個(gè)2次軸的八面體點(diǎn)群。,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,32種點(diǎn)群的表示符號(hào)及性質(zhì),1.旋轉(zhuǎn)軸(C=cyclic) ： C1,C2, C3, C4, C6; 1,2,3,4,6 2. 旋轉(zhuǎn)軸加上垂直于該軸的對(duì)稱平面： C1h=Cs, C2h,C3h,C4h,C6h; m,2/m,3/m ( ) ,4/m,6/m 3.旋

21、轉(zhuǎn)軸加通過(guò)該軸的鏡面： C2v,C3v,C4v,C6v; mm2,3m,4mm,6mm 4.旋轉(zhuǎn)反演軸 S2= Ci, S4,S6=C3d; -1,-4,-3,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,32種點(diǎn)群的符號(hào)表示符號(hào)及性質(zhì),5.旋轉(zhuǎn)軸(n)加n個(gè)垂直于該軸的二次軸： D2,D3,D4,D6; 222,32,422,622 6.旋轉(zhuǎn)軸(n)加n個(gè)垂直于該軸的二次軸和鏡面： D2h,D3h,D4h,D6h;mmm,3/mm,4/mm,6/mmm 7. D群附加對(duì)角豎直平面： D2d,D3d; -42m,-3m 8. 立方體群(T=tetrahedral， O=octahedral) T, Th, O, T

22、d, Oh; 23,m3,432,-43m,m3m,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,晶體點(diǎn)群的Schnflies和國(guó)際符號(hào),晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,點(diǎn)群與物理性質(zhì),晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,點(diǎn)陣帶心,在單胞之內(nèi)附加點(diǎn)陣點(diǎn)位置由一套帶心操作描述： 體心(I)：在 附加的點(diǎn)陣點(diǎn)； 面心(F)：在0 、 0 和 0有附加的點(diǎn)陣點(diǎn)； 面心(C)：在 0有附加的點(diǎn)陣點(diǎn),晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,帶心操作,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,帶心,不是所有七個(gè)晶系都可能帶心僅有14個(gè)可能的組合(Bravais點(diǎn)陣) 一些帶心的類型不允許，因?yàn)樗麄儗⒔档蛦伟膶?duì)稱性： 如立方晶系不可能有底心點(diǎn)陣，因?yàn)檫@將破壞立方對(duì)稱的一個(gè)基本條件

23、：有三次對(duì)稱軸。 一些帶心的類型是多余的： 如C心的四方點(diǎn)陣總可以用一個(gè)更小的初基四方單胞來(lái)描述。,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,空間點(diǎn)陣型式-布拉伐點(diǎn)陣,空間點(diǎn)陣按點(diǎn)群對(duì)稱性和帶心的模式一共可以產(chǎn)生14種型式，稱為14種布拉伐點(diǎn)陣或布拉伐點(diǎn)陣。布拉伐點(diǎn)陣表示出所屬空間群的平移子群。 Bravais點(diǎn)陣描述點(diǎn)陣的純平移對(duì)稱。 實(shí)質(zhì)上通過(guò)指定Bravais點(diǎn)陣，指定了單胞(晶系)的形狀和帶心的型式。,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,14種空間點(diǎn)陣型式示意圖(14個(gè)Bravais點(diǎn)陣),晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,14種可能的Bravais點(diǎn)陣,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,從晶系到空間群,7個(gè)晶系,旋轉(zhuǎn)，反射，反演,平

24、移,螺旋軸，滑移面,32個(gè)點(diǎn)群,14種Bravais格子,230個(gè)空間群,（按照晶胞的特征對(duì)稱元素分類）,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,空間群(Space Group),晶體學(xué)中的空間群是三維周期性物體(晶體)變換成它自身的對(duì)稱操作(平移，點(diǎn)操作以及這兩者的組合)的集合。一共有230種空間群。 空間群是點(diǎn)陣、平移群(滑移面和螺旋軸)和點(diǎn)群的組合。 230個(gè)空間群是由14個(gè)Bravais點(diǎn)陣與32個(gè)晶體點(diǎn)群系統(tǒng)組合而成。,參見： /asda/Libraries/sgtable.html,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,空間群分布,三斜晶系：2個(gè)；單斜晶系：13個(gè) 正

25、交晶系：59個(gè)； 三方晶系：25 四方晶系：68個(gè)；六方晶系：27個(gè) 立方晶系：36個(gè)。 有對(duì)稱中心90個(gè)，無(wú)對(duì)稱中心140個(gè)。 73 個(gè) symmorphic (點(diǎn)式) ， 157個(gè) non-symmorphic。,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,空間群對(duì)稱元素的標(biāo)準(zhǔn)符號(hào),晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,對(duì)稱元素的圖示和印刷符號(hào)（1）,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,對(duì)稱元素的圖示和印刷符號(hào)（2）,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,了解Herman-Mauguin空間群符號(hào),空間群是經(jīng)常用簡(jiǎn)略Herman-Mauguin符號(hào)(即Pnma、I4/mmm等)來(lái)指定。 在簡(jiǎn)略符號(hào)中包含能產(chǎn)生所有其余對(duì)稱元素所必需的最少對(duì)稱元素。

26、從簡(jiǎn)略H-M符號(hào)，我們可以確定晶系、Bravais點(diǎn)陣、點(diǎn)群和某些對(duì)稱元素的存在和取向（反之亦然）。,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,空間群符號(hào)LS1S2S3,運(yùn)用以下規(guī)則，可以從對(duì)稱元素獲得H-M空間群符號(hào)。 第一字母(L)是點(diǎn)陣描述符號(hào)，指明點(diǎn)陣帶心類型： P， I， F， C， A， B。 其于三個(gè)符號(hào)(S1S2S3)表示在特定方向（對(duì)每種晶系分別規(guī)定）上的對(duì)稱元素。 如果沒有二義性可能，常用符號(hào)的省略形式 (如Pm，而不用寫成P1m1)。 * 由于不同的晶軸選擇和標(biāo)記，同一個(gè)空間群可能有幾種不同的符號(hào)。如P21/c,如滑移面選為在a方向，符號(hào)為P21/a;如滑移面選為對(duì)角滑移，符號(hào)為P21/n

27、。,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,對(duì)稱方向,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,X-射線結(jié)晶學(xué)國(guó)際表 (1),提供的信息的是： 1. 空間群的國(guó)際符號(hào)為 2. Schoenflies符號(hào) 3. 晶系 4. 晶類 5。一般等效點(diǎn)圖： 單胞的投影，包含所有等效點(diǎn)位置。 “+”表示 z0， “- “表示z0; “，”表示點(diǎn)“被翻轉(zhuǎn)” (鏡面操作或反演)。,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,X-射線結(jié)晶學(xué)國(guó)際表 (2),6. 對(duì)稱圖： 單胞的對(duì)稱元素 7. 點(diǎn)位置(首先一般等效點(diǎn)，然后特殊點(diǎn)) ： 多重性(等效點(diǎn)的個(gè)數(shù)) “Wyckoff記號(hào)“ 在該位置的點(diǎn)對(duì)稱性（site symmetry） 點(diǎn)的坐標(biāo) 8.出現(xiàn)衍射的條件 9-

28、12：（略）,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,從空間群符號(hào)辨認(rèn)晶系,立方第2個(gè)對(duì)稱符號(hào)： 3 或 3 (如： Ia3, Pm3m, Fd3m) 四方第1個(gè)對(duì)稱符號(hào)： 4, 4 , 41, 42 或 43 (如： P41212, I4/m, P4/mcc) 六方第1個(gè)對(duì)稱符號(hào)： 6, 6 , 61, 62, 63, 64 或 65 (如： P6mm, P63/mcm) 三方第1個(gè)對(duì)稱符號(hào)： 3, 3 ，31 或 32 (如： P31m, R3, R3c, P312) 正交點(diǎn)陣符號(hào)后的全部三個(gè)符號(hào)是鏡面，滑移面，2次旋轉(zhuǎn)軸或2次螺旋軸 (即Pnma, Cmc21, Pnc2） 單斜點(diǎn)陣符號(hào)后有唯一的鏡面、

29、滑移面、2次旋轉(zhuǎn)或者螺旋軸，或者軸/平面符號(hào)(即Cc、P2、P21/n)。 三斜點(diǎn)陣符號(hào)后是1或(- 1)。,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,從空間群符號(hào)確定點(diǎn)群,點(diǎn)群可以從簡(jiǎn)略H-M符號(hào)通過(guò)下列變換得出： 1.把所有滑移面全部轉(zhuǎn)換成鏡面； 2.把所有螺旋軸全部轉(zhuǎn)換成旋轉(zhuǎn)軸。 例如： 空間群= Pnma 點(diǎn)群= mmm空間群= I 4c2 點(diǎn)群= 4m2空間群= P42/n 點(diǎn)群= 4/m,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,國(guó)際表中的空間群P21/c,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,P21/c,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,P21/c的圖示,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,等效點(diǎn)系,晶胞中對(duì)稱元素按照一定的方式排布。在晶胞中某個(gè)坐標(biāo)

30、點(diǎn)有一個(gè)原子時(shí)，由于對(duì)稱性的要求，必然在另外一些坐標(biāo)點(diǎn)也要有相同的原子。這些由對(duì)稱性聯(lián)系起來(lái)，彼此對(duì)稱等效的點(diǎn)，稱為等效點(diǎn)系。 等效點(diǎn)系在空間群表中表示為Wyckoff位置 。,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,Wyckoff位置 （1）,在國(guó)際表中包含的一個(gè)最有用的信息是Wyckoff位置。 Wyckoff位置告訴我們?cè)诰w中何處可以找到原子。 比如：?jiǎn)涡笨臻g群Pm 僅有垂直于b軸的二個(gè)鏡面。 一個(gè)在y = 0，另一個(gè)在y = 位置。 通過(guò)鏡面操作，在x， y， z的原子 -在x， - y， z 第二個(gè)原子。如果我們安置原子在其中一個(gè)鏡面(它的Y座標(biāo)將必須是0或)，鏡面反射操作就不會(huì)產(chǎn)生第二個(gè)原子。,

31、晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,Wyckoff位置 （2）,多重性（ multiplicity ）：告訴我們?nèi)绻仓靡粋€(gè)特定原子在該位置，經(jīng)過(guò)空間群的所有對(duì)稱操作，總共會(huì)產(chǎn)生多少個(gè)原子。 記號(hào)（ letter ）是從高對(duì)稱性位置開始按英文字母順序指定的位置標(biāo)記。 對(duì)稱（ symmetry ）告訴我們?cè)铀谥幘哂械膶?duì)稱元素。,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,Pm空間群的 Wyckoff位置,在晶體結(jié)構(gòu)描述中，經(jīng)常把多重性和Wyckoff記號(hào)結(jié)合在一起作為等效位置的名稱。如把Pm空間群中的等效點(diǎn)位置稱為1a,1b,2c 等。,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,一般位置-特殊位置,一般位置：空間群表里最先列出的Wyckoff位置， 不處在任何一個(gè)對(duì)稱元素上的位置； 一般位置具有最高多重性（M）。初級(jí)晶胞中M等于點(diǎn)群的對(duì)稱操作總數(shù)；