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1、晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-從點(diǎn)陣到空間群,中國(guó)科學(xué)院物理研究所 董成,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,主要內(nèi)容,晶體的平移對(duì)稱性:三維點(diǎn)陣和晶胞 晶體學(xué)中的對(duì)稱操作元素: (旋轉(zhuǎn)軸、倒反中心、鏡面、反軸、映軸、螺旋軸和滑移面) 晶體學(xué)點(diǎn)群,晶系和點(diǎn)陣型式 空間群及其應(yīng)用:空間群符號(hào),等效點(diǎn)系,分?jǐn)?shù)坐標(biāo),不對(duì)稱單位,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,晶體性質(zhì),晶體是原子(包括離子,原子團(tuán))在三維空間中周期性排列形成的固體物質(zhì)。晶體有以下的共同性質(zhì): 均勻性; 各向異性; 自范性; 對(duì)稱性; 穩(wěn)定性。,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,對(duì)稱性的不同含義,物體的組成部分之間或不同物體之間特征的對(duì)應(yīng)、等價(jià)或相等的
2、關(guān)系。(希臘字根=類似尺寸的。) 由于平衡或和諧的排列所顯示的美。 形態(tài)和(在中分平面、中心或一個(gè)軸兩側(cè)的)組元的排列構(gòu)型的精確對(duì)應(yīng)。,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,晶格,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,晶體點(diǎn)陣與晶體對(duì)稱性,在每個(gè)重復(fù)周期都選取一個(gè)代表點(diǎn),就可以用三維空間點(diǎn)陣來(lái)描述晶體的平移對(duì)稱性。而平移對(duì)稱性是晶體最為基本的對(duì)稱性。整個(gè)點(diǎn)陣沿平移矢量 t=ua+vb+wc (u、v, w為任意整數(shù)) 平移,得到的新空間點(diǎn)陣與平移前一樣,稱沿矢量t的平移為平移對(duì)稱操作。,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,晶體點(diǎn)陣與晶體對(duì)稱性,點(diǎn)陣是一組無(wú)限的點(diǎn),連接其中任意兩點(diǎn)可以得到一個(gè)矢量,點(diǎn)陣按此矢量平移后都能復(fù)原。三維空間
3、點(diǎn)陣是在三維空間中點(diǎn)的無(wú)限陣列,其中所有的點(diǎn)都有相同的環(huán)境。選任意一個(gè)陣點(diǎn)作為原點(diǎn),三個(gè)不共面的矢量a, b和c作為坐標(biāo)軸的基矢,這三個(gè)矢量得以確定一個(gè)平行六面體如下:,此平行六面體稱為晶胞。,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,晶胞,如上確定的六面體稱為晶胞,由矢量a, b和c確定的方向稱為晶體學(xué)的晶軸 X, Y, Z。 如果晶胞中只包含一個(gè)陣點(diǎn),則這種晶胞被稱為初基的 (primitive)。 晶胞的大小和形狀可以用晶胞參數(shù)來(lái)表示,即用晶胞的三個(gè)邊的長(zhǎng)度a, b, c三個(gè)邊之間的夾角a, b, g表示。 晶胞包含描述晶體結(jié)構(gòu)所需的最基本結(jié)構(gòu)信息。如果知道了晶胞中全部原子的坐標(biāo),就有了晶體結(jié)構(gòu)的全部信息
4、。 一般寫作:晶體結(jié)構(gòu)=點(diǎn)陣+結(jié)構(gòu)基元;但準(zhǔn)確的描述應(yīng)為: 晶體結(jié)構(gòu)=點(diǎn)陣*結(jié)構(gòu)基元 ;晶體結(jié)構(gòu)=結(jié)構(gòu)基元點(diǎn)陣,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,晶胞的選取,晶胞的選取可以有多種方式,但在實(shí)際確定晶胞時(shí),要盡可能選取對(duì)稱性高的初基單胞,還要兼顧盡可能反映晶體內(nèi)部結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性,所以有時(shí)使用對(duì)稱性較高的非初基胞-慣用晶胞。 (1)符合整個(gè)空間點(diǎn)陣的對(duì)稱性。 (2)晶軸之間相交成的直角最多。 (3)體積最小。 (4)晶軸交角不為直角時(shí),選最短的晶軸,且交角接近直角。,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,點(diǎn)陣、結(jié)構(gòu)和單胞,點(diǎn)陣:晶體的周期性,忽略填充空間的實(shí)際結(jié)構(gòu)(分子) 。 點(diǎn)陣矢量:由點(diǎn)陣矢量移動(dòng)晶體到一個(gè)等效位置的平
5、移。 初基點(diǎn)陣矢量: 可選擇的最小點(diǎn)陣矢量。 初基晶胞: 初基點(diǎn)陣矢量定義的平行六面體,僅包含一個(gè)點(diǎn)陣點(diǎn)。 晶體結(jié)構(gòu): 原子在晶體中的周期性排列。 它可以通過(guò)在每點(diǎn)陣點(diǎn)安放一個(gè)稱為基元(或型主)的一組原子來(lái)描述。,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,不要混淆點(diǎn)陣點(diǎn)和原子,陣點(diǎn)是在空間中無(wú)窮小的點(diǎn)。 原子是實(shí)在物體。 陣點(diǎn)不必處于原子中心。,晶體結(jié)構(gòu)= 結(jié)構(gòu)基元點(diǎn)陣 晶體結(jié)構(gòu)是在每個(gè)點(diǎn)陣點(diǎn)上安放一個(gè)結(jié)構(gòu)基元。,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,三維晶胞的原子計(jì)數(shù),在晶胞不同位置的原子由不同數(shù)目的晶胞分享: 頂角原子 1/8 棱上原子 1/4 面上原子 1/2 晶胞內(nèi)部 1,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,石墨晶體結(jié)構(gòu),晶體結(jié)
6、構(gòu)的對(duì)稱性-董成,三維點(diǎn)陣和晶胞,使用矢量a、b和c 指定點(diǎn)陣:在所有兩個(gè)點(diǎn)陣點(diǎn)之間的矢量(r)滿足關(guān)系, r = ua + vb + wc, , 其中u、v和w是整數(shù)。 指定晶體中的任意點(diǎn): r = (u+x)a + (v+y)b + (w+z)c ,其中u, v, w為整數(shù) r = (ua + vb +wc) + (xa + yb +zc) x, y, z是在晶胞之內(nèi)指定一個(gè)位置的分?jǐn)?shù)座標(biāo)。 x, y, z用晶胞邊長(zhǎng)的分?jǐn)?shù)表示,在0-1之間變化。晶胞原點(diǎn)的分?jǐn)?shù)坐標(biāo)總是0,0,0。 用相同分?jǐn)?shù)座標(biāo)x、y和z指定的所有位置都對(duì)稱等價(jià)。(由于晶體的三維周期性,在分?jǐn)?shù)坐標(biāo)上加減任意整數(shù),仍然表示平
7、移對(duì)稱的等價(jià)位置。),晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,晶體學(xué)中的對(duì)稱操作元素,分子和晶體都是對(duì)稱圖像,是由若干個(gè)相等的部分或單元按照一定的方式組成的。對(duì)稱圖像是一個(gè)能經(jīng)過(guò)不改變其中任何兩點(diǎn)間距離的操作后復(fù)原的圖像。這樣的操作稱為對(duì)稱操作。 在操作中保持空間中至少一個(gè)點(diǎn)不動(dòng)的對(duì)稱操作稱為點(diǎn)對(duì)稱操作,如簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)和鏡像轉(zhuǎn)動(dòng)(反映和倒反)是點(diǎn)式操作;使空間中所有點(diǎn)都運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱操作稱為非點(diǎn)式操作,如平移,螺旋轉(zhuǎn)動(dòng)和滑移反映。,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,對(duì)稱操作和對(duì)稱元素,對(duì)稱操作: 一個(gè)物體運(yùn)動(dòng)或變換,使得變換后的物體與變換前不可區(qū)分(復(fù)原,重合)。 對(duì)稱元素:在對(duì)稱操作中保持不變的幾何圖型:點(diǎn)、軸或面。 點(diǎn)群:
8、 保留一點(diǎn)不變的對(duì)稱操作群。 空間群:為擴(kuò)展到三維物體例如晶體的對(duì)稱操作群,由點(diǎn)群對(duì)稱操作和平移對(duì)稱操作組合而成;由 32 晶體學(xué)點(diǎn)群與 14個(gè)Bravais 點(diǎn)陣組合而成;空間群是一個(gè)單胞(包含單胞帶心)的平移對(duì)稱操作;反射、旋轉(zhuǎn)和旋轉(zhuǎn)反演等點(diǎn)群對(duì)稱性操作、以及螺旋軸和滑移面對(duì)稱性操作的組合。,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,全同操作,(1)全同操作(Identity),符號(hào)表示為1 (E),對(duì)應(yīng)于物體不動(dòng)的對(duì)稱操作,對(duì)應(yīng)的變換矩陣為單位矩陣。,矩陣表示,注意:符號(hào)表示為國(guó)際符號(hào)也稱為赫爾曼-毛古因Hermann-Mauguin符號(hào),括號(hào)內(nèi)為熊夫利斯Schnflies 符號(hào)。,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成
9、,旋轉(zhuǎn)軸,(2)旋轉(zhuǎn)軸(旋轉(zhuǎn)軸) :繞某軸反時(shí)針旋轉(zhuǎn)q =360/n度, n稱為旋轉(zhuǎn)軸的次數(shù)(或重?cái)?shù)),符號(hào)為n (Cn)。其變換矩陣為:,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,旋轉(zhuǎn)矩陣,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,晶體中的旋轉(zhuǎn)軸限制,練習(xí)題: 平移對(duì)稱性對(duì)旋轉(zhuǎn)軸的次數(shù)n有很大的限制,證明在晶體學(xué)中只能出n=1,2,3,4,6的旋轉(zhuǎn)軸。 寫出沿三個(gè)坐標(biāo)軸X,Y和Z的4次旋轉(zhuǎn)軸的表示矩陣。,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,矩陣乘法,2次旋轉(zhuǎn)矩陣,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,倒反中心(Inversion center),倒反中心:也稱為反演中心或?qū)ΨQ中心(Center of symmetry),它的操作是通過(guò)一個(gè)點(diǎn)的倒反(反演
10、),使空間點(diǎn)的每一個(gè)位置由坐標(biāo)為(x、y, z)變換到(- x, - y, - z)。符號(hào)為1(i),變換矩陣為,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,反映面-鏡面,反映面,也稱鏡面,反映操作是從空間某一點(diǎn)向反映面引垂線,并延長(zhǎng)該垂線到反映面的另一側(cè),在延長(zhǎng)線上取一點(diǎn),使其到反映面的距離等于原來(lái)點(diǎn)到反映面的距離。符號(hào)為m (s)。 為了表示反映面的方向,可以在其符號(hào)后面標(biāo)以該面的法線。如法線為010的反映面,可記為m 010。,m 010 (x、y, z) = (x, - y, z),晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,鏡面類型和矩陣表示,關(guān)于對(duì)稱平面(或鏡面)的反映,可以平行于(vertical ,v) 或 垂直于(
11、horizontal ,sh) 主軸。 在二個(gè)C2軸之間角平分線的一個(gè)垂直平面叫作雙面鏡面,d ( dihedral plane )。,通過(guò)yz面的反映。,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,旋轉(zhuǎn)倒反軸-反軸,旋轉(zhuǎn)倒反軸,簡(jiǎn)稱反軸 (Axis of inversion , Rotoinversion axis),其對(duì)稱操作是先進(jìn)行旋轉(zhuǎn)操作(n)后立刻再進(jìn)行倒反操作,這樣的復(fù)合操作稱為記為,組合成這種復(fù)合操作的每一個(gè)操作本身不一定是對(duì)稱操作。其矩陣表示為:,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,旋轉(zhuǎn)反映軸-映軸,旋轉(zhuǎn)反映軸,簡(jiǎn)稱映軸(rotoreflection axis),其對(duì)稱操作是先進(jìn)行繞映軸的旋轉(zhuǎn)操作(n)后立刻
12、再對(duì)垂直于該映軸的反映面進(jìn)行反映操作m。符號(hào)為 (Sn),設(shè)對(duì)稱軸沿001方向,其矩陣表示為:,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,旋轉(zhuǎn)反映Sn,旋轉(zhuǎn)反映 Sn,包括繞對(duì)稱軸的逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)360/n,接著作垂直反射。 旋轉(zhuǎn)反演和旋轉(zhuǎn)反映(Improper rotation)被(譯)稱為異常旋轉(zhuǎn)、非真旋轉(zhuǎn)、不當(dāng)旋轉(zhuǎn)等。,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,反軸和映軸間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,用映軸表示的對(duì)稱操作都可以用反軸表示,所以在新的晶體學(xué)國(guó)際表中只用反軸。 所有的點(diǎn)對(duì)稱操作實(shí)際上可以簡(jiǎn)單的分為簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)操作和旋轉(zhuǎn)倒反操作兩種。全同操作就是一次真旋轉(zhuǎn)軸,倒反中心為一次反軸,鏡面為二次反軸,所有映軸都可以用等價(jià)反軸表示。,晶體結(jié)構(gòu)的
13、對(duì)稱性-董成,反軸和映軸間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,旋轉(zhuǎn)倒反軸和旋轉(zhuǎn)反映軸之間存在簡(jiǎn)單的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,旋轉(zhuǎn)角度為q的反軸和旋轉(zhuǎn)角為(q-p)的映軸是等價(jià)的對(duì)稱軸,這一關(guān)系也很容易從他們的表示矩陣看出。所以1次, 2次, 3次, 4次和6次反軸分別等價(jià)于2次, 1次, 6次, 4次和3次映軸。,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,練習(xí)題,證明:(1)倒反中心是一次反軸;(2)鏡面是二次反軸。 找出一個(gè)立方體具有的所有旋轉(zhuǎn)軸。(6個(gè)2次軸, 4個(gè)3次軸, 3個(gè)4次軸。),晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,非點(diǎn)式對(duì)稱操作,非點(diǎn)式對(duì)稱操作:是由點(diǎn)式操作與平移操作復(fù)合后形成的新的對(duì)稱操作,平移和旋轉(zhuǎn)復(fù)合形成能導(dǎo)出螺旋旋轉(zhuǎn),平移和反映復(fù)合能
14、導(dǎo)出滑移反映。,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,螺旋軸,螺旋軸:先繞軸進(jìn)行逆時(shí)針方向360/n度的旋轉(zhuǎn),接著作平行于該軸的平移,平移量為(p/n) t,這里t是平行于轉(zhuǎn)軸方向的最短的晶格平移矢量,符號(hào)為np, n稱為螺旋軸的次數(shù), (n可以取值2,3,4,6),而p只取小于n的整數(shù)。所以可以有以下11種螺旋軸: 21,31,32,41,42,43,61,62,63,64,65。,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,二次螺旋軸,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,螺旋軸 21,31 ,32 ,63,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,螺旋軸41,42 ,43,41和43彼此對(duì)映。當(dāng)其中之一是左手螺旋時(shí),另一個(gè)為右手螺旋。,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性
15、-董成,螺旋軸61,62,63,64,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,石英結(jié)構(gòu)中的六次螺旋軸,石英的基本結(jié)構(gòu)可以看成是硅氧四面體在三和六次螺旋軸附近的螺旋鏈 。 在如下左邊其中一個(gè)三倍螺旋,右方顯示的是螺旋連接構(gòu)成晶體框架。,/dutchs/PETROLGY/QuartzStruc.HTM,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,滑移面,滑移反映面, (滑移面)簡(jiǎn)稱滑移面,其對(duì)稱操作是沿滑移面進(jìn)行鏡面反映操作,然后接著進(jìn)行與平行于滑移面的一個(gè)方向的平移,平移的大小與方向等于滑移矢量。 點(diǎn)陣的周期性要求重復(fù)兩次滑移反映后產(chǎn)生的新位置與起始位置相差一個(gè)點(diǎn)陣周期,所以滑移面的平移量等于該方向點(diǎn)陣平移
16、周期的一半。,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,滑移反射,不對(duì)稱單位先經(jīng)鏡面反射,然后沿平行與鏡面的方向平移。 滑移反射改變了不對(duì)稱單位的手性。,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,滑移面分類,軸向滑移面:沿晶軸(a、b, c)方向滑移; 對(duì)角滑移面:沿晶胞面對(duì)角線或體對(duì)角線方向滑移,平移分量為對(duì)角線一半; 金剛石滑移面:沿晶胞面對(duì)角線或體對(duì)角線方向滑移,平移分量對(duì)角線1/4的對(duì)角滑移面。只有在體心或面心點(diǎn)陣中出現(xiàn),這時(shí)有關(guān)對(duì)角線的中點(diǎn)也有一個(gè)陣點(diǎn),所以平移分量仍然是滑移方向點(diǎn)陣平移點(diǎn)陣周期的一半。,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,鏡面和滑移面,鏡面或滑移面的符號(hào)。 (在左邊: 沿鏡面的邊緣看。 在右邊是沿垂直于鏡面的方向
17、觀看。 箭頭表示平移方向。,a, b, c是平行于單胞邊的滑移。 n是對(duì)角滑移,在兩個(gè)方向都滑移單胞長(zhǎng)度的一半。 d是類似n的對(duì)角滑移,但這里在每個(gè)方向移動(dòng)單胞邊長(zhǎng)的1/4。,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,對(duì)稱操作分類,只產(chǎn)生可重合物體的操作統(tǒng)稱為第一類操作;而產(chǎn)生物體對(duì)映體(鏡像)的操作統(tǒng)稱為第二類操作。 第一類操作:真(純)旋轉(zhuǎn);螺旋旋轉(zhuǎn)。 第二類操作:反射;反演;滑移;非真旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)反演,旋轉(zhuǎn)反映) 沒有反軸對(duì)稱性的晶體是手性晶體。,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,晶系(The seven crystal systems),晶系:按照晶胞的特征對(duì)稱元素可以分成7個(gè)不同類型,稱為晶系。,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性
18、-董成,7個(gè)晶系的單胞,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,不同晶系中的標(biāo)準(zhǔn)單胞選擇規(guī)則,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,群的定義,假設(shè)G是由一些元素組成的集合,即G= , g,。 在G中定義了一種二元合成規(guī)則(操作、運(yùn)算,群的乘法)。 如果G對(duì)這種合成規(guī)則滿足以下四個(gè)條件: a)封閉性: G中任意兩個(gè)元素的乘積仍然屬于G。 b)結(jié)合律: c)單位元素。 集合G中存在一個(gè)單位元素e,對(duì)任意元素, 有 d)可逆性。 對(duì)任意元素 ,存在逆元素 ,使 則稱集合G為一個(gè)群。,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,晶體學(xué)點(diǎn)群,晶體中滿足群的性質(zhì)定義的點(diǎn)對(duì)稱操作的集合稱作晶體學(xué)點(diǎn)群。點(diǎn)對(duì)稱操作的共同特征是進(jìn)行操作后物體中至少有一個(gè)點(diǎn)是不動(dòng)
19、的。 晶體學(xué)中,點(diǎn)對(duì)稱操作只能有軸次為1,2,3,4,6的旋轉(zhuǎn)軸和反軸。(對(duì)稱中心= ,鏡面= ) 如果把點(diǎn)對(duì)稱操作元素通過(guò)一個(gè)公共的點(diǎn)按所有可能組合起來(lái),則一共可以得出32種不同的組合方式,稱為32個(gè)晶體學(xué)點(diǎn)群。,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,32個(gè)點(diǎn)群,點(diǎn)群是至少保留一點(diǎn)不動(dòng)的對(duì)稱操作群。 點(diǎn)群晶體+非晶體 32個(gè)晶體學(xué)點(diǎn)群是滿足“晶體制約”的點(diǎn)群。,32晶類的推演 http:/metafysica.nl/derivation_32.html,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,晶體學(xué)點(diǎn)群的對(duì)稱元素方向及國(guó)際符號(hào),晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,點(diǎn)群的Schnflies符號(hào),Cn: 具有一個(gè)n次旋轉(zhuǎn)軸的點(diǎn)群。 Cn
20、h: 具有一個(gè)n次旋轉(zhuǎn)軸和一個(gè)垂直于該軸的鏡面的點(diǎn)群。 Cnv: 具有一個(gè)n次旋轉(zhuǎn)軸和n個(gè)通過(guò)該軸的鏡面的點(diǎn)群。 Dn: 具有一個(gè)n次旋轉(zhuǎn)主軸和n個(gè)垂直該軸的二次軸的點(diǎn)群。 Sn:具有一個(gè)n次反軸的點(diǎn)群。 T:具有4個(gè)3次軸和4個(gè)2次軸的正四面體點(diǎn)群。 O:具有3個(gè)4次軸,4個(gè)3次軸和6個(gè)2次軸的八面體點(diǎn)群。,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,32種點(diǎn)群的表示符號(hào)及性質(zhì),1.旋轉(zhuǎn)軸(C=cyclic) : C1,C2, C3, C4, C6; 1,2,3,4,6 2. 旋轉(zhuǎn)軸加上垂直于該軸的對(duì)稱平面: C1h=Cs, C2h,C3h,C4h,C6h; m,2/m,3/m ( ) ,4/m,6/m 3.旋
21、轉(zhuǎn)軸加通過(guò)該軸的鏡面: C2v,C3v,C4v,C6v; mm2,3m,4mm,6mm 4.旋轉(zhuǎn)反演軸 S2= Ci, S4,S6=C3d; -1,-4,-3,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,32種點(diǎn)群的符號(hào)表示符號(hào)及性質(zhì),5.旋轉(zhuǎn)軸(n)加n個(gè)垂直于該軸的二次軸: D2,D3,D4,D6; 222,32,422,622 6.旋轉(zhuǎn)軸(n)加n個(gè)垂直于該軸的二次軸和鏡面: D2h,D3h,D4h,D6h;mmm,3/mm,4/mm,6/mmm 7. D群附加對(duì)角豎直平面: D2d,D3d; -42m,-3m 8. 立方體群(T=tetrahedral, O=octahedral) T, Th, O, T
22、d, Oh; 23,m3,432,-43m,m3m,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,晶體點(diǎn)群的Schnflies和國(guó)際符號(hào),晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,點(diǎn)群與物理性質(zhì),晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,點(diǎn)陣帶心,在單胞之內(nèi)附加點(diǎn)陣點(diǎn)位置由一套帶心操作描述: 體心(I):在 附加的點(diǎn)陣點(diǎn); 面心(F):在0 、 0 和 0有附加的點(diǎn)陣點(diǎn); 面心(C):在 0有附加的點(diǎn)陣點(diǎn),晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,帶心操作,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,帶心,不是所有七個(gè)晶系都可能帶心僅有14個(gè)可能的組合(Bravais點(diǎn)陣) 一些帶心的類型不允許,因?yàn)樗麄儗⒔档蛦伟膶?duì)稱性: 如立方晶系不可能有底心點(diǎn)陣,因?yàn)檫@將破壞立方對(duì)稱的一個(gè)基本條件
23、:有三次對(duì)稱軸。 一些帶心的類型是多余的: 如C心的四方點(diǎn)陣總可以用一個(gè)更小的初基四方單胞來(lái)描述。,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,空間點(diǎn)陣型式-布拉伐點(diǎn)陣,空間點(diǎn)陣按點(diǎn)群對(duì)稱性和帶心的模式一共可以產(chǎn)生14種型式,稱為14種布拉伐點(diǎn)陣或布拉伐點(diǎn)陣。布拉伐點(diǎn)陣表示出所屬空間群的平移子群。 Bravais點(diǎn)陣描述點(diǎn)陣的純平移對(duì)稱。 實(shí)質(zhì)上通過(guò)指定Bravais點(diǎn)陣,指定了單胞(晶系)的形狀和帶心的型式。,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,14種空間點(diǎn)陣型式示意圖(14個(gè)Bravais點(diǎn)陣),晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,14種可能的Bravais點(diǎn)陣,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,從晶系到空間群,7個(gè)晶系,旋轉(zhuǎn),反射,反演,平
24、移,螺旋軸,滑移面,32個(gè)點(diǎn)群,14種Bravais格子,230個(gè)空間群,(按照晶胞的特征對(duì)稱元素分類),晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,空間群(Space Group),晶體學(xué)中的空間群是三維周期性物體(晶體)變換成它自身的對(duì)稱操作(平移,點(diǎn)操作以及這兩者的組合)的集合。一共有230種空間群。 空間群是點(diǎn)陣、平移群(滑移面和螺旋軸)和點(diǎn)群的組合。 230個(gè)空間群是由14個(gè)Bravais點(diǎn)陣與32個(gè)晶體點(diǎn)群系統(tǒng)組合而成。,參見: /asda/Libraries/sgtable.html,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,空間群分布,三斜晶系:2個(gè);單斜晶系:13個(gè) 正
25、交晶系:59個(gè); 三方晶系:25 四方晶系:68個(gè);六方晶系:27個(gè) 立方晶系:36個(gè)。 有對(duì)稱中心90個(gè),無(wú)對(duì)稱中心140個(gè)。 73 個(gè) symmorphic (點(diǎn)式) , 157個(gè) non-symmorphic。,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,空間群對(duì)稱元素的標(biāo)準(zhǔn)符號(hào),晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,對(duì)稱元素的圖示和印刷符號(hào)(1),晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,對(duì)稱元素的圖示和印刷符號(hào)(2),晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,了解Herman-Mauguin空間群符號(hào),空間群是經(jīng)常用簡(jiǎn)略Herman-Mauguin符號(hào)(即Pnma、I4/mmm等)來(lái)指定。 在簡(jiǎn)略符號(hào)中包含能產(chǎn)生所有其余對(duì)稱元素所必需的最少對(duì)稱元素。
26、從簡(jiǎn)略H-M符號(hào),我們可以確定晶系、Bravais點(diǎn)陣、點(diǎn)群和某些對(duì)稱元素的存在和取向(反之亦然)。,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,空間群符號(hào)LS1S2S3,運(yùn)用以下規(guī)則,可以從對(duì)稱元素獲得H-M空間群符號(hào)。 第一字母(L)是點(diǎn)陣描述符號(hào),指明點(diǎn)陣帶心類型: P, I, F, C, A, B。 其于三個(gè)符號(hào)(S1S2S3)表示在特定方向(對(duì)每種晶系分別規(guī)定)上的對(duì)稱元素。 如果沒有二義性可能,常用符號(hào)的省略形式 (如Pm,而不用寫成P1m1)。 * 由于不同的晶軸選擇和標(biāo)記,同一個(gè)空間群可能有幾種不同的符號(hào)。如P21/c,如滑移面選為在a方向,符號(hào)為P21/a;如滑移面選為對(duì)角滑移,符號(hào)為P21/n
27、。,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,對(duì)稱方向,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,X-射線結(jié)晶學(xué)國(guó)際表 (1),提供的信息的是: 1. 空間群的國(guó)際符號(hào)為 2. Schoenflies符號(hào) 3. 晶系 4. 晶類 5。一般等效點(diǎn)圖: 單胞的投影,包含所有等效點(diǎn)位置。 “+”表示 z0, “- “表示z0; “,”表示點(diǎn)“被翻轉(zhuǎn)” (鏡面操作或反演)。,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,X-射線結(jié)晶學(xué)國(guó)際表 (2),6. 對(duì)稱圖: 單胞的對(duì)稱元素 7. 點(diǎn)位置(首先一般等效點(diǎn),然后特殊點(diǎn)) : 多重性(等效點(diǎn)的個(gè)數(shù)) “Wyckoff記號(hào)“ 在該位置的點(diǎn)對(duì)稱性(site symmetry) 點(diǎn)的坐標(biāo) 8.出現(xiàn)衍射的條件 9-
28、12:(略),晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,從空間群符號(hào)辨認(rèn)晶系,立方第2個(gè)對(duì)稱符號(hào): 3 或 3 (如: Ia3, Pm3m, Fd3m) 四方第1個(gè)對(duì)稱符號(hào): 4, 4 , 41, 42 或 43 (如: P41212, I4/m, P4/mcc) 六方第1個(gè)對(duì)稱符號(hào): 6, 6 , 61, 62, 63, 64 或 65 (如: P6mm, P63/mcm) 三方第1個(gè)對(duì)稱符號(hào): 3, 3 ,31 或 32 (如: P31m, R3, R3c, P312) 正交點(diǎn)陣符號(hào)后的全部三個(gè)符號(hào)是鏡面,滑移面,2次旋轉(zhuǎn)軸或2次螺旋軸 (即Pnma, Cmc21, Pnc2) 單斜點(diǎn)陣符號(hào)后有唯一的鏡面、
29、滑移面、2次旋轉(zhuǎn)或者螺旋軸,或者軸/平面符號(hào)(即Cc、P2、P21/n)。 三斜點(diǎn)陣符號(hào)后是1或(- 1)。,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,從空間群符號(hào)確定點(diǎn)群,點(diǎn)群可以從簡(jiǎn)略H-M符號(hào)通過(guò)下列變換得出: 1.把所有滑移面全部轉(zhuǎn)換成鏡面; 2.把所有螺旋軸全部轉(zhuǎn)換成旋轉(zhuǎn)軸。 例如: 空間群= Pnma 點(diǎn)群= mmm空間群= I 4c2 點(diǎn)群= 4m2空間群= P42/n 點(diǎn)群= 4/m,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,國(guó)際表中的空間群P21/c,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,P21/c,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,P21/c的圖示,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,等效點(diǎn)系,晶胞中對(duì)稱元素按照一定的方式排布。在晶胞中某個(gè)坐標(biāo)
30、點(diǎn)有一個(gè)原子時(shí),由于對(duì)稱性的要求,必然在另外一些坐標(biāo)點(diǎn)也要有相同的原子。這些由對(duì)稱性聯(lián)系起來(lái),彼此對(duì)稱等效的點(diǎn),稱為等效點(diǎn)系。 等效點(diǎn)系在空間群表中表示為Wyckoff位置 。,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,Wyckoff位置 (1),在國(guó)際表中包含的一個(gè)最有用的信息是Wyckoff位置。 Wyckoff位置告訴我們?cè)诰w中何處可以找到原子。 比如:?jiǎn)涡笨臻g群Pm 僅有垂直于b軸的二個(gè)鏡面。 一個(gè)在y = 0,另一個(gè)在y = 位置。 通過(guò)鏡面操作,在x, y, z的原子 -在x, - y, z 第二個(gè)原子。如果我們安置原子在其中一個(gè)鏡面(它的Y座標(biāo)將必須是0或),鏡面反射操作就不會(huì)產(chǎn)生第二個(gè)原子。,
31、晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,Wyckoff位置 (2),多重性( multiplicity ):告訴我們?nèi)绻仓靡粋€(gè)特定原子在該位置,經(jīng)過(guò)空間群的所有對(duì)稱操作,總共會(huì)產(chǎn)生多少個(gè)原子。 記號(hào)( letter )是從高對(duì)稱性位置開始按英文字母順序指定的位置標(biāo)記。 對(duì)稱( symmetry )告訴我們?cè)铀谥幘哂械膶?duì)稱元素。,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,Pm空間群的 Wyckoff位置,在晶體結(jié)構(gòu)描述中,經(jīng)常把多重性和Wyckoff記號(hào)結(jié)合在一起作為等效位置的名稱。如把Pm空間群中的等效點(diǎn)位置稱為1a,1b,2c 等。,晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-董成,一般位置-特殊位置,一般位置:空間群表里最先列出的Wyckoff位置, 不處在任何一個(gè)對(duì)稱元素上的位置; 一般位置具有最高多重性(M)。初級(jí)晶胞中M等于點(diǎn)群的對(duì)稱操作總數(shù);
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