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文檔簡介
1、1,第三章 扭 轉(zhuǎn),材料力學(xué),田 祖 安 重慶科技學(xué)院力學(xué)系 2011.03,2,3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩圖,3-1、概述,3-3、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)截面上的應(yīng)力計(jì)算,3-4、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形計(jì)算,3-5、圓柱形密圈螺旋彈簧的應(yīng)力和變形,3-7、非圓截面桿扭轉(zhuǎn),3-8、薄壁桿件的自由扭轉(zhuǎn),3-3、純剪切,主要內(nèi)容,3,1、螺絲刀桿工作時(shí)受扭。,Me,主動(dòng)力偶,阻抗力偶,一、扭轉(zhuǎn)的工程實(shí)例,3-1 概述,4,3、機(jī)器中的傳動(dòng)軸工作時(shí)受扭。,3-1 概述,5,汽車方向盤,3-1 概述,6,2、汽車方向盤的轉(zhuǎn)動(dòng)軸工作時(shí)受扭。,3-1 概述,7,扭轉(zhuǎn)變形是指桿件受到大小相等,方向相反且作用平面垂直于桿件軸
2、線的力偶作用,使桿件的橫截面繞軸線產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)。,受扭轉(zhuǎn)變形桿件通常為軸類零件,其橫截面大都是圓形的。所以本章主要介紹圓軸扭轉(zhuǎn)。,3-1 概述,8,軸:工程中以扭轉(zhuǎn)為主要變形的構(gòu)件。如:機(jī)器中的傳動(dòng)軸、 石油鉆機(jī)中的鉆桿等。,扭轉(zhuǎn):外力的合力為一力偶,且力偶的作用面與直桿的軸線 垂直,桿發(fā)生的變形為扭轉(zhuǎn)變形。,3-1 概述,扭轉(zhuǎn)角():任意兩截面繞軸線轉(zhuǎn)動(dòng)而發(fā)生的角位移。 剪應(yīng)變():直角的改變量。,9,直接計(jì)算,3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩圖,1.外力偶矩,10,按輸入功率和轉(zhuǎn)速計(jì)算,電機(jī)每秒輸入功:,外力偶作功完成:,已知:軸轉(zhuǎn)速n (轉(zhuǎn)/分) 輸出功率Pk (千瓦kw或馬力Ps),3-2、外
3、力偶矩 扭矩和扭矩圖,Pk單位為kw,Pk單位為Ps,11,1、扭轉(zhuǎn)桿件的內(nèi)力(截面法),m,T,取右段為研究對象:,內(nèi)力偶矩扭矩,取左段為研究對象:,3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩圖,12,扭矩正負(fù)規(guī)定,右手螺旋法則,右手拇指指向外法線方向?yàn)?正(+),反之為 負(fù)(-),3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩圖,13,T = Me,2.扭矩和扭矩圖,3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩圖,14,扭矩圖,3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩圖,(-),(+),Me1,Me1+ Me2,Me3,15,解:,(1)計(jì)算外力偶矩 公式:,3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩圖,例1:某傳動(dòng)軸轉(zhuǎn)速 n=300r/min,主動(dòng)輪 A 輸入
4、功率PA=45kw, 三個(gè)從動(dòng)輪輸出功率分別為PB=45kw,PC=45kw,PD=45kw。 試?yán)L制該軸的扭矩圖。,16,(2)計(jì)算扭矩,(3) 扭矩圖,3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩圖,17,例1:一傳動(dòng)軸如圖,轉(zhuǎn)速n = 300r/min; 主動(dòng)輪輸入的功率P1= 500kW,三個(gè)從動(dòng)輪輸出的功率分別為: N2= 150kW, N3= 150kW, N4= 200kW。試作軸的扭矩圖。,扭矩圖作法 例2,3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩圖,18,一、計(jì)算作用在各輪上的外力偶矩,解:,3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩圖,19,二、分別計(jì)算各段的扭矩,3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩圖,20,扭矩圖,Tm
5、ax = 9.56 kNm 在BC段內(nèi),4.78,9.56,6.37,T 圖(kNm),3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩圖,21,3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩圖,討論:,受扭圓軸,其截面m-m上的扭矩T=_。,22,一、實(shí)驗(yàn):,1.實(shí)驗(yàn)前:,繪縱向線,圓周線; 施加一對外力偶 m。,3-3、純剪切,23,2.實(shí)驗(yàn)后:,圓周線不變; 縱向線變成斜直線。,3.結(jié)論:圓筒表面的各圓周線的形狀、大小和間距均未改 變,只是繞軸線作了相對轉(zhuǎn)動(dòng)。 各縱向線均傾斜了同一微小角度 。 所有矩形網(wǎng)格均歪斜成同樣大小的平行四邊形。,3-3、純剪切,24,無正應(yīng)力 橫截面上各點(diǎn)處,只產(chǎn)生垂直于半徑的均勻分布的剪應(yīng)力 ,沿
6、周向大小不變,方向與該截面的扭矩方向一致。,4. 與 的關(guān)系:,微小矩形單元體如圖所示:,3-3、純剪切,25,二、薄壁圓筒剪應(yīng)力 大?。?A0:平均半徑所作圓的面積。,3-3、純剪切,26,三、剪應(yīng)力互等定理:,上式稱為剪應(yīng)力互等定理。 該定理表明:在單元體相互垂直的兩個(gè)平面上,剪應(yīng)力必然成對出現(xiàn),且數(shù)值相等,兩者都垂直于兩平面的交線,其方向則共同指向或共同背離該交線。,3-3、純剪切,27,四、剪切虎克定律:,單元體的四個(gè)側(cè)面上只有剪應(yīng)力而無正應(yīng)力作用,這種應(yīng)力狀態(tài)稱為純剪切應(yīng)力狀態(tài)。,3-3、純剪切,剪切虎克定律:當(dāng)剪應(yīng)力不超過材料的剪切比例極限時(shí)( p),剪應(yīng)力與剪應(yīng)變成正比關(guān)系。,鋼
7、材的G值約為80GPa。,28,等直圓桿橫截面應(yīng)力,變形幾何方面 物理關(guān)系方面 靜力學(xué)方面,1. 橫截面變形后仍為平面; 2. 軸向無伸縮; 3. 縱向線變形后仍為平行。,一、等直圓桿扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)觀察:,3-4、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)截面上的應(yīng)力計(jì)算,29,二、等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力:,1. 變形幾何關(guān)系:,距圓心為 任一點(diǎn)處的與到圓心的距離成正比。, 扭轉(zhuǎn)角沿長度方向變化率。,3-4、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)截面上的應(yīng)力計(jì)算,30,虎克定律: 代入上式得:,2. 物理關(guān)系:,3-4、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)截面上的應(yīng)力計(jì)算,31,3. 靜力學(xué)關(guān)系:,令,代入物理關(guān)系式 得:,3-4、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)截面上的應(yīng)力計(jì)算,32,橫截面上距圓
8、心為處任一點(diǎn)剪應(yīng)力計(jì)算公式。,4. 公式討論: 僅適用于各向同性、線彈性材料,在小變形時(shí)的等圓截面 直桿。, 式中:T橫截面上的扭矩,由截面法通過外力偶矩求得。 該點(diǎn)到圓心的距離。 Ip極慣性矩,純幾何量,無物理意義。,1. 變形幾何關(guān)系:,2. 物理關(guān)系:,3. 靜力學(xué)關(guān)系:,3-4、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)截面上的應(yīng)力計(jì)算,單位:mm4,m4。,33,單位:mm4,m4。, 盡管由實(shí)心圓截面桿推出,但同樣適用于空心圓截面桿, 只是Ip值不同。,3-4、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)截面上的應(yīng)力計(jì)算,34,3-4、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)截面上的應(yīng)力計(jì)算,令,35, 應(yīng)力分布,T,t,max,t,max,t,max,T,(實(shí)心截面),(空
9、心截面),工程上采用空心截面構(gòu)件:提高強(qiáng)度,節(jié)約材料,重量輕,結(jié)構(gòu)輕便,應(yīng)用廣泛。,3-4、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)截面上的應(yīng)力計(jì)算,36, 確定最大剪應(yīng)力:,Wt 抗扭截面系數(shù)(抗扭截面模量), 幾何量,單位:mm3或m3。,3-4、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)截面上的應(yīng)力計(jì)算,37,思考題:在圖示受扭圓軸橫截面上的剪應(yīng)力分布圖中,d,38,三、等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)斜截面上的應(yīng)力,低碳鋼試件: 沿橫截面斷開。,鑄鐵試件: 沿與軸線約成45的螺旋線斷開。,因此還需要研究斜截面上的應(yīng)力。,3-4、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)截面上的應(yīng)力計(jì)算,39,1. 點(diǎn)M的應(yīng)力單元體如圖(b):,(a),(b),t,t,(c),2. 斜截面上的應(yīng)力; 取分離體如圖
10、(d):,(d),3-4、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)截面上的應(yīng)力計(jì)算,40,(d),n,t,轉(zhuǎn)角規(guī)定: 軸正向轉(zhuǎn)至截面外法線,逆時(shí)針:為“+” 順時(shí)針:為“”,由平衡方程:,解得:,3-4、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)截面上的應(yīng)力計(jì)算,41,分析:,當(dāng) = 0時(shí),,當(dāng) = 45時(shí),,當(dāng) = 45時(shí),,當(dāng) = 90時(shí),,t,由此可見:圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí),在橫截面和縱截面上的剪應(yīng)力為最大值;在方向角 = 45的斜截面上作用有最大壓應(yīng)力和最大拉應(yīng)力。根據(jù)這一結(jié)論,就可解釋前述的破壞現(xiàn)象。,3-4、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)截面上的應(yīng)力計(jì)算,42,四、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算,強(qiáng)度條件:,對于等截面圓軸:,( 稱為許用剪應(yīng)力。),強(qiáng)度計(jì)算三方面:, 校核強(qiáng)度:,
11、 設(shè)計(jì)截面尺寸:, 計(jì)算許可載荷:,3-4、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)截面上的應(yīng)力計(jì)算,43,例3.2 由無縫鋼管制成的汽車傳動(dòng)軸,外徑D=89mm、壁厚=2.5mm,材料為20號(hào)鋼,使用時(shí)的最大扭矩T=1930Nm,=70MPa.校核此軸的強(qiáng)度。,解:(1)計(jì)算抗扭截面模量,cm3,(2) 強(qiáng)度校核,滿足強(qiáng)度要求,3-3、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)截面上的應(yīng)力計(jì)算,44,例3.3 如把上例中的傳動(dòng)軸改為實(shí)心軸,要求它與原來的空心軸強(qiáng)度相同,試確定其直徑。并比較實(shí)心軸和空心軸的重量。,解:當(dāng)實(shí)心軸和空心軸的最大應(yīng)力同 為時(shí),兩軸的許可扭矩分別為,若兩軸強(qiáng)度相等,則T1=T2 ,于是有,3-4、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)截面上的應(yīng)力計(jì)算,45
12、,已知:P7.5kW, n=100r/min,最大切應(yīng)力不得超過30MPa,空心圓軸的內(nèi)外直徑之比 = 0.5。二軸長度相同。,求: 實(shí)心軸的直徑d1和空心軸的外直徑D2;確定二軸的重量之比。,解: 首先由軸所傳遞的功率計(jì)算作用在軸上的扭矩,實(shí)心軸,3-4、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)截面上的應(yīng)力計(jì)算,46,已知:P7.5kW, n=100r/min,最大切應(yīng)力不得超過40MPa,空心圓軸的內(nèi)外直徑之比 = 0.5。二軸長度相同。,求: 實(shí)心軸的直徑d1和空心軸的外直徑D2;確定二軸的重量之比。,空心軸,d20.5D2=23 mm,3-4、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)截面上的應(yīng)力計(jì)算,47,確定實(shí)心軸與空心軸的重量之比,空心軸,
13、D246 mm,d223 mm,實(shí)心軸,d1=45 mm,長度相同的情形下,二軸的重量之比即為橫截面面積之比:,3-4、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)截面上的應(yīng)力計(jì)算,48,圖(a)所示階梯圓軸,AB段的直徑d1 =120 mm ,BC段的直徑 d2 = 100 mm。外力偶矩為 mA = 22 kNm, mB = 36 kNm , mC =14 kNm 。已知材料的許用剪應(yīng)力 = 80MPa,試校核該軸的強(qiáng)度。,解:作軸的扭矩圖(圖b),雖然 T1 T2 ,但是d1d2 ,因此要分別核該兩段軸的強(qiáng)度,因此,該軸滿足強(qiáng)度要求。,例,(a),3-3、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)截面上的應(yīng)力計(jì)算,49,已知:P114kW,P2= P3
14、=P1/2,n1=n2=120r/min,z1=36,z3=12;d1=70mm, d 2=50mm, d3=35mm. 求:各軸橫截面上的最大切應(yīng)力。,P1=14kW, P2= P3= P1/2=7 kW,n1=n2= 120r/min,解:1、計(jì)算各軸的功率與轉(zhuǎn)速,M1=T1=1114 N.m,M2=T2=557 N.m,M3=T3=185.7 N.m,2、計(jì)算各軸的扭矩,3-3、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)截面上的應(yīng)力計(jì)算,50,3、計(jì)算各軸的橫截面上的 最大切應(yīng)力,3-4、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)截面上的應(yīng)力計(jì)算,51,一、扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形,由公式,知:長為 l一段桿兩截面間相對扭轉(zhuǎn)角 為,3-5、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形計(jì)算,
15、52,二、單位扭轉(zhuǎn)角 :,或,三、剛度條件,或,GIp反映了截面抵抗扭轉(zhuǎn)變形的能力,稱為截面的抗扭剛度。, 稱為許用單位扭轉(zhuǎn)角。,3-5、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形計(jì)算,53,剛度計(jì)算的三方面:, 校核剛度:, 設(shè)計(jì)截面尺寸:, 計(jì)算許可載荷:,有時(shí),還可依據(jù)此條件進(jìn)行選材。,3-5、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形計(jì)算,54,例題: 長為 L=2m 的圓桿受均布力偶 m=20Nm/m 的作用,如圖,若桿的內(nèi)外徑之比為 =0.8 ,G=80GPa ,許用剪應(yīng)力 =30MPa,試設(shè)計(jì)桿的外徑;若=2/m ,試校核此桿的剛度,并求右端面轉(zhuǎn)角。,解:設(shè)計(jì)桿的外徑,3-5、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形計(jì)算,55,40Nm,x,T,代入數(shù)值
16、得:,D 0.0226m。, 由扭轉(zhuǎn)剛度條件校核剛度,3-5、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形計(jì)算,56,40Nm,x,T,右端面轉(zhuǎn)角為:,3-5、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形計(jì)算,57,例題:傳動(dòng)軸的轉(zhuǎn)速為n=500r/min,主動(dòng)輪A 輸入功率P1=400kW,從動(dòng)輪C,B 分別輸出功率P2=160kW,P3=240kW。已知=70MPa,=1/m,G=80GPa。 (1)試確定AC 段的直徑d1 和BC 段的直徑d2; (2)若AC 和BC 兩段選同一直徑,試確定直徑d; (3)主動(dòng)輪和從動(dòng)輪應(yīng)如何安排才比較合理?,3-5、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形計(jì)算,58,2.扭矩圖,按剛度條件,3.直徑d1的選取,按強(qiáng)度條件,3-5、
17、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度條件 剛度條件 圓軸的設(shè)計(jì)計(jì)算,59,按剛度條件,4.直徑d2的選取,按強(qiáng)度條件,5.選同一直徑時(shí),3-5、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度條件 剛度條件圓軸的設(shè)計(jì)計(jì)算,60,6.將主動(dòng)輪按裝在兩從動(dòng)輪之間,受力合理,3-5、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度條件 剛度條件 圓軸的設(shè)計(jì)計(jì)算,61,非圓截面等直桿:平面假設(shè)不成立。即各截面發(fā)生翹曲不保持平面。因此,由等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)推出的應(yīng)力、變形公式不適用,須由彈性力學(xué)方法求解。,3-7、非圓截面桿扭轉(zhuǎn),62,一、自由扭轉(zhuǎn):桿件扭轉(zhuǎn)時(shí),橫截面的翹曲不受限制,任意兩相鄰截面的翹曲程度完全相同。,二、約束扭轉(zhuǎn):桿件扭轉(zhuǎn)時(shí),橫截面的翹曲受到限制,相鄰截面的翹曲程度不同。,三、矩形桿橫截面上的剪應(yīng)力:,1. 剪應(yīng)力分布如圖: (角點(diǎn)、形心、長短邊中點(diǎn)),3-7、非圓截面桿扭轉(zhuǎn),63,2. 最大剪應(yīng)力及單位扭轉(zhuǎn)角,其中:,其中:It相當(dāng)于極慣性矩。,3-7、非圓截面桿扭轉(zhuǎn),64,注意! 對于W t 和 It ,多數(shù)教材與手冊上有如下定義:,
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