第3章 扭轉(zhuǎn).ppt

1、1,第三章 扭 轉(zhuǎn),材料力學(xué),田 祖 安 重慶科技學(xué)院力學(xué)系 2011.03,2,3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩圖,3-1、概述,3-3、圓軸扭轉(zhuǎn)時截面上的應(yīng)力計算,3-4、圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形計算,3-5、圓柱形密圈螺旋彈簧的應(yīng)力和變形,3-7、非圓截面桿扭轉(zhuǎn),3-8、薄壁桿件的自由扭轉(zhuǎn),3-3、純剪切,主要內(nèi)容,3,1、螺絲刀桿工作時受扭。,Me,主動力偶,阻抗力偶,一、扭轉(zhuǎn)的工程實例,3-1 概述,4,3、機(jī)器中的傳動軸工作時受扭。,3-1 概述,5,汽車方向盤,3-1 概述,6,2、汽車方向盤的轉(zhuǎn)動軸工作時受扭。,3-1 概述,7,扭轉(zhuǎn)變形是指桿件受到大小相等,方向相反且作用平面垂直于桿件軸

2、線的力偶作用,使桿件的橫截面繞軸線產(chǎn)生轉(zhuǎn)動。,受扭轉(zhuǎn)變形桿件通常為軸類零件，其橫截面大都是圓形的。所以本章主要介紹圓軸扭轉(zhuǎn)。,3-1 概述,8,軸：工程中以扭轉(zhuǎn)為主要變形的構(gòu)件。如：機(jī)器中的傳動軸、 石油鉆機(jī)中的鉆桿等。,扭轉(zhuǎn)：外力的合力為一力偶，且力偶的作用面與直桿的軸線 垂直，桿發(fā)生的變形為扭轉(zhuǎn)變形。,3-1 概述,扭轉(zhuǎn)角（）：任意兩截面繞軸線轉(zhuǎn)動而發(fā)生的角位移。 剪應(yīng)變（）：直角的改變量。,9,直接計算,3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩圖,1.外力偶矩,10,按輸入功率和轉(zhuǎn)速計算,電機(jī)每秒輸入功：,外力偶作功完成：,已知：軸轉(zhuǎn)速n (轉(zhuǎn)/分) 輸出功率Pk (千瓦kw或馬力Ps),3-2、外

3、力偶矩 扭矩和扭矩圖,Pk單位為kw,Pk單位為Ps,11,1、扭轉(zhuǎn)桿件的內(nèi)力（截面法）,m,T,取右段為研究對象：,內(nèi)力偶矩扭矩,取左段為研究對象：,3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩圖,12,扭矩正負(fù)規(guī)定,右手螺旋法則,右手拇指指向外法線方向為 正(+),反之為 負(fù)(-),3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩圖,13,T = Me,2.扭矩和扭矩圖,3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩圖,14,扭矩圖,3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩圖,(-),(+),Me1,Me1+ Me2,Me3,15,解:,(1)計算外力偶矩 公式：,3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩圖,例1：某傳動軸轉(zhuǎn)速 n=300r/min，主動輪 A 輸入

4、功率PA=45kw， 三個從動輪輸出功率分別為PB=45kw，PC=45kw，PD=45kw。 試?yán)L制該軸的扭矩圖。,16,(2)計算扭矩,(3) 扭矩圖,3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩圖,17,例1:一傳動軸如圖，轉(zhuǎn)速n = 300r/min； 主動輪輸入的功率P1= 500kW，三個從動輪輸出的功率分別為： N2= 150kW， N3= 150kW， N4= 200kW。試作軸的扭矩圖。,扭矩圖作法 例2,3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩圖,18,一、計算作用在各輪上的外力偶矩,解：,3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩圖,19,二、分別計算各段的扭矩,3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩圖,20,扭矩圖,Tm

5、ax = 9.56 kNm 在BC段內(nèi),4.78,9.56,6.37,T 圖(kNm),3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩圖,21,3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩圖,討論：,受扭圓軸，其截面m-m上的扭矩T=_。,22,一、實驗：,1.實驗前：,繪縱向線，圓周線； 施加一對外力偶 m。,3-3、純剪切,23,2.實驗后：,圓周線不變； 縱向線變成斜直線。,3.結(jié)論：圓筒表面的各圓周線的形狀、大小和間距均未改 變，只是繞軸線作了相對轉(zhuǎn)動。 各縱向線均傾斜了同一微小角度 。 所有矩形網(wǎng)格均歪斜成同樣大小的平行四邊形。,3-3、純剪切,24,無正應(yīng)力 橫截面上各點處，只產(chǎn)生垂直于半徑的均勻分布的剪應(yīng)力 ，沿

6、周向大小不變，方向與該截面的扭矩方向一致。,4. 與 的關(guān)系：,微小矩形單元體如圖所示：,3-3、純剪切,25,二、薄壁圓筒剪應(yīng)力 大?。?A0：平均半徑所作圓的面積。,3-3、純剪切,26,三、剪應(yīng)力互等定理：,上式稱為剪應(yīng)力互等定理。 該定理表明：在單元體相互垂直的兩個平面上，剪應(yīng)力必然成對出現(xiàn)，且數(shù)值相等，兩者都垂直于兩平面的交線，其方向則共同指向或共同背離該交線。,3-3、純剪切,27,四、剪切虎克定律：,單元體的四個側(cè)面上只有剪應(yīng)力而無正應(yīng)力作用，這種應(yīng)力狀態(tài)稱為純剪切應(yīng)力狀態(tài)。,3-3、純剪切,剪切虎克定律：當(dāng)剪應(yīng)力不超過材料的剪切比例極限時（ p)，剪應(yīng)力與剪應(yīng)變成正比關(guān)系。,鋼

7、材的G值約為80GPa。,28,等直圓桿橫截面應(yīng)力,變形幾何方面 物理關(guān)系方面 靜力學(xué)方面,1. 橫截面變形后仍為平面； 2. 軸向無伸縮； 3. 縱向線變形后仍為平行。,一、等直圓桿扭轉(zhuǎn)實驗觀察：,3-4、圓軸扭轉(zhuǎn)時截面上的應(yīng)力計算,29,二、等直圓桿扭轉(zhuǎn)時橫截面上的應(yīng)力：,1. 變形幾何關(guān)系：,距圓心為 任一點處的與到圓心的距離成正比。, 扭轉(zhuǎn)角沿長度方向變化率。,3-4、圓軸扭轉(zhuǎn)時截面上的應(yīng)力計算,30,虎克定律： 代入上式得：,2. 物理關(guān)系：,3-4、圓軸扭轉(zhuǎn)時截面上的應(yīng)力計算,31,3. 靜力學(xué)關(guān)系：,令,代入物理關(guān)系式 得：,3-4、圓軸扭轉(zhuǎn)時截面上的應(yīng)力計算,32,橫截面上距圓

8、心為處任一點剪應(yīng)力計算公式。,4. 公式討論： 僅適用于各向同性、線彈性材料，在小變形時的等圓截面 直桿。, 式中：T橫截面上的扭矩，由截面法通過外力偶矩求得。 該點到圓心的距離。 Ip極慣性矩，純幾何量，無物理意義。,1. 變形幾何關(guān)系：,2. 物理關(guān)系：,3. 靜力學(xué)關(guān)系：,3-4、圓軸扭轉(zhuǎn)時截面上的應(yīng)力計算,單位：mm4，m4。,33,單位：mm4，m4。, 盡管由實心圓截面桿推出，但同樣適用于空心圓截面桿， 只是Ip值不同。,3-4、圓軸扭轉(zhuǎn)時截面上的應(yīng)力計算,34,3-4、圓軸扭轉(zhuǎn)時截面上的應(yīng)力計算,令,35, 應(yīng)力分布,T,t,max,t,max,t,max,T,（實心截面）,（空

9、心截面）,工程上采用空心截面構(gòu)件：提高強(qiáng)度，節(jié)約材料，重量輕，結(jié)構(gòu)輕便，應(yīng)用廣泛。,3-4、圓軸扭轉(zhuǎn)時截面上的應(yīng)力計算,36, 確定最大剪應(yīng)力：,Wt 抗扭截面系數(shù)（抗扭截面模量）， 幾何量，單位：mm3或m3。,3-4、圓軸扭轉(zhuǎn)時截面上的應(yīng)力計算,37,思考題：在圖示受扭圓軸橫截面上的剪應(yīng)力分布圖中,d,38,三、等直圓桿扭轉(zhuǎn)時斜截面上的應(yīng)力,低碳鋼試件： 沿橫截面斷開。,鑄鐵試件： 沿與軸線約成45的螺旋線斷開。,因此還需要研究斜截面上的應(yīng)力。,3-4、圓軸扭轉(zhuǎn)時截面上的應(yīng)力計算,39,1. 點M的應(yīng)力單元體如圖(b)：,(a),(b),t,t,(c),2. 斜截面上的應(yīng)力； 取分離體如圖

10、(d)：,(d),3-4、圓軸扭轉(zhuǎn)時截面上的應(yīng)力計算,40,(d),n,t,轉(zhuǎn)角規(guī)定： 軸正向轉(zhuǎn)至截面外法線,逆時針：為“+” 順時針：為“”,由平衡方程：,解得：,3-4、圓軸扭轉(zhuǎn)時截面上的應(yīng)力計算,41,分析：,當(dāng) = 0時，,當(dāng) = 45時，,當(dāng) = 45時，,當(dāng) = 90時，,t,由此可見：圓軸扭轉(zhuǎn)時，在橫截面和縱截面上的剪應(yīng)力為最大值；在方向角 = 45的斜截面上作用有最大壓應(yīng)力和最大拉應(yīng)力。根據(jù)這一結(jié)論，就可解釋前述的破壞現(xiàn)象。,3-4、圓軸扭轉(zhuǎn)時截面上的應(yīng)力計算,42,四、圓軸扭轉(zhuǎn)時的強(qiáng)度計算,強(qiáng)度條件：,對于等截面圓軸：,( 稱為許用剪應(yīng)力。),強(qiáng)度計算三方面：, 校核強(qiáng)度：,

11、 設(shè)計截面尺寸：, 計算許可載荷：,3-4、圓軸扭轉(zhuǎn)時截面上的應(yīng)力計算,43,例3.2 由無縫鋼管制成的汽車傳動軸，外徑D=89mm、壁厚=2.5mm，材料為20號鋼，使用時的最大扭矩T=1930Nm,=70MPa.校核此軸的強(qiáng)度。,解：（1）計算抗扭截面模量,cm3,（2） 強(qiáng)度校核,滿足強(qiáng)度要求,3-3、圓軸扭轉(zhuǎn)時截面上的應(yīng)力計算,44,例3.3 如把上例中的傳動軸改為實心軸，要求它與原來的空心軸強(qiáng)度相同，試確定其直徑。并比較實心軸和空心軸的重量。,解：當(dāng)實心軸和空心軸的最大應(yīng)力同 為時，兩軸的許可扭矩分別為,若兩軸強(qiáng)度相等，則T1=T2 ，于是有,3-4、圓軸扭轉(zhuǎn)時截面上的應(yīng)力計算,45

12、,已知：P7.5kW, n=100r/min,最大切應(yīng)力不得超過30MPa,空心圓軸的內(nèi)外直徑之比 = 0.5。二軸長度相同。,求: 實心軸的直徑d1和空心軸的外直徑D2；確定二軸的重量之比。,解： 首先由軸所傳遞的功率計算作用在軸上的扭矩,實心軸,3-4、圓軸扭轉(zhuǎn)時截面上的應(yīng)力計算,46,已知：P7.5kW, n=100r/min,最大切應(yīng)力不得超過40MPa,空心圓軸的內(nèi)外直徑之比 = 0.5。二軸長度相同。,求: 實心軸的直徑d1和空心軸的外直徑D2；確定二軸的重量之比。,空心軸,d20.5D2=23 mm,3-4、圓軸扭轉(zhuǎn)時截面上的應(yīng)力計算,47,確定實心軸與空心軸的重量之比,空心軸,

13、D246 mm,d223 mm,實心軸,d1=45 mm,長度相同的情形下，二軸的重量之比即為橫截面面積之比：,3-4、圓軸扭轉(zhuǎn)時截面上的應(yīng)力計算,48,圖（a）所示階梯圓軸，AB段的直徑d1 =120 mm ，BC段的直徑 d2 = 100 mm。外力偶矩為 mA = 22 kNm， mB = 36 kNm ， mC =14 kNm 。已知材料的許用剪應(yīng)力 = 80MPa，試校核該軸的強(qiáng)度。,解：作軸的扭矩圖（圖b),雖然 T1 T2 ，但是d1d2 ，因此要分別核該兩段軸的強(qiáng)度,因此，該軸滿足強(qiáng)度要求。,例,(a),3-3、圓軸扭轉(zhuǎn)時截面上的應(yīng)力計算,49,已知：P114kW,P2= P3

14、=P1/2，n1=n2=120r/min,z1=36,z3=12;d1=70mm, d 2=50mm, d3=35mm. 求:各軸橫截面上的最大切應(yīng)力。,P1=14kW, P2= P3= P1/2=7 kW,n1=n2= 120r/min,解：1、計算各軸的功率與轉(zhuǎn)速,M1=T1=1114 N.m,M2=T2=557 N.m,M3=T3=185.7 N.m,2、計算各軸的扭矩,3-3、圓軸扭轉(zhuǎn)時截面上的應(yīng)力計算,50,3、計算各軸的橫截面上的 最大切應(yīng)力,3-4、圓軸扭轉(zhuǎn)時截面上的應(yīng)力計算,51,一、扭轉(zhuǎn)時的變形,由公式,知：長為 l一段桿兩截面間相對扭轉(zhuǎn)角 為,3-5、圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形計算,

15、52,二、單位扭轉(zhuǎn)角 ：,或,三、剛度條件,或,GIp反映了截面抵抗扭轉(zhuǎn)變形的能力，稱為截面的抗扭剛度。, 稱為許用單位扭轉(zhuǎn)角。,3-5、圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形計算,53,剛度計算的三方面：, 校核剛度：, 設(shè)計截面尺寸：, 計算許可載荷：,有時，還可依據(jù)此條件進(jìn)行選材。,3-5、圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形計算,54,例題： 長為 L=2m 的圓桿受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如圖，若桿的內(nèi)外徑之比為 =0.8 ，G=80GPa ，許用剪應(yīng)力 =30MPa，試設(shè)計桿的外徑；若=2/m ，試校核此桿的剛度，并求右端面轉(zhuǎn)角。,解：設(shè)計桿的外徑,3-5、圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形計算,55,40Nm,x,T,代入數(shù)值

16、得：,D 0.0226m。, 由扭轉(zhuǎn)剛度條件校核剛度,3-5、圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形計算,56,40Nm,x,T,右端面轉(zhuǎn)角為：,3-5、圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形計算,57,例題：傳動軸的轉(zhuǎn)速為n=500r/min，主動輪A 輸入功率P1=400kW，從動輪C，B 分別輸出功率P2=160kW，P3=240kW。已知=70MPa，=1/m，G=80GPa。 (1)試確定AC 段的直徑d1 和BC 段的直徑d2； (2)若AC 和BC 兩段選同一直徑，試確定直徑d； (3)主動輪和從動輪應(yīng)如何安排才比較合理?,3-5、圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形計算,58,2.扭矩圖,按剛度條件,3.直徑d1的選取,按強(qiáng)度條件,3-5、

17、圓軸扭轉(zhuǎn)時的強(qiáng)度條件 剛度條件 圓軸的設(shè)計計算,59,按剛度條件,4.直徑d2的選取,按強(qiáng)度條件,5.選同一直徑時,3-5、圓軸扭轉(zhuǎn)時的強(qiáng)度條件 剛度條件圓軸的設(shè)計計算,60,6.將主動輪按裝在兩從動輪之間,受力合理,3-5、圓軸扭轉(zhuǎn)時的強(qiáng)度條件 剛度條件 圓軸的設(shè)計計算,61,非圓截面等直桿：平面假設(shè)不成立。即各截面發(fā)生翹曲不保持平面。因此，由等直圓桿扭轉(zhuǎn)時推出的應(yīng)力、變形公式不適用，須由彈性力學(xué)方法求解。,3-7、非圓截面桿扭轉(zhuǎn),62,一、自由扭轉(zhuǎn)：桿件扭轉(zhuǎn)時，橫截面的翹曲不受限制，任意兩相鄰截面的翹曲程度完全相同。,二、約束扭轉(zhuǎn)：桿件扭轉(zhuǎn)時，橫截面的翹曲受到限制，相鄰截面的翹曲程度不同。,三、矩形桿橫截面上的剪應(yīng)力:,1. 剪應(yīng)力分布如圖： （角點、形心、長短邊中點）,3-7、非圓截面桿扭轉(zhuǎn),63,2. 最大剪應(yīng)力及單位扭轉(zhuǎn)角,其中：,其中：It相當(dāng)于極慣性矩。,3-7、非圓截面桿扭轉(zhuǎn),64,注意！ 對于W t 和 It ，多數(shù)教材與手冊上有如下定義：,