一元函數(shù)連續(xù)性的判別方法探討

1、一元函數(shù)連續(xù)性的判別方法探討摘要 連續(xù)與一致連續(xù)的概念和關(guān)系出發(fā)，主要對(duì)一元函數(shù)在不同類(lèi)型區(qū)間上函數(shù)一致連續(xù)的判定方法進(jìn)行了討論，總結(jié)和應(yīng)用，并且將部分判定一元函數(shù)一致連續(xù)的方法推廣到了多元函數(shù)，使大家對(duì)函數(shù)一致連續(xù)的內(nèi)涵有更全面的理解和認(rèn)識(shí)。 函數(shù)的一致連續(xù)性是數(shù)學(xué)分析課程中的一個(gè)重要概念,在分析問(wèn)題中起著十分重要的作用.它不僅是閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)黎曼可積的理論基礎(chǔ),而且與隨后的含參量積分,函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)等概念都有著密切的聯(lián)系.因此,判定函數(shù)的一致連續(xù)性是數(shù)學(xué)分析的一項(xiàng)重要內(nèi)容.本文對(duì)函數(shù)的一致連續(xù)性的概念進(jìn)行了深入分析,對(duì)判定函數(shù)一致連續(xù)性的充分條件,充要條件作了簡(jiǎn)要概括,并給出了閉區(qū)間和開(kāi)區(qū)間

2、上函數(shù)一致連續(xù)性的判別方法.包括無(wú)窮區(qū)間上函數(shù)一致連續(xù)性的判定,并分別給出了這些定理的證明.同時(shí),本文也總結(jié)了一致連續(xù)性的幾個(gè)性質(zhì)及它的應(yīng)用.關(guān)鍵詞 連續(xù)函數(shù) ；極限 ；有界函數(shù) ； 一致連續(xù) ；非一致連續(xù)1. 引言我們知道，函數(shù)的一致連續(xù)性是數(shù)學(xué)分析課程中的一個(gè)重要內(nèi)容。函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)連續(xù)，是指函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)，它反映函數(shù)在該區(qū)間上一點(diǎn)附近的局部性質(zhì)，但函數(shù)的一致連續(xù)性則反映的是函數(shù)在給定區(qū)間上的整體性質(zhì)，它有助于研究函數(shù)的變化趨勢(shì)及性質(zhì)。因此，本文對(duì)函數(shù)一致連續(xù)性的概念、判定條件進(jìn)行了深入的分析和總結(jié)，目的是幫助大家掌握運(yùn)用不同的方法證明函數(shù)一致連續(xù)，使大家對(duì)函數(shù)一致連續(xù)性的內(nèi)涵

3、有更全面的理解和認(rèn)識(shí)。弄清函數(shù)一致連續(xù)性的概念和掌握判斷函數(shù)一致連續(xù)性的方法無(wú)疑是學(xué)好函數(shù)一致連續(xù)性理論的關(guān)鍵.數(shù)學(xué)分析教材中只給出了一致連續(xù)的概念和判斷函數(shù)在閉區(qū)間上一致連續(xù)的Cator定理,內(nèi)容篇幅少,但實(shí)際運(yùn)用時(shí),這些遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠.本文將給出函數(shù)在區(qū)間上一致連續(xù)性的幾個(gè)充分條件,充要條件及性質(zhì)與運(yùn)用.這幾種方法為教科書(shū)所忽視,但比較實(shí)用且應(yīng)用面廣泛,有必要加以詳細(xì)討論.現(xiàn)有的數(shù)學(xué)分析教材中，一般只給出函數(shù)一致連續(xù)的概念和判定函數(shù)在閉區(qū)間上一致連續(xù)的G.康托定理，內(nèi)容篇幅少，為了對(duì)函數(shù)一致連續(xù)性的理論有正確的理解和全面的掌握，作為教材內(nèi)容的適當(dāng)擴(kuò)展和補(bǔ)充，本文做了以下幾點(diǎn)討論：2. 函數(shù)連續(xù)與

4、一致連續(xù)的關(guān)系2.1 函數(shù)連續(xù)與一致連續(xù)的區(qū)別2.1.1 函數(shù)連續(xù)的局部性定義1 函數(shù)在某內(nèi)有定義，則函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)是指，使得當(dāng)時(shí)，有 。 （2-1）那么，函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，是否意味著 在的鄰域內(nèi)連續(xù)呢？或者說(shuō)其圖象在此鄰域上連綿不斷呢？回答是否定的。如函數(shù)只在連續(xù)；函數(shù)僅在兩點(diǎn)連續(xù)；又如函數(shù) （2-2）容易證明這個(gè)函數(shù)在任意點(diǎn)是連續(xù)的，但是我們卻不能一筆畫(huà)出函數(shù)在的任意小鄰域內(nèi)的圖形。上述例子表明“連續(xù)”僅僅是一個(gè)局部概念，不能僅從字面去理解 在連續(xù)。當(dāng)且僅當(dāng) 在的鄰域內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)，才能說(shuō)在的鄰域內(nèi)連續(xù)。函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)的定義不能完全反映“連續(xù)”二字的本意，這確實(shí)是個(gè)遺憾，但是，如果在連續(xù)點(diǎn)的函

5、數(shù)值，那么上述例外情形就不會(huì)發(fā)生了，有如下命題命題 設(shè)在連續(xù)，且，則一定存在的某個(gè)鄰域，使 在此鄰域內(nèi)連續(xù)。證明: 因在點(diǎn)連續(xù)，即，都有 。 （2-3）現(xiàn)對(duì)，由（2-3）顯然有， （2-4）又，當(dāng)充分小時(shí)，由局部保號(hào)性有， （2-5）即，從而有 。 （2-6）可見(jiàn)在連續(xù)，由的任意性，知在的鄰域內(nèi)連續(xù)。因此，函數(shù)的連續(xù)性是一種按點(diǎn)而言的連續(xù)性，它僅僅反映了函數(shù)在區(qū)間上一點(diǎn)附近的局部性質(zhì)。2.1.2 函數(shù)一致連續(xù)的整體性連續(xù)函數(shù)以它具有一系列良好的性質(zhì)而成為數(shù)學(xué)分析研究的主要對(duì)象，然而在連續(xù)函數(shù)中，又以一致連續(xù)的函數(shù)最為重要。因此，判定一個(gè)函數(shù)在其定義域內(nèi)是否一致連續(xù)，是數(shù)學(xué)分析的一個(gè)重要內(nèi)容之一

6、。定義2 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，若對(duì)，只要，就有， （2-7）則稱(chēng)函數(shù)在區(qū)間上一致連續(xù)。定義中的“一致” 指的是什么呢？只要與函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)的定義進(jìn)行比較，不難發(fā)現(xiàn)，連續(xù)定義中的，不僅僅依賴于，還依賴于點(diǎn)在區(qū)間中的位置，即；而在上一致連續(xù)是指，存在這樣的，它只與有關(guān)而與在區(qū)間中的位置無(wú)關(guān)，即。也就是說(shuō)，如果函數(shù) 在區(qū)間上連續(xù)，則對(duì)任意給定的正數(shù)，對(duì)于上的每一點(diǎn)，都能分別找到相應(yīng)的正數(shù)，使得對(duì)上的任意一點(diǎn)，只要，就有，其中。對(duì)于同一個(gè)而言，當(dāng)在上變動(dòng)時(shí)，的大小一般也隨著改變，即依賴于。如圖1，在曲線比較平坦的部分所需的遠(yuǎn)比在曲線比較陡峭的部分所需的大得多。如果的大小只與給定的有關(guān)，而與點(diǎn)在上的

7、位置無(wú)關(guān)，那么這時(shí)就在上一致連續(xù)?？梢?jiàn)“一致”指的就是存在適合于上所有點(diǎn)的公共，即。直觀地說(shuō)，在上一致連續(xù)意味著：不論兩點(diǎn)與在中處于什么位置，只要它們的距離小于，就可以使。這里可能會(huì)產(chǎn)生這樣的疑問(wèn)：既然對(duì)中每一個(gè)點(diǎn)都能找出相應(yīng)的，那么取這些的最小者或者是下確界作為正數(shù)，不就能使其與點(diǎn)無(wú)關(guān)了嗎？事實(shí)上，這不一定能辦得到。因?yàn)閰^(qū)間中有無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)，從而一般地也對(duì)應(yīng)著無(wú)窮多個(gè)正數(shù)，這無(wú)窮多個(gè)正數(shù)卻未必有最小的正數(shù)或取下確界為零。 所以，在區(qū)間上一致連續(xù)，反映出在上各點(diǎn)“連續(xù)”程度是否步調(diào)“一致”這樣一個(gè)整體性質(zhì)。2.2 函數(shù)連續(xù)性與一致連續(xù)性的聯(lián)系函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)與一致連續(xù)是兩個(gè)不同的概念，但它們之間

8、也有聯(lián)系。有如下結(jié)論（1） 函數(shù)在區(qū)間上一致連續(xù)，則在上連續(xù)。這個(gè)命題的證明是顯然的，我們只須將其中的一個(gè)點(diǎn)（或）固定即可，但這個(gè)命題的逆命題卻不一定成立。例1 證明函數(shù)在內(nèi)不一致連續(xù)（盡管它在內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)）。證明: 取 ，對(duì)（充分小且不妨設(shè)），取，則雖然有 ， （2-8）但 。 （2-9）所以函數(shù)在內(nèi)不一致連續(xù)。那么應(yīng)具備什么條件，在上連續(xù)的函數(shù)才在上才一致連續(xù)呢？（2） 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在上一致連續(xù)。這是著名的G.康托定理。閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的這一性質(zhì)對(duì)研究函數(shù)的一致連續(xù)性十分重要，由它我們可以推出許多重要的結(jié)論。注1 對(duì)函數(shù)的一致連續(xù)性概念的掌握，應(yīng)注意以下三個(gè)方面：（1）函數(shù)在區(qū)間

9、的連續(xù)性與一致連續(xù)性的區(qū)別和聯(lián)系。（2）函數(shù)一致連續(xù)的實(shí)質(zhì)，是區(qū)間上任意兩個(gè)彼此充分靠近的點(diǎn)的函數(shù)值的差的絕對(duì)值可以任意小，即對(duì)，當(dāng)時(shí)，就有 。 （2-10）（3）函數(shù)一致連續(xù)的否定敘述：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，若，使，總，雖然有， （2-11）但是 ， （2-12）則稱(chēng)函數(shù)在區(qū)間上非一致連續(xù)?？偟膩?lái)說(shuō)，我們可以在一點(diǎn)處討論函數(shù)的連續(xù)性，卻不能在一點(diǎn)處討論函數(shù)的一致連續(xù)性。函數(shù)的連續(xù)性反映的是函數(shù)的局部性質(zhì)，而函數(shù)的一致連續(xù)性則反映的是在整個(gè)區(qū)間上的整體性質(zhì)。3. 一元函數(shù)一致連續(xù)性的判定及應(yīng)用3.1 一元函數(shù)在有限區(qū)間上的一致連續(xù)性由于用函數(shù)一致連續(xù)的定義判定函數(shù)是否一致連續(xù)，往往比較困難。于

10、是，產(chǎn)生了一些以G.康托定理為基礎(chǔ)的較簡(jiǎn)單的判別法。 定理1（Contor定理） 若函數(shù)在上連續(xù)，則在上一致連續(xù)4。這個(gè)定理的證明方法很多，在華東師大版數(shù)學(xué)分析上冊(cè)中，運(yùn)用了有限覆蓋定理和致密性定理來(lái)分別證明，本文選用閉區(qū)間套定理來(lái)證明。分析：由函數(shù)一致連續(xù)的實(shí)質(zhì)知，要證在上一致連續(xù)，即是要證對(duì)，可以分區(qū)間成有限多個(gè)小區(qū)間，使得在每一小區(qū)間上任意兩點(diǎn)的函數(shù)值之差都小于。證明：若上述事實(shí)不成立，則至少存在一個(gè)，使得區(qū)間不能按上述要求分成有限多個(gè)小區(qū)間。將二等分為 、則二者之中至少有一個(gè)不能按上述要求分為有限多個(gè)小區(qū)間，記為；再將二等分為 、依同樣的方法取定其一，記為；.如此繼續(xù)下去，就得到一個(gè)閉

11、區(qū)間套，n=1，2， ，由閉區(qū)間套定理知，存在唯一一點(diǎn)c滿足 （2-13）且屬于所有這些閉區(qū)間，所以，從而在點(diǎn)連續(xù)，于是， 當(dāng)時(shí),就有 。 （2-14）又由（2-13）式，于是我們可取充分大的k，使,從而對(duì)于上任意點(diǎn)，都有。因此，對(duì)于上的任意兩點(diǎn)， 由（2-14）都有 。 （2-15）這表明能按要求那樣分為有限多個(gè)小區(qū)間，這和區(qū)間的取法矛盾，從而得證。注2 定理1對(duì)開(kāi)區(qū)間不成立。例如函數(shù)在內(nèi)每一個(gè)點(diǎn)都連續(xù)，但在該區(qū)間并不一致連續(xù)。G.康托定理告訴我們：函數(shù)在閉區(qū)間上一致連續(xù)的充要條件是在上連續(xù)，所以在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必定一致連續(xù)，然而對(duì)于有限開(kāi)區(qū)間和無(wú)限區(qū)間，則結(jié)論不一定成立。阻礙由區(qū)間連續(xù)

12、性轉(zhuǎn)變?yōu)閰^(qū)間一致連續(xù)性有兩種情況：（1）對(duì)于有限開(kāi)區(qū)間，這時(shí)端點(diǎn)可能成為破壞一致連續(xù)性的點(diǎn)。 （2）對(duì)于無(wú)限區(qū)間，這時(shí)函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)處也可能破壞一致連續(xù)性。雖然如此，我們對(duì)于破壞一致連續(xù)性的有限開(kāi)區(qū)間的端點(diǎn)或無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)附加一定的限制條件，G.康托定理也可以推廣到有限開(kāi)區(qū)間和無(wú)限區(qū)間。定理2 函數(shù)在內(nèi)一致連續(xù)在連續(xù)，且與都存在。證明： 若在內(nèi)一致連續(xù)，則對(duì)，當(dāng)時(shí)，有 ， （2-16）于是當(dāng)時(shí)，有。 （2-17）根據(jù)柯西收斂準(zhǔn)則，極限存在，同理可證極限也存在，從而在連續(xù)，與都存在。 若在連續(xù)，且和都存在，則令 （2-18）于是有在閉區(qū)間上連續(xù)，由Contor定理，在上一致連續(xù)，從而在內(nèi)一致連續(xù)。根據(jù)定

13、理2容易得以下推論：推論1 函數(shù)在內(nèi)一致連續(xù)在連續(xù)且存在。推論2 函數(shù)在內(nèi)一致連續(xù)在連續(xù)且存在。 注3 當(dāng)是無(wú)限區(qū)間時(shí)，條件是充分不必要的。例如，在上一致連續(xù)，但是，不存在。3.2 一元函數(shù)在無(wú)限區(qū)間上的一致連續(xù)性定理3 在內(nèi)一致連續(xù)的充分條件是在內(nèi)連續(xù)，且都存在。證明：（1） 先證在上一致連續(xù)。令，由柯西收斂準(zhǔn)則有對(duì)使對(duì)，有 。 （2-19）現(xiàn)將分為兩個(gè)重疊區(qū)間和，因?yàn)樵谏弦恢逻B續(xù)，從而對(duì)上述，使，且時(shí)，有 。 （2-20）對(duì)上述，取，則，且，都有 。 （2-21）所以函數(shù)在內(nèi)一致連續(xù)。（2） 同理可證函數(shù)在內(nèi)一致連續(xù)。由（1）、（2）可得在內(nèi)一致連續(xù)。注4 若將分為和，則當(dāng)與分別在兩個(gè)區(qū)間

14、時(shí)，即使有，卻不能馬上得出的結(jié)論。由定理3還容易得出以下推論：推論3 函數(shù)在內(nèi)一致連續(xù)的充分條件是在內(nèi)連續(xù)，且存在。推論4 函數(shù)在內(nèi)一致連續(xù)的充分條件是在內(nèi)連續(xù)，且與都存在。推論5 函數(shù)在內(nèi)一致連續(xù)的充分條件是在內(nèi)連續(xù)，且存在。推論6 函數(shù)在內(nèi)一致連續(xù)的充分條件是在內(nèi)連續(xù)，且與都存在。例2 判定下列函數(shù)在指定區(qū)間上是否一致連續(xù)。（1）；（2）；（3）。解：（1） 易見(jiàn)在內(nèi)連續(xù)，且， （2-22）即與都存在，從而在內(nèi)一致連續(xù)。（2） 易見(jiàn)在內(nèi)連續(xù)，且， （2-23）， （2-24）因此在內(nèi)一致連續(xù)。（3） 易證在內(nèi)連續(xù)，且， （2-25）， （2-26）所以在內(nèi)一致連續(xù)。注5 由例2可見(jiàn)，上述判

15、別法在判定某些函數(shù)非一致連續(xù)時(shí)十分簡(jiǎn)便。例3 若單調(diào)有界函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則函數(shù)在區(qū)間上一致連續(xù)。證明: 不妨假設(shè)。由于函數(shù)在上單調(diào)有界，即函數(shù)在上單調(diào)有界，從而極限都存在。根據(jù)定理2、3及其推論可知，函數(shù)在上一致連續(xù)。定理4 設(shè)是定義在上的以為周期的周期函數(shù)，則在上一致連續(xù)的充要條件是在上連續(xù)6。證明： 必要性易證，下證充分性。 因?yàn)樵谏线B續(xù)，所以在上也連續(xù)，從而一致連續(xù)。因此，對(duì)，使得對(duì)，且，有 。 （2-27），且，不妨假設(shè)且，即 。 （2-28）（1） 若，則， （2-29）此時(shí) ， （2-30）故 。 （2-31）（2） 若，則， （2-32）此時(shí) （2-33）且，故。 （2-34）

16、綜上所述，函數(shù)在上一致連續(xù)。注6 運(yùn)用定理4，易得三角函數(shù)等周期函數(shù)在上一致連續(xù)，較之用函數(shù)一致連續(xù)的定義來(lái)證明簡(jiǎn)單。3.3 一元函數(shù)在任意區(qū)間上的一致連續(xù)性對(duì)于一元函數(shù)在任意區(qū)間上一致連續(xù)與非一致連續(xù)，有以下結(jié)論：定理5 函數(shù)在區(qū)間上一致連續(xù)，只要， （3-1）就有 。 （3-2）證明： 由在上一致連續(xù)知，使得，只要，就有 。 （3-3）又，知，對(duì)上述存在，有 ， （3-4）從而對(duì)有 ， （3-5）即 。 若不然，則必存在，雖然， （3-6）但是 。 （3-7）顯然 ， （3-8）但是 。 （3-9）推出矛盾，故在一致連續(xù)。注7 此定理主要用來(lái)判定函數(shù)非一致連續(xù)。注8 利用定義證明函數(shù)在上非

17、一致連續(xù)的關(guān)鍵是確定，找出使得，而要做到這一點(diǎn)，對(duì)于某些函數(shù)而言通常是比較困難的。但是，根據(jù)前面判定函數(shù)一致連續(xù)的充要條件，易得函數(shù)在區(qū)間上非一致連續(xù)的兩個(gè)比較簡(jiǎn)單的充分條件。（1）連續(xù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)非一致連續(xù)的充分條件是和至少有一個(gè)不存在。（2）連續(xù)函數(shù)在區(qū)間非一致連續(xù)的充分條件是在區(qū)間上存在兩個(gè)數(shù)列，使得，但 。 （3-10）例4 證明函數(shù)在上非一致連續(xù)。證明：法一 ，對(duì)，雖然有， （3-11）但是 。 （3-12）所以在上非一致連續(xù)?，F(xiàn)在利用判別法（2）證明例4。法二 取，則， （3-13）但是 。 （3-14）所以由判別法（2）知在上非一致連續(xù)。注9 利用這兩個(gè)判別法證明函數(shù)在區(qū)間上非一

18、致連續(xù)的優(yōu)點(diǎn)是易見(jiàn)的：它不用直接確定找滿足，而只須觀察和的存在性或找出兩個(gè)數(shù)列和滿足判別條件即可。利用上述兩個(gè)判別法還可以證明以下題目：（1） 函數(shù)在上非一致連續(xù)。（2） 函數(shù)在上非一致連續(xù)。（3） 函數(shù)在非一致連續(xù)。（4） 函數(shù)在上非一致連續(xù)。（提示：取，）定理6 若函數(shù)在區(qū)間上滿足利普希茨（Lipschitz）條件，即存在常數(shù)，使得對(duì)都有 （3-15）成立，則在區(qū)間上一致連續(xù)。證明：因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上滿足Lipschitz條件，即，有，于是對(duì)，取，只要，就有。故函數(shù)在區(qū)間上一致連續(xù)。例5 證明函數(shù)在上一致連續(xù)。證明：由于對(duì)，使得，都有 ， （3-16）即在上滿足Lipschitz條件。所以函

19、數(shù)在上一致連續(xù)。注10 例5若用函數(shù)一致連續(xù)的定義證明，則較用定理6證明繁瑣。 定理6僅僅是函數(shù)在區(qū)間上一致連續(xù)的充分非必要條件，如下例例6 證明在上一致連續(xù)但不滿足Lipschitz條件。證明：在上連續(xù)，由Contor定理在上一致連續(xù)。取 顯然，且有 ， （3-17） ， （3-18） 。 （3-19）從而，對(duì)任意充分大的正整數(shù)，總存在使得 ， （3-20）即 。 （3-21）故在上一致連續(xù)，但在上不滿足Lipschitz條件。由著名的利普希茨（Lipschitz）條件得到啟發(fā)，還可得推論7 設(shè)存在，使對(duì)任意，都有 （3-22）成立，且在區(qū)間上一致連續(xù)，則在區(qū)間上一致連續(xù)。證明：由在區(qū)間上一

20、致連續(xù)，則，就有 ， （3-23）于是，對(duì)上述，只要，就有 。 （3-24）故在區(qū)間上一致連續(xù)。定理7 函數(shù)在區(qū)間上一致連續(xù)時(shí)有 。 （3-25）證明： 由函數(shù)在上一致連續(xù)，則，使得當(dāng)，且時(shí)，有 ， （3-26）于是，當(dāng)時(shí)，令，只要，就有，從而 。 （3-27）所以 。 由，當(dāng)時(shí)，有 ，則，使得當(dāng)時(shí)，有， （3-28）從而有 。 （3-29）所以函數(shù)在上一致連續(xù)。例7 討論在上一致連續(xù)性。解：在上連續(xù)，設(shè)（1） 當(dāng)時(shí)，設(shè)，則 ， （3-30）， （3-31）且 。 （3-32）所以在上一致連續(xù)。（2） 當(dāng)時(shí)， （3-33）且 。 （3-34）所以在上一致連續(xù)。由（1）、（2）可得，在上一致連續(xù)

21、。注11 定理7提供了一個(gè)直接觀察一致連續(xù)的方法，即在圖象上最陡的地方，若，有，則一致連續(xù)；若在某處無(wú)限變陡，則非一致連續(xù)。綜上所述，一元函數(shù)一致連續(xù)的判定，是由函數(shù)所滿足的條件或所定義的范圍所決定的，上述定理給出幾種情況下函數(shù)一致連續(xù)的判定但不全面，我們還可以進(jìn)行更加深入的討論和研究。4. 二元函數(shù)一致連續(xù)性的判定及應(yīng)用4.1 二元函數(shù)一致連續(xù)的概念及兩個(gè)重要定理定義3 設(shè)為定義在區(qū)域上的二元函數(shù)，（它或者是的聚點(diǎn)，或者是的孤立點(diǎn)）。若即對(duì)，使得當(dāng) 時(shí)，有 ， （4-1）則稱(chēng)函數(shù) 關(guān)于區(qū)域在點(diǎn)連續(xù)。若二元函數(shù)在區(qū)域上任意一點(diǎn)都連續(xù)，則稱(chēng)在區(qū)域上連續(xù)。定義4 函數(shù)在區(qū)域上，如果對(duì)，（僅與有關(guān)）

22、，當(dāng)且時(shí)，有， （4-2）則稱(chēng)函數(shù)在上一致連續(xù)。若，對(duì)，使得，而 ， （4-3）則稱(chēng)函數(shù)在上不一致連續(xù)。定理8（柯西收斂準(zhǔn)則） 平面點(diǎn)列收斂使得當(dāng)時(shí)，對(duì)，都有 。 （4-4）證明： 設(shè) ， （4-5）則由三角不等式 （4-6）及點(diǎn)列收斂的定義，對(duì)使得當(dāng)時(shí)，恒有 （4-7） ， （4-8）從而易得 。 由，則有 ， （4-9） ， （4-10）從而數(shù)列滿足柯西收斂準(zhǔn)則，所以它們都收斂。設(shè)，由點(diǎn)列收斂概念得收斂于點(diǎn)。定理9（歸結(jié)原則） 設(shè)二元函數(shù)在有定義。存在對(duì)任何含于且以為極限的點(diǎn)列，極限都存在且相等。證明： 設(shè) ， （4-11）則對(duì)，使得當(dāng) 時(shí)，有 。 （4-12）又點(diǎn)列 且 ， （4-13）

23、則對(duì)上述，使得當(dāng)時(shí)，有 ， （4-14）從而有 ， （4-15）即 。 （4-16） 設(shè) ， （4-17）下面用反證法證明 。 （4-18）事實(shí)上，若時(shí)， （4-19）則（不論多么?。?，總，雖然，但是。 （4-20）現(xiàn)依次取 ，則存在相應(yīng)的點(diǎn)，使得，而， （4-21）與假設(shè)矛盾。所以。4.2 二元函數(shù)在有界閉區(qū)域上的一致連續(xù)性定理10（一致連續(xù)性定理） 若函數(shù) 在有界閉區(qū)域上連續(xù)，則 在上一致連續(xù)。證明一致密性定理：假設(shè)在上不一致連續(xù)，則 ，使得，但 。 （4-22）令（），在中總能找到相應(yīng)的，使得，但 。 （4-23）在有界閉區(qū)域中由致密性定理有，平面點(diǎn)列 必有收斂子列 ，且。同時(shí)由 ， （

24、4-24）得 。最后，由，有 。 （4-25）令，由二元函數(shù) 在的連續(xù)性及數(shù)列極限的保不等式性，得 ， （4-26）從而推出矛盾。故在上一致連續(xù)。證明二有限覆蓋定理：由在上連續(xù)，則，使得，有 。 （4-27）考察開(kāi)區(qū)域 ， （4-28）顯然是的一個(gè)開(kāi)覆蓋。由有限覆蓋定理，存在的一個(gè)有限開(kāi)區(qū)域 （4-29）覆蓋了。記，對(duì)，則必屬于中某開(kāi)區(qū)域。設(shè)，即，此時(shí)有 。 （4-30）故由（4-27）式，同時(shí)有 ， （4-31） （4-32）成立，從而 。 （4-33）所以在上一致連續(xù)。注12定理中的有界閉區(qū)域可改為有界閉集，證明過(guò)程無(wú)原則性變化。4.3 二元函數(shù)在有界開(kāi)區(qū)域上一致連續(xù)的一致連續(xù)性定理11

25、二元函數(shù)在有界開(kāi)區(qū)域上在上連續(xù)且存在（其中表的邊界）。證明： 二元函數(shù)在有界開(kāi)區(qū)域上一致連續(xù)，則必然在上連續(xù)，下面證明存在。（1） 由二元函數(shù)在有界開(kāi)區(qū)域上一致連續(xù)，則，當(dāng)時(shí)，就有 。 （4-34）對(duì)，則。任取，則 ，且。 （4-35）于是對(duì)上述，當(dāng)時(shí)，有 ， （4-36）從而 。 （4-37）由柯西收斂準(zhǔn)則知存在。（2） 若且 ， （4-38）則由（1）有與都存在。于是，對(duì)上述，使得當(dāng)時(shí)，有 且， （4-39）從而當(dāng)時(shí)，有 。 （4-40）所以 ， （4-41）即 。 （4-42）結(jié)合、，由歸結(jié)原則得存在。 令 （4-43）則對(duì)（表示的閉包），有。當(dāng)時(shí)，由為開(kāi)區(qū)域知：，當(dāng)時(shí)。因?yàn)樵谶B續(xù)，所以 ， （4-44）故在連續(xù)。當(dāng)時(shí)，有 ， （4-45）其中為中趨于的點(diǎn)列。對(duì)中任一趨于的點(diǎn)列，由存在