線性代數(shù)-第一次課§.ppt

1、線性代數(shù),1. 教師姓名: 王國聯(lián) 2. 52學時，第17周結(jié)束 3. 期中考試(待定) 4. 作業(yè)：練習冊 5. 平時成績所占比例20%(作業(yè)、平時抽查、期中考試(若有),課程簡介,代數(shù)中心課題-解方程 最簡單的方程一元一次方程。 （1）一元n次方程 -多項式理論 （2） n元一次方程-線性代數(shù),第一章 行列式,什么是行列式 行列式的定義、性質(zhì)、計算 行列式的應(yīng)用 能解決什么問題,1.1 二階與三階行列式,當(a11a22 a12a21) 0時, 用消元法解得:,由方程組的四個系數(shù)確定,一、二階行列式,1.二階行列式的引入,求解二元一次方程組,稱其為二階行列式。,令,a11 a12 a21

2、a22,由4個數(shù)排成二行二列的數(shù)表,a11 a12 a21 a22,2.二階行列式的定義,定義：,主對角線,副對角線,3.二階行列式的計算對角線法則,a11a22, a12a21,=a11a22 a12a21,(1),(2)式稱為由數(shù)表(1)所確定的二階行列式.,記,(2),.二階行列式的應(yīng)用,當(a11a22 a12a21) 0時, 解得:,分析：,例1: 解二元線性方程組,解:,= 3 (4) = 7 0,二、三階行列式,求解三元線性方程：,用消元法解得,當,時，,1.三階行列式的引入,稱為三階行列式,(5)式稱為由數(shù)表(4)所確定的三階行列式.,2.三階行列式的定義,定義: 設(shè)由9個數(shù)排

3、成3行3列的數(shù)表,(5),(4),記,3.三階行列式的計算,(1)對角線法則,(2)沙路法,即,即,當,時，,4.三階行列式的應(yīng)用,記,則,例2: 計算三階行列式,解:,二階、三階行列式是由解二元和三元線性方程組引入的.,三、小結(jié),類似的可以定義四階、五階,思考： 如何給出 n(n=1,2)階行列式的一般定義？如何計算？,n階行列式的定義中要用到兩個概念：全排列和逆序數(shù)。,1.2 全排列及其逆序數(shù),定義: 把 n 個不同的元素排成一列, 叫做這 n 個元素的全排列(或排列).,解答： Pn = n (n1) (n2) 2 1 = n!,一、全排列,思考：n 個不同的元素的排列數(shù)是多少？,通常用

4、 Pn 表示n 個不同的元素的所有全排列的種數(shù), 稱為排列數(shù).,二、排列的逆序數(shù),逆序: 在一個排列 i1 i2 is it in 中, 若數(shù) isit,則稱這兩個數(shù)組成一個逆序.,下面的例題及定義均以 n 個不同的自然數(shù)為例, 并規(guī)定自然數(shù)由小到大為標準次序.,逆序數(shù): 一個排列中所有逆序的總數(shù),通常用t表示.,逆序數(shù)的計算方法: “前大法”或“后小法”,例如: 排列3142中,3 1 4 2,3 2 5 1 4,3,1,故此排列的逆序數(shù)為t(32514)=0+1+0+3+1 = 5.,例1:求排列32514 的逆序數(shù)。,逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列; 逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列.,3 2

5、 5 1 4,于是t(32514) = 2+1+2+0+0 = 5.,解:用“前大法”:,用“后小法”:,例2: 計算下列排列的逆序數(shù), 并討論其奇偶性.,(1) n(n1)(n2) 21,解:用“前大法”:,n (n1) (n2) 2 1,0,1,2,(n1),(n2),t = 0+1+2+ +(n2)+(n1),于是排列n(n1)(n2) 21的逆序數(shù)為:,此排列當 n=4k, 4k+1 時為偶排列; 當 n=4k+2, 4k+3 時為奇排列,其中為自然數(shù).,(2) (2k)1(2k1)2(2k2)3(2k3) (k1)(k +1)k.,(2k) 1 (2k1) 2 (2k2) 3 (2k

6、3) (k1) (k+1) k,解:,0,1,2,1,2,3,3,(k1),(k1),k,t = 0+1+1+2+2+ +(k1)+(k1)+k,于是排列(2k)1(2k1)2(2k2) (k1)(k +1)k的逆序數(shù)為:,此排列當 k 為偶數(shù)時為偶排列, 當 k為奇數(shù)時為奇排列.,1.3 n 階行列式的定義,一、 n 階行列式,(1) 三階行列式共有6=3!項.,(2)不考慮每項的正負號, 每項是由位于不同行不同列的三個元素的乘積.,(3)將每項三個元素的行下標標準排列,每項的正負號由列下標排列的逆序數(shù)決定.,三個本質(zhì)特點：,1.概念的引入,t (123)=0,t (231)=2,t (31

7、2)=2,t (321)=3,t (132)=1,t (213)=1,2.n 階行列式的定義,定義: 設(shè)由 n2 個數(shù)排成一個 n 行 n 列的數(shù)表,稱其為由數(shù)表(1)構(gòu)成的n 階行列式.,令,(1),簡記作det(aij).,三個本質(zhì)特征： （1）n 階行列式是 n! 項的代數(shù)和; （2）不考慮每項的正負號, n 階行列式的每項都是位于不同行, 不同列的n個元素的乘積. （3）行下標標準排列,每項的正負號都由列下標排列的逆序數(shù)確定.,按定義一階行列式的符號 | a | = a, 不要與絕對值符號相混淆, 但一般不使用此符號.,例1:,解: 由行列式的本質(zhì)特征(2)和(3),寫出四階行列式中含

8、有因子,的項。,因此,含有因子,的項,n 階行列式的每項都是位于不同行, 不同列的n個元素的乘積再冠以規(guī)定的正負號構(gòu)成.,例2: 計算對角行列式,解: 分析.,四階行列式的通項為：,從而這個項為零,同理可得: p2=3, p3=2, p4=1.,所以只能 p1=4;,若p14, 則,即行列式中非零的項為:,(1) t (4321) a14 a23 a32 a41,即,例3: 計算上三角行列式,解: 分析,展開式中項的一般形式是,所以非零的項只可能是: a11 a22 ann .,從最后一行開始討論非零項. 顯然,pn=n, pn1=n1, pn2=n2, , p2=2, p1=1,即,下三角行列式,對角行列式:主對角線上方和下方的元素全為零,反對角行列式:反對角線上方和下方的元素全為零.,思考：用行列式的定義計算,答案：,例4: 設(shè),證明: D1=D2.,證: 由行列式定義有,由于 p1+ p2+ + pn= 1 + 2 + + n,所以,故,例5:已知多項式,求 x3 的系數(shù).,解:,含 x3 的項有僅兩項, 即,對應(yīng)于,= x3,+ (2x3),故 x3 的系數(shù)為(1).,(1)t(1234)a11a22a33a44,+ (1)t(1243)a11a22a34a43,三、行列式的計算,背景： 僅用定義計算，計算量太大， 除非0很多