中科院計算流體力學(xué)最新講義CFD2011-第6講-差分方法4.ppt

1、計算流體力學(xué)講義2011 第六講 差分方法（4） 李新亮 ；力學(xué)所主樓219； 82543801,知識點(diǎn)： 通量技術(shù)簡介Roe 常用的隱式處理方法LU-SGS,1,Copyright by Li Xinliang,講義、課件上傳至 (流體中文網(wǎng)） - “流體論壇” -“ CFD基礎(chǔ)理論 ” 下載地址2： http:/cid-,Copyright by Li Xinliang,2,知識回顧： 單調(diào)、保單調(diào)和TVD,概念： 網(wǎng)格Reynolds數(shù) 單調(diào)格式、保單調(diào)格式及TVD格式 Harten定理： 正系數(shù)原則,TVD,保單調(diào),單調(diào),TVD格式= 1階迎風(fēng)+ j *（修正項(xiàng)）,二階精度區(qū),TVD區(qū)

2、,二階精度TVD區(qū)（二者交集）,Copyright by Li Xinliang,3,知識回顧：WENO格式,基本思路,j-3, j-2,j-1,j,j+1,j+2,j-3,j-2,j-1,j； j-2,j-1,j,j+1； j-1,j,j+1,j+2,五個基架點(diǎn)被分成三個組,1） 若高精度逼近 ， 必然利用多個基架點(diǎn) 2） 如果該基架點(diǎn)內(nèi)函數(shù)有間斷，會導(dǎo)致振蕩 3） 間斷不可能處處存在 4） 把基架點(diǎn)分成多個組（模板）， 每個模板獨(dú)立計算j點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的逼近。 得到多個差分 5）根據(jù)每個模板的光滑程度，設(shè)定權(quán)重 6） 對多個差分結(jié)果進(jìn)行加權(quán)平均 。光滑度越高，權(quán)重越大。如果某模板存在間斷，則權(quán)重趨

3、于0； 如果都光滑，則組合成更高階格式。,Copyright by Li Xinliang,4,1. 單方程的Roe格式,線性化，用平均變化率代替(j,j+1)之間的變化率a(u),“平均斜率”，不等于“斜率的平均值”，也不等于中點(diǎn)處的斜率, 6.1 Roe格式,非線性情況,根據(jù)Langrage中值定理，uL,uR之間必有一點(diǎn)uRoe, 該點(diǎn)處的斜率為平均斜率; 二次函數(shù)f(u)=u2中點(diǎn)處的斜率=平均斜率,Copyright by Li Xinliang,5,2. 方程組的情況,平均斜率,線性化，以平均增長率代替瞬時增長率,j,j+1區(qū)間內(nèi),連續(xù)，且 可通過相似變換對角化,應(yīng)當(dāng)具有的性質(zhì),常

4、系數(shù)方程的Riemann解,Copyright by Li Xinliang,6,平均斜率,x,j+1/2,常系數(shù)單波方程的Riemann解,Roe 格式： 微分型近似Riemann解,Copyright by Li Xinliang,7,3. 矩陣 的構(gòu)造,關(guān)鍵：,“向量除以向量” ？,直接求平均增長率：,u,f(u),uL,uR,uRoe,Roe點(diǎn)的斜率為平均斜率 （根據(jù)拉格朗日中值定理，UL,UR區(qū)間內(nèi)肯定存在Roe點(diǎn)）,思路1： 在UL與UR之間尋找一個點(diǎn)URoe, 該點(diǎn)處的增長率為平均增長率,f(u)=u2,u,二次函數(shù) Roe點(diǎn)與中點(diǎn)重合,標(biāo)量函數(shù)的啟示： Roe點(diǎn)肯定存在（Lan

5、grage 中值定理） 二次函數(shù)的中點(diǎn)即為Roe點(diǎn),思路2： 進(jìn)行坐標(biāo)變換，得到一個二次（齊）函數(shù),引入,如果 是二次（齊）函數(shù)，則其中點(diǎn) 即為Roe點(diǎn),重要啟示,更準(zhǔn)確地講，應(yīng)當(dāng)是要求 為W的線性函數(shù)， 即增長率為線性函數(shù) （中點(diǎn)處的增長率剛好為平均增長率）,Copyright by Li Xinliang,8,針對Euler方程的具體構(gòu)造,引入新變量：,則：,目的： 使得F(w)是W二次齊函數(shù) （增長率為線性函數(shù)）,f(U)不是U的二次齊函數(shù),二次齊函數(shù)！,中點(diǎn)處的斜率即為平均斜率。,Roe點(diǎn),Roe點(diǎn)為：,增長率為線性函數(shù)！,Copyright by Li Xinliang,9,最終：,

6、其中 如下計算：,平均增長率（矩陣）,含義： 左、右兩個狀態(tài)點(diǎn)的某種平均 （稱為Roe平均，為密度加權(quán)平均） 該狀態(tài)點(diǎn)對應(yīng)的增長率（矩陣）為平均增長率（矩陣） 實(shí)際上是一種“等效平均”。 效果優(yōu)于簡單的算數(shù)（或幾何）平均。,三維情況下，還有,其他量（如壓力、溫度、音速等）用這三個量計算,（5）,簡單易記：,Copyright by Li Xinliang,10,Roe 格式的計算步驟 （半離散）,已知n時刻所有網(wǎng)格點(diǎn)上的物理量，對于j點(diǎn)： 1） 利用差分格式計算UR,UL 2） 采用Roe平均公式（5）計算Roe平均值 3） 將Jacobian矩陣 進(jìn)行特征分解: 計算 4) 計算 5）計算

7、6） 計算空間導(dǎo)數(shù) 7）時間推進(jìn)，計算下一時間步的值。,j-1 j j+1,與前文（第3，4講）的形式相同，僅需把式中的密度、壓力、速度等換成經(jīng)過Roe平均的密度、壓力、速度即可,其中：,Copyright by Li Xinliang,11,可能出現(xiàn)導(dǎo)數(shù)不連續(xù)， 可能引起數(shù)值振蕩,實(shí)際使用時 可用如下函數(shù)代替 所謂“熵修正”,實(shí)際上是在特征值0點(diǎn)周圍增加了耗散,Roe 格式的優(yōu)點(diǎn)： 1） 保持守恒性的同時，嚴(yán)格保證了特征方向 2） 便于推廣到高精度格式 特征投影分裂中使用Roe平均即可 （見本PPT 第5頁）。推廣到高階后，雖不再保證嚴(yán)格的特征方向， 但仍優(yōu)于采用算數(shù)平均方法。 Roe 格式

8、的不足： 本身精度只有一階； 推廣到高階后，特征方向無法嚴(yán)格保證 ； 推廣到二維或三維后，特征方向無法嚴(yán)格保證，出現(xiàn)振蕩。,Copyright by Li Xinliang,12,關(guān)于 f(U) 與 f(W),深入討論,新變量,雖然是“一次齊函數(shù)”但有變量在分母上,干凈的二次齊函數(shù),自變量W的線性函數(shù)！,實(shí)質(zhì)區(qū)別： 是自變量 的線性函數(shù)， 而 是自變量 的非線性函數(shù)！,自變量U的非線性函數(shù),使用U做自變量的優(yōu)點(diǎn)： 物理意義鮮明 （質(zhì)量密度、動量密度和能量密度），守恒性好 使用W做自變量的優(yōu)點(diǎn)： Jocabian矩陣為線性矩陣 思考： 如果在CFD計算中，使用W替換U做自變量會怎樣？,4 階,3

9、 階 （TVD型）,2階,Copyright by Li Xinliang,13, 6.2 時間推進(jìn)方法,1. 顯格式,推薦方法： Runge-Kutta法,更高階 ,Copyright by Li Xinliang,14,2. 隱格式算法簡介 （以二維Euler方程為例）,1） 原理介紹,（1）,時間離散后,方案 A： 直接將（1）進(jìn)行空間離散，得到 Un+1 的代數(shù)方程組 困難： 大型非線性方程組，求解困難,方案B: 設(shè)計一種迭代算法,令,兩端同時添加顯式項(xiàng),右端項(xiàng)，已知,是已知項(xiàng)，可采用某種差分方法顯式計算得到 （對算法無限制）,Copyright by Li Xinliang,15,(

10、2),已知，（2）為線性方程。,（1） (2) 是一個線性化過程,含義： 先用顯格式計算，再用隱格式計算修正量,線性方程，離散求解,離散后為大型帶狀方程組，求解計算量大,LU-SGS,原理： 將矩陣分解為上、下三角陣，避免矩陣求逆運(yùn)算,隱式問題顯式化,未知量：,顯式部分,隱式修正,若隱式修正為0，則為顯格式,Copyright by Li Xinliang,16,2) LU-SGS 方法,a) 將矩陣A,B分裂,為了簡化計算，通常采用L-F分裂,矩陣分裂,1階迎風(fēng)格式離散,整理,迭代收斂后，不影響精度,Copyright by Li Xinliang,17,其中：,特點(diǎn)： 嚴(yán)格對角占優(yōu)，收斂性好 穩(wěn)定性好,可采用局部時間步長等加速收斂措施,近似LU分解,do j=1,ny do i=1,nx Enddo Enddo,Copyright by Li Xinliang,18,具體求解方法,（1） 計算右端項(xiàng),顯式，可采用前面構(gòu)