近世代數(shù)習(xí)題解答(張禾瑞)四章

1、近世代數(shù)習(xí)題解答第四章 整環(huán)里的因子分解1 素元、唯一分解1. 證明：不是任何元的真因子。證當(dāng)時(shí)若則故矛盾當(dāng)時(shí)，有（是單位）就是說(shuō)是它自己的相伴元2. 我們看以下的整環(huán)，剛好包含所有可以寫成是任意整數(shù)，的整數(shù)）形式的有理數(shù)，的哪些個(gè)元是單位，哪些個(gè)元是素元？證）的單位總可以把表為是或奇數(shù)，非負(fù)整數(shù)）我們說(shuō)時(shí)，即是單位，反之亦然 ）的素元依然是的限制同上）我們要求）只有平凡因子滿足）的是奇素?cái)?shù)故而是奇素?cái)?shù)是是素元，反之亦然，是剛好包含所有復(fù)數(shù)整數(shù)）的整環(huán)，證明不是的素元，有沒(méi)有唯一分解？ 證（）的元是單位，當(dāng)而且只當(dāng)時(shí)，事實(shí)上，若是單位 則 即但是一正整數(shù)，同樣也是正整數(shù)，因此，只有反之，若，則

2、或這些顯然均是單位此外，再?zèng)]有一對(duì)整數(shù)滿足，所以的單位只有。 （）適合條件的的元一定是素元。事實(shí)上，若則又由也不是單位若則或是單位是的相伴元是單位是的相伴元不管哪種情形，只有平凡因子，因而是素元。 （）的元不是素元。若則這樣，只可能是 當(dāng)由是單位當(dāng)由是單位此即中有一是的相伴元現(xiàn)在看的情形可能的情形是 顯然由（）知的是素元，故知是素元之積 （）的單一分解均為單位 唯一分解環(huán) 證明本節(jié)的推論 證本節(jié)的推論是；一個(gè)唯一分解環(huán)的 個(gè)元在里一定有最大公因子，的兩個(gè)最大公因子只能查一個(gè)單位因子。用數(shù)學(xué)歸納法證當(dāng)時(shí)，由本節(jié)定理知結(jié)論正確。假定對(duì)個(gè)元素來(lái)說(shuō)結(jié)論正確?？吹那樾卧O(shè)有最大公因子為。，的最大公因子為即

3、而 又故是的公因子假定 又 這就是說(shuō)，是的最大公因子若是的最大公因子那么且 若則 則即是單位故 假定在一個(gè)唯一分解環(huán)里 證明當(dāng)而且只當(dāng)是的一個(gè)最大公因子的時(shí)候，互素證假定是的一個(gè)最大公因子若不互素則有而不是單位那么這就是說(shuō)是的公因子所以即 故是單位 矛盾 假定互素 令是的最大公因子 則有 即 是的公因子于是是單位 那么是的最大公因子3 假定是一個(gè)整環(huán)，和是的兩個(gè)主理想證明當(dāng)而且只當(dāng)是的相伴元的時(shí)候證假定 是單位所以是的相伴元 假定（單位） 故（ 主理想假定是一個(gè)主理想環(huán)，并且證明是和的一個(gè)最大公因子，因此和的何最大公因子都可寫成以下形式：證由于有 是的公因子 仍由知故有 設(shè)是的任一公因子由知即

4、是的最大公因子又（單位） 一個(gè)主理想環(huán)的每一個(gè)最大理想都是由一個(gè)元素所生成的。證設(shè)是主理想環(huán)的最大理想， 并設(shè)若是單位，則若不是素元?jiǎng)t， 是的真因子最大理想是單位，矛盾。我們看兩個(gè)主理想環(huán)和是的子環(huán)，假定和是的兩個(gè)元，是這兩個(gè)元在里的一個(gè)最大公因子。證明：也是這兩個(gè)元在里的一個(gè)最大公因子。證是主理想環(huán)的子環(huán)，所以在里由本節(jié)習(xí)題知 是的最大公因子，而且最大公因子有以下形式： 也是在里的公因子。設(shè)是在里任意公因子則那么 故是在里的最大公因子。4 歐氏環(huán) 1. 證明:一個(gè)域一定是一個(gè)歐氏環(huán). 證 設(shè)是域,則一定是整環(huán) 是某一個(gè)固定的整數(shù),這符合條件（） ）對(duì)的任何元都有 這里 2. 我們看有理數(shù)域上

5、的一元多項(xiàng)式環(huán)理想等于怎樣的一個(gè)主理想? 證 我們說(shuō) 互素 即 因而 3. 證明由所有復(fù)數(shù)是整數(shù)) 所作成的環(huán)是一個(gè)歐氏環(huán) 取() 證 整數(shù) 令 設(shè) 則 任取 整數(shù) 其中 故 是有理數(shù) 取 是有理數(shù),且滿足條件 令 則 因?yàn)榈膶?shí)部與虛部系數(shù)均為整數(shù),所以的實(shí)部與虛部系數(shù)亦均為整數(shù) 設(shè) 即注意:取 使 的整數(shù) 是可以做到的例如只要取 或即可使5 多項(xiàng)式環(huán)的因子分解1. 假定!是一個(gè)唯一分解環(huán),是的商域,證明,的一個(gè)多項(xiàng)式若是在里可約,它在里已經(jīng)可約. 證 若在里不可約,令 是本原多項(xiàng)式顯然, 在里也不可約,由引理3在里不可約,這與在里可約的假設(shè)矛盾.2. 假定是整環(huán)上的一元多項(xiàng)式環(huán).!屬于但不屬于,并且的最高系數(shù)是的一個(gè)單位,證明在里有分解. 證 的最高系數(shù)是的單位,所以的系數(shù)的最大公因子是單位,也就是說(shuō)是本原多項(xiàng)式. 而即次數(shù)根據(jù)本節(jié)引理4證明的前一部分在里有分解。6 因子分解與多項(xiàng)式的根 1. 假定是模16的剩余類環(huán),的多項(xiàng)式在里有多少個(gè)根? 證 在里的所有根是 這里因?yàn)槭堑母?則需 2. 假定是模3的剩余類環(huán),我們看的多項(xiàng)式證明,不