中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 幾何綜合題學(xué)案

1、幾何綜合題【題型特征】 以幾何知識為主體的綜合題,簡稱幾何綜合題,主要研究圖形中點與線之間的位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系,以及特定圖形的判定和性質(zhì).一般以相似為中心,以圓為重點,常常是圓與三角形、四邊形、相似三角形、銳角三角函數(shù)等知識的綜合運用.【解題策略】 解答幾何綜合題應(yīng)注意:(1)注意觀察、分析圖形,把復(fù)雜的圖形分解成幾個基本圖形,通過添加輔助線補全或構(gòu)造基本圖形.(2)掌握常規(guī)的證題方法和思路;(3)運用轉(zhuǎn)化的思想解決幾何證明問題,運用方程的思想解決幾何計算問題.還要靈活運用其他的數(shù)學(xué)思想方法等.【小結(jié)】 幾何計算型綜合問題,是以計算為主線綜合各種幾何知識的問題.這類問題的主要特點是包含知識點多

2、、覆蓋面廣、邏輯關(guān)系復(fù)雜、解法靈活.解題時必須在充分利用幾何圖形的性質(zhì)及題設(shè)的基礎(chǔ)上挖掘幾何圖形中隱含的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系,在復(fù)雜的“背景”下辨認、分解基本圖形,或通過添加輔助線補全或構(gòu)造基本圖形,并善于聯(lián)想所學(xué)知識,突破思維障礙,合理運用方程等各種數(shù)學(xué)思想才能解決.【提醒】 幾何論證型綜合題以知識上的綜合性引人注目.值得一提的是,在近年各地的中考試題中,幾何論證型綜合題的難度普遍下降,出現(xiàn)了一大批探索性試題,根據(jù)新課標的要求,減少幾何中推理論證的難度,加強探索性訓(xùn)練,將成為幾何論證型綜合題命題的新趨勢.為了復(fù)習(xí)方便,我們將幾何綜合題分為:以三角形為背景的綜合題;以四邊形為背景的綜合題;以圓為

3、背景的綜合題.類型一以三角形為背景的綜合題典例1(2015江蘇泰州)如圖,BD是ABC的角平分線,點E,F分別在BC,AB上,且DEAB,EFAC.(1)求證:BE=AF;(2)若ABC=60,BD=6,求四邊形ADEF的面積.【技法梳理】 (1)由DEAB,EFAC,可證得四邊形ADEF是平行四邊形,ABD=BDE,又由BD是ABC的角平分線,易得BDE是等腰三角形,即可證得結(jié)論;(2)首先過點D作DGAB于點G,過點E作EHBD于點H,易求得DG與DE的長,繼而求得答案.【解析】 (1)DEAB,EFAC,四邊形ADEF是平行四邊形,ABD=BDE.AF=DE.BD是ABC的角平分線,AB

4、D=DBE.DBE=BDE.BE=DE.BE=AF.(2)過點D作DGAB于點G,過點E作EHBD于點H,ABC=60,BD是ABC的平分線,ABD=EBD=30.DE=BE=2.四邊形ADEF的面積為DEDG=6.舉一反三1. (2015湖北武漢)如圖,RtABC中,ACB=90,AC=6cm,BC=8cm,動點P從點B出發(fā),在BA邊上以每秒5cm的速度向點A勻速運動,同時動點Q從點C出發(fā),在CB邊上以每秒4cm的速度向點B勻速運動,運動時間為t秒(0t2),連接PQ.(1)若BPQ與ABC相似,求t的值;(2)連接AQ,CP,若AQCP,求t的值;(3)試證明:PQ的中點在ABC的一條中位

5、線上.(1)(2)(第1題)【小結(jié)】 此類題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識.注意掌握輔助線的作法,注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.類型二以四邊形為背景的綜合題典例2(2015安徽)如圖(1),正六邊形ABCDEF的邊長為a,P是BC邊上一動點,過P作PMAB交AF于M,作PNCD交DE于點N.(1)MPN=;求證:PM+PN=3a;(2)如圖(2),點O是AD的中點,連接OM,ON,求證:OM=ON;(3)如圖(3),點O是AD的中點,OG平分MON,判斷四邊形OMGN是否為特殊四邊形?并說明理由.(1)(2)(3)【全解】 (1)四邊形ABCDEF是正六邊

6、形,A=B=C=D=E=F=120.PMAB,PNCD,BPM=60,NPC=60.MPN=180-BPM-NPC=180-60-60=60.故答案為60.如圖(1),作AGMP交MP于點G,BHMP于點H,CLPN于點L,DKPN于點K,(1) (2)如圖(2),連接OE.(2)四邊形ABCDEF是正六邊形,ABMP,PNDC,AM=BP=EN.又MAO=NOE=60,OA=OE,在ONE和OMA中,OMAONE(SAS).OM=ON.(3)如圖(3),連接OE.(3)由(2)得,OMAONE,MOA=EON.EFAO,AFOE,四邊形AOEF是平行四邊形.AFE=AOE=120.MON=1

7、20.GON=60.GON=60-EON,DON=60-EON,GOE=DON.OD=OE,ODN=OEG,在GOE和DON中,GOENOD(ASA).ON=OG.又GON=60,ONG是等邊三角形.ON=NG.OM=ON,MOG=60,MOG是等邊三角形.MG=GO=MO.MO=ON=NG=MG.四邊形MONG是菱形.【技法梳理】 (1)運用MPN=180-BPM-NPC求解,作AGMP交MP于點G,BHMP于點H,CLPN于點L,DKPN于點K,利用MP+PN=MG+GH+HP+PL+LK+KN求解;(2)連接OE,由OMAONE證明;(3)連接OE,由OMAONE,再證出GOENOD,由

8、ONG是等邊三角形和MOG是等邊三角形求出四邊形MONG是菱形.舉一反三2. (2015山東煙臺)在正方形ABCD中,動點E,F分別從D,C兩點同時出發(fā),以相同的速度在直線DC,CB上移動.(1)如圖(1),當(dāng)點E自D向C,點F自C向B移動時,連接AE和DF交于點P,請你寫出AE與DF的位置關(guān)系,并說明理由.(2)如圖(2),當(dāng)E,F分別移動到邊DC,CB的延長線上時,連接AE和DF,(1)中的結(jié)論還成立嗎?(請你直接回答“是”或“否”,不需證明)(3)如圖(3),當(dāng)E,F分別在邊CD,BC的延長線上移動時,連接AE,DF,(1)中的結(jié)論還成立嗎?請說明理由.(4)如圖(4),當(dāng)E,F分別在邊

9、DC,CB上移動時,連接AE和DF交于點P,由于點E,F的移動,使得點P也隨之運動,請你畫出點P運動路徑的草圖.若AD=2,試求出線段CP的最小值.(1)(2)(3)(4)(第2題)【小結(jié)】 主要考查了四邊形的綜合題,解題的關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)淖鞒鲚o助線,根據(jù)三角形全等找出相等的線段.類型三以圓為背景的綜合題典例3(2015江蘇蘇州)如圖,已知l1l2,O與l1,l2都相切,O的半徑為2cm,矩形ABCD的邊AD,AB分別與l1,l2重合,AB=4cm,AD=4cm,若O與矩形ABCD沿l1同時向右移動,O的移動速度為3cm,矩形ABCD的移動速度為4cm/s,設(shè)移動時間為t(s),(1)如圖,連接O

10、A,AC,則OAC的度數(shù)為;(2)如圖,兩個圖形移動一段時間后,O到達O1的位置,矩形ABCD到達A1B1C1D1的位置,此時點O1,A1,C1恰好在同一直線上,求圓心O移動的距離(即OO1的長);(3)在移動過程中,圓心O到矩形對角線AC所在直線的距離在不斷變化,設(shè)該距離為d(cm),當(dāng)d2時,求t的取值范圍(解答時可以利用備用圖畫出相關(guān)示意圖).【全解】 (1)l1l2,O與l1,l2都相切,OAD=45.AB=4cm,AD=4cm,CD=4cm,AD=4cm.DAC=60.OAC的度數(shù)為OAD+DAC=105.(2)如圖位置二,當(dāng)O1,A1,C1恰好在同一直線上時,設(shè)O1與l1的切點為點

11、E,連接O1E,可得O1E=2,O1El1,在RtA1D1C1中,A1D1=4,C1D1=4,tanC1A1D1=.C1A1D1=60.OO1=3t=2+6.(3)當(dāng)直線AC與O第一次相切時,設(shè)移動時間為t1,如圖,此時O移動到O2的位置,矩形ABCD移動到A2B2C2D2的位置,設(shè)O2與直線l1,A2C2分別相切于點F,G,連接O2F,O2G,O2A2,O2Fl1,O2GA2G2.由(2)得,C2A2D2=60,GA2F=120.O2A2F=60.在RtA2O2F中,O2F=2,當(dāng)直線AC與O第二次相切時,設(shè)移動時間為t2,記第一次相切時為位置一,點O1,A1,C1共線時為位置二,第二次相切

12、時為位置三,由題意知,從位置一到位置二所用時間與位置二到位置三所用時間相等,【提醒】 本題主要考查了切線的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識,利用分類討論以及數(shù)形結(jié)合t的值是解題關(guān)鍵.【技法梳理】 (1)利用切線的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)關(guān)系分別求出OAD=45,DAC=60,進而得出答案;(2)首先得出,C1A1D1=60,再利用A1E=AA1-OO1-2=t-2,求出t的值,進而得出OO1=3t得出答案即可;(3)當(dāng)直線AC與O第一次相切時,設(shè)移動時間為t1,當(dāng)直線AC與O第二次相切時,設(shè)移動時間為t2,分別求出即可.舉一反三3. (2015浙江寧波)木匠黃師傅用長AB=3,寬BC=2的矩形木板做

13、一個盡可能大的圓形桌面,他設(shè)計了四種方案:方案一:直接鋸一個半徑最大的圓;方案二:圓心O1,O2分別在CD,AB上,半徑分別是O1C,O2A,鋸兩個外切的半圓拼成一個圓;方案三:沿對角線AC將矩形鋸成兩個三角形,適當(dāng)平移三角形并鋸一個最大的圓;方案四:鋸一塊小矩形BCEF拼到矩形AFED下面,利用拼成的木板鋸一個盡可能大的圓.(1)寫出方案一中圓的半徑.(2)通過計算說明方案二和方案三中,哪個圓的半徑較大?(3)在方案四中,設(shè)CE=x(0x1),圓的半徑為y.求y關(guān)于x的函數(shù)表達式;當(dāng)x取何值時圓的半徑最大,最大半徑為多少?并說明四種方案中哪一個圓形桌面的半徑最大.方案一方案二方案三方案四方案

14、備用圖方案備用圖(第3題)【小結(jié)】 本題考查了圓的基本性質(zhì)及通過勾股定理、三角形相似等性質(zhì)求解邊長及分段函數(shù)的表示與性質(zhì)討論等內(nèi)容,題目雖看似新穎不易找到思路,但仔細觀察每一小問都是常規(guī)的基礎(chǔ)考點,所以總體來說是一道質(zhì)量很高的題目,值得認真練習(xí).類型一2. (2015浙江嘉興)如圖,點C在以AB為直徑的半圓上,AB=8,CBA=30,點D在線段AB上運動,點E與點D關(guān)于AC對稱,DFDE于點D,并交EC的延長線于點F.下列結(jié)論:CE=CF;線段EF的最小值為2;當(dāng)AD=2時,EF與半圓相切;若點F恰好落在上,則AD=2;當(dāng)點D從點A運動到點B時,線段EF掃過的面積是16.其中正確結(jié)論的序號是.

15、(第2題)類型二3. (2015廣東珠海)如圖,在正方形ABCD中,點E在邊AD上,點F在邊BC的延長線上,連接EF與邊CD相交于點G,連接BE與對角線AC相交于點H,AE=CF,BE=EG.(1)求證:EFAC;(2)求BEF大小;.(第3題)4. (2015浙江溫州)如圖,在平面直角坐標系中,點A,B的坐標分別為(-3,0),(0,6).動點P從點O出發(fā),沿x軸正方向以每秒1個單位的速度運動,同時動點C從B出發(fā),沿射線BO方向以每秒2個單位的速度運動,以CP,CO為鄰邊構(gòu)造PCOD,在線段OP延長線上取點E,使PE=AO,設(shè)點P運動的時間為t秒.(1)當(dāng)點C運動到線段OB的中點時,求t的值

16、及點E的坐標.(2)當(dāng)點C在線段OB上時,求證:四邊形ADEC為平行四邊形.(3)在線段PE上取點F,使PF=1,過點F作MNPE,截取FM=2,FN=1,且點M,N分別在一,四象限,在運動過程中PCOD的面積為S.當(dāng)點M,N中有一點落在四邊形ADEC的邊上時,求出所有滿足條件的t的值;若點M,N中恰好只有一個點落在四邊形ADEC的內(nèi)部(不包括邊界)時,直接寫出S的取值范圍.(第4題)類型三5. (2015湖南懷化)如圖,E是長方形ABCD的邊AB上的點,EFDE交BC于點F.(1)求證:ADEBEF;(2)設(shè)H是ED上一點,以EH為直徑作O,DF與O相切于點G,若DH=OH=3,求圖中陰影部

17、分的面積(結(jié)果保留到小數(shù)點后面第一位,1.73,3.14).(第5題)6. (2015黑龍江大慶)如圖(1),已知等腰梯形ABCD的周長為48,面積為S,ABCD,ADC=60,設(shè)AB=3x.(1)用x表示AD和CD;(2)用x表示S,并求S的最大值;(3)如圖(2),當(dāng)S取最大值時,等腰梯形ABCD的四個頂點都在O上,點E和點F分別是AB和CD的中點,求O的半徑R的值.(1)(2)(第6題)參考答案【真題精講】 (2)如圖(1),過P作PMBC于點M,AQ,CP交于點N,則有PB=5t,PM=3t,MC=8-4t,(第1題(1)NAC+NCA=90,PCM+NCA=90,NAC=PCM且AC

18、Q=PMC=90.ACQCMP. (3)如圖(2),仍有PMBC于點M,PQ的中點設(shè)為點D,再作PEAC于點E,DFAC于點F,(第1題(2)ACB=90,DF為梯形PECQ的中位線.BC=8,過BC的中點R作直線平行于AC,RC=DF=4成立.D在過R的中位線上.PQ的中點在ABC的一條中位線上.2. (1)AE=DF,AEDF.理由:四邊形ABCD是正方形,AD=DC,ADC=C=90.DE=CF,ADEDCF.AE=DF,DAE=CDF.由于CDF+ADF=90.DAE+ADF=90.AEDF;(2)是.(3)成立.理由如下:由(1)同理可證AE=DF,DAE=CDF,如圖(1),延長F

19、D交AE于點G,(第2題(1)則CDF+ADG=90,ADG+DAE=90.AEDF;(4)如圖(2):(第2題(2)由于點P在運動中保持APD=90,點P的路徑是一段以AD為直徑的弧,設(shè)AD的中點為O,連接OC交弧于點P,此時CP的長度最小,在RtODC中,OC=,CP=OC-OP=-1.3. (1)方案一中的最大半徑為1.分析如下:因為長方形的長寬分別為3,2,那么直接取圓直徑最大為2,則半徑最大為1.(2)如圖(1),方案二中連接O1,O2,過O1作O1EAB于E,方案三中,過點O分別作AB,BF的垂線,交于M,N,此時M,N恰為O與AB,BF的切點.方案二方案三(第3題)方案二:設(shè)半徑

20、為r.在RtO1O2E中,O1O2=2r,O1E=BC=2,O2E=AB-AO1-CO2=3-2r,(2r)2=22+(3-2r)2,比較知,方案三半徑較大.(3)EC=x,新拼圖形水平方向跨度為3-x,豎直方向跨度為2+x.類似題(1),所截出圓的直徑最大為3-x或2+x較小的.方案四時可取的圓桌面積最大.【課后精練】1. 解析:AB=AC,B=C.ADE=B,ADE=C.ADEACD.故結(jié)論正確.故正確.易證得CDEBAD,由可知BC=16,設(shè)BD=y,CE=x,整理,得y2-16y+64=64-10x,即(y-8)2=64-10x,0y8,0x6.4.故正確.2. 解析:連接CD,如圖(

21、1)所示.(第2題(1)點E與點D關(guān)于AC對稱,CE=CD.E=CDE.DFDE,EDF=90.E+F=90,CDE+CDF=90.F=CDF.CD=CF.CE=CD=CF.結(jié)論“CE=CF”正確.當(dāng)CDAB時,如圖(2)所示.(第2題(2)AB是半圓的直徑,ACB=90.AB=8,CBA=30,CAB=60,AC=4,BC=4.CDAB,CBA=30,根據(jù)“點到直線之間,垂線段最短”可得:點D在線段AB上運動時,CD的最小值為2.CE=CD=CF,EF=2CD.線段EF的最小值為4.結(jié)論“線段EF的最小值為2”錯誤.當(dāng)AD=2時,連接OC,如圖(3)所示.(第2題(3)OA=OC,CAB=6

22、0,OAC是等邊三角形.CA=CO,ACO=60.AO=4,AD=2,DO=2.AD=DO.ACD=OCD=30.點E與點D關(guān)于AC對稱,ECA=DCA.ECA=30.ECO=90.OCEF.EF經(jīng)過半徑OC的外端,且OCEF,EF與半圓相切.結(jié)論“EF與半圓相切”正確.當(dāng)點F恰好落在上時,連接FB,AF,如圖(4)所示.(第2題(4)點E與點D關(guān)于AC對稱,EDAC.AGD=90.AGD=ACB.EDBC.FHCFDE.DB=4.AD=AB-DB=4.結(jié)論“AD=2”錯誤.點D與點E關(guān)于AC對稱,點D與點F關(guān)于BC對稱,當(dāng)點D從點A運動到點B時,點E的運動路徑AM與AB關(guān)于AC對稱,點F的運

23、動路徑NB與AB關(guān)于BC對稱.EF掃過的圖形就是圖(5)中陰影部分.(第2題(5)EF掃過的面積為16.結(jié)論“EF掃過的面積為16”正確.3. (1)四邊形ABCD是正方形,ADBF.AE=CF,四邊形ACFE是平行四邊形.EFAC.(2)連接BG,(第3題)EFAC,F=ACB=45.GCF=90,CGF=F=45.CG=CF.AE=CF,AE=CG.在BAE與BCG中,BAEBCG(SAS).BE=BG.BE=EG,BEG是等邊三角形.BEF=60.(3)BAEBCG,ABE=CBG.BAC=F=45,AHBFGB. (2)如圖(1),連接CD交OP于點G,(第4題(1)在PCOD中,CG=DG,OG=PG,AO=PO,AG=EG.四邊形ADEC是平行四邊形.(3)()當(dāng)點C在BO上時,第一種情況:如圖(2),當(dāng)