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文檔簡介
1、二次函數(shù)小結,賀勝中學初三數(shù)學組,二次函數(shù)知識結構框架圖,二次函數(shù),二次函數(shù)概念,二次函數(shù)的圖象和性質,用二次函數(shù)解決實際問題,一元二次方程與二次函數(shù)的關系,一. 二次函數(shù)的定義,思索歸納,定義:一般地,形如y=ax+bx+c(a,b,c是常數(shù),a 0)的函數(shù)叫做x的二次函數(shù).,提示: (1)關于x的代數(shù)式一定是整式,a,b,c為常數(shù),且 a0.,(2)等式的右邊最高次數(shù)為2,可以沒有一次項 和常數(shù)項,但不能沒有二次項.,下列函數(shù)中,哪些是二次函數(shù)?,怎么判斷?,(1)y=3(x-1)+1;,(3) s=3-2t.,(5)y=(x+3)-x.,隨堂練習,(是),(是),(不是),(不是),(不
2、是),二. 二次函數(shù)的圖象及性質,當a0時開口向上,當a0時開口向下,(0,0),(0,c),(h,0),(h,k),直線,y軸,直線,直線,在對稱軸左側,y隨x的增大而減小,在對稱軸右側,y隨x的增大而增大,在對稱軸左側,y隨x的增大而增大,在對稱軸右側,y隨x的增大而減小,y軸,知識回顧,三. 二次函數(shù)平移規(guī)律:,上加下減,左加右減,左加右減,上加下減,簡記:左加右減 , 上加下減,1、已知拋物線y=-2(x+1)2-3,如果y隨x的增大而 減小,那么x的取值范圍是_ 2、把二次函數(shù)y=x2-2x-1配方成頂點式為_ 當x=_時,y有最_值是_ 3、拋物線y=3(x-2)2+4的圖像可以由
3、拋物線y=3x2 的圖像_得到,它的頂點坐標 是_,對稱軸是_,x-1,y=(x-1)2-2,-2,1,小,平移,(2,4),x=2,隨堂練習,4、把拋物線y=x2+bx+c的圖象向右平移3個單位,再向下平移2個單位,所得圖象的解析式是y=x23x+5,則有( ) (A)b=3,c=7 (B)b=9,c=15, (C)b=3,c=3, (D)b=9,c=21 5、如圖,拋物線頂點坐標是P(1,3), 則函數(shù)y隨自變量x的增大而減小的x的 取值范圍是( ) A、x3 B、x3 C、x1 D、x1,A,C,思考,我們學習拋物線的性質主要是為了解決實際問題,針對不同的問題,你學過了哪些方法呢?,四、
4、二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)的系數(shù)a,b,c,與 拋物線的關系,a決定開口方向:a時開口向上, a時開口向下,a、b同時決定對稱軸位置:a、b同號時對稱軸在y軸左側 a、b異號時對稱軸在y軸右側 b時對稱軸是y軸,c決定拋物線與y軸的交點:c時拋物線交于y軸的正半軸 c時拋物線過原點 c時拋物線交于y軸的負半軸,決定拋物線與x軸的交點:時拋物線與x軸有兩個交點 時拋物線與x軸有一個交點 時拋物線于x軸沒有交點,8,1. 如圖,拋物線y=ax2+bx+c,請判斷下列各式的符號: a 0; c 0; b2 - 4ac 0; b 0;,x,y,O,變式1:若拋物線 的圖象如圖,則a= .,變
5、式2:若拋物線 的圖象如圖,則ABC的面積是 。,小結:a 決定開口方向,c決定與y軸交點位置, b2 - 4ac決定與x軸交點個數(shù),a,b結合決定對稱軸;,隨堂練習,3、如圖,拋物線y=ax2+bx+c ,請判斷下列各式的符號: abc 0; 2ab 0; a+b+c 0; ab+c 0,2、如圖,拋物線y=ax2+bx+c,請判斷下列各式的符號: a 0; b 0; c 0; b2 - 4ac 0;,2、已知拋物線頂點坐標(h, k),通常設拋物線解析式為_,3、已知拋物線與x 軸的兩個交點(x1,0)、 (x2,0),通常設解析式為_,1、已知拋物線上的三點,通常設解析式為_,y=ax2
6、+bx+c(a0),y=a(x-h)2+k(a0),y=a(x-x1)(x-x2) (a0),五. 求拋物線解析式常用的三種方法,一般式,頂點式,交點式或兩根式,怎樣把一般式化成頂點式?,1.提取:提取二次項系數(shù),2.配方:加上再減去一次項系數(shù)絕對值一半的平方,3.整理:前三項化為平方形式,后兩項合并同類項,4.化簡:去掉中括號,(2)拋物線頂點為M(1,2)且過點N(2,1),根據(jù)下列已知條件,求二次函數(shù)的解式:,(1)拋物線過點(0,2),(1,1),(3,5),(3)已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(1,0),(3,0),(0,6)求二次函數(shù)的解析式。,(5)拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(0,
7、0)與(12,0), 最高點的縱坐標是3,求這條拋物線的解析式,(4) 拋物線與x軸交點是(3,0),對稱軸是 x=1,過點(4,-5),隨堂練習,一 實際問題,抽象,轉化,數(shù)學問題,數(shù)學知識,運用,(并根據(jù)自變量的實際意義,確定自變量的取值范圍;),二 解題步驟:,1、分析題意,把實際問題轉化為數(shù)學問題,畫出圖形。,2、根據(jù)已知條件建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼怠?3、選用適當?shù)慕馕鍪角蠼狻?4、根據(jù)二次函數(shù)的解析式解決具體的實際問題。,(在自變量的取值范圍內,運用公式法或通過配方 求出二次函數(shù)的最大值或最小值。),解決問題,六. 用二次函數(shù)解決實際問題的方法和步驟,七. 解決幾何中的函數(shù)問題的一
8、般思路:,1. 找出幾何圖形中的關系(線段的數(shù)量關系和位置關系,三角形的全等關系等),3. 把圖形中的線段長度轉化為平面內對應的點的坐標。(要注意點的坐標的符號在各個象限的區(qū)別),4.根據(jù)題意把實際問題轉化函數(shù)問題,建立兩個變量之間的函數(shù)關系式,并化簡。,5.由函數(shù)的性質或根據(jù)圖象求出函數(shù)問題的解。(注意自變量的取值范圍),6.根據(jù)(5)中的答案回答問題。,2.建立恰當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼怠?例:,施工隊要修建一個橫斷面為拋物線的公路隧道,其高度為6米,寬度OM=12米,現(xiàn)以O點為原點,OM所在直線為x軸建立平面直角坐標系,如圖所示,(1)直接寫出點M及拋物線頂點P的坐標 (2)求出這條拋物線的函
9、數(shù)關系式 (3)施工隊計劃在隧道門口搭建一個矩形“腳手架”ABCD,使A、D兩點在拋物線上,B、C兩點在地面OM上,為了籌備材料,需求出“腳手架”三根木桿AB、AD、DC的長度之和的最大值是多少?請你幫忙計算一下.,解:(1)點M的坐標是(12,0),點P的坐標是(6,6),(2)設此拋物線解析式為y=a(x-6)2+6,又因為它經(jīng)過(0,0),則0=a(0-6)2+6,例:,施工隊要修建一個橫斷面為拋物線的公路隧道,其高度為6米,寬度OM=12米,現(xiàn)以O點為原點,OM所在直線為x軸建立平面直角坐標系,如圖所示,(1)直接寫出點M及拋物線頂點P的坐標 (2)求出這條拋物線的函數(shù)關系式 (3)施
10、工隊計劃在隧道門口搭建一個矩形“腳手架”ABCD,使A、D兩點在拋物線上,B、C兩點在地面OM上,為了籌備材料,需求出“腳手架”三根木桿AB、AD、DC的長度之和的最大值是多少?請你幫忙計算一下.,(3)設點A的橫坐標為m,則點A的縱坐標是,AD=BC=12-2m,AB=CD=,AB+AD+DC=,當m=3時,即OB=3米時,3根木桿長度之和的最大值為15米.,變式練習. 施工隊要修建一個橫斷面為拋物線的公路隧道,其高度為6米,寬度OM=12米,現(xiàn)以O點為原點,OM所在直線為x軸建立平面直角坐標系,如圖所示,y,x,o,P,B,C,A,D,M,如果現(xiàn)有一輛寬4米,高4米的卡車準備要通過這個隧道
11、,問它能順利通過嗎?,解:當x=4時,即當這個隧道在中心兩旁4米寬時的頂?shù)母叨冗_到了5米多, 而車的高度只有4米,所以這兩卡車能順利通過.,隨堂練習,19,1.在拋物線y= -x2+2x+3上是否存在點P(點C除外),使ABP面積等于ABC面積?,解:假設存在滿足條件的點P, 則作PQx軸 SABp = SABC, ABPQ/2= ABOC/2, PQ=CO=3, |y|=3,, 3= -x2+2x+3, x1=0,x2=2 。 p(2,3),或-3= -x2+2x+3, x2_2x-6=0 x=17,p(1+7,-3),p(1-7 ,-3),x,y,0,3,B,-1,C,3,P,Q,A,隨堂
12、練習,2. 已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸正、負半軸分別交于A、B兩點,與y軸負半軸交于點C。若OA=4,OB=1,ACB=90,求拋物線解析式。,解:, 點A在正半軸,點B在負半軸,OA=4, OB=1,點A(4,0),點B(-1,0),又 ACB=90,點C(0,-2),拋物線與x軸交點坐標是(4,0)(-1,0),可設這個二次函數(shù)解析式為y=a(x-4)(x+1),又圖像經(jīng)過點C(0,-2), -2= a (0-4)(0+1),BOC=90,AOC=90,BC2=OB2+OC2,AC2=OA2+OC2,AB2=BC2+AC2,AB2=2OC2+OA2+OB2,解得 OC=2,3.某
13、工廠生產(chǎn)一種新型產(chǎn)品,產(chǎn)品按質量分為8個檔次。若工時不變,每天生產(chǎn)最低檔次產(chǎn)品60件,每件產(chǎn)品利潤8元;若要提高生產(chǎn)產(chǎn)品的檔次,則每提高提高一個檔次,每件利潤可增加2元,但每天要少生產(chǎn)3件。,(1)生產(chǎn)哪一檔次產(chǎn)品的利潤最大?最大利潤是多少元?,(2)生產(chǎn)哪一檔次的產(chǎn)品,每天的利潤恰為810元?生產(chǎn)產(chǎn)品的檔次在什么范圍內,每天的利潤不低于810元?,解:,(1)設生產(chǎn)第x檔產(chǎn)品時,每天所獲利潤為y元,則,y=8+2(x-1)60-3(x-1),1x 8 且x為整數(shù),=-6x2+108x+378,=-6(x-9)2+864, a=-60,當x=9時,y有最大值864。, 1x 8 ,x為整數(shù),x9時,y隨x的增大而增大,當x=8時,y有最大值858。,(2)生產(chǎn)哪一檔次的產(chǎn)品,每天的利潤恰為810元?生產(chǎn)產(chǎn)品的檔次在什么范圍內
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