線性代數(shù)數(shù)學(xué)建模案例.ppt

1、線性代數(shù)數(shù)學(xué)建模案例,網(wǎng)絡(luò)流模型廣泛應(yīng)用于交通、運(yùn)輸、通訊、電力分配、城市規(guī)劃、任務(wù)分派以及計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)等眾多領(lǐng)域。當(dāng)科學(xué)家、工程師和經(jīng)濟(jì)學(xué)家研究某種網(wǎng)絡(luò)中的流量問(wèn)題時(shí),線性方程組就自然產(chǎn)生了,例如,城市規(guī)劃設(shè)計(jì)人員和交通工程師監(jiān)控城市道路網(wǎng)格內(nèi)的交通流量,電氣工程師計(jì)算電路中流經(jīng)的電流,經(jīng)濟(jì)學(xué)家分析產(chǎn)品通過(guò)批發(fā)商和零售商網(wǎng)絡(luò)從生產(chǎn)者到消費(fèi)者的分配等. 大多數(shù)網(wǎng)絡(luò)流模型中的方程組都包含了數(shù)百甚至上千未知量和線性方程。,一、網(wǎng)絡(luò)流模型,一個(gè)網(wǎng)絡(luò)由一個(gè)點(diǎn)集以及連接部分或全部點(diǎn)的直線或弧線構(gòu)成。 網(wǎng)絡(luò)中的點(diǎn)稱作聯(lián)結(jié)點(diǎn)(或節(jié)點(diǎn))，網(wǎng)絡(luò)中的連接線稱作分支. 每一分支中的流量方向已經(jīng)指定，并且流量(或流

2、速)已知或者已標(biāo)為變量。,網(wǎng)絡(luò)流的基本假設(shè)是（1）網(wǎng)絡(luò)中流入與流出的總量相等；（2）每個(gè)節(jié)點(diǎn)上流入和流出的總量也相等。例如，上面兩圖（a）、（b）。 流量在每個(gè)節(jié)點(diǎn)守恒。 在類似的網(wǎng)絡(luò)模式中，每個(gè)結(jié)點(diǎn)的流量都可以用一個(gè)線性方程來(lái)表示。 網(wǎng)絡(luò)分析要解決的問(wèn)題是：在部分信息(如網(wǎng)絡(luò)的輸入量)已知的情況下，確定每一分支中的流量。,城市道路網(wǎng)中每條道路、每個(gè)交叉路口的車流量調(diào)查，是分析、評(píng)價(jià)及改善城市交通狀況的基礎(chǔ)。根據(jù)實(shí)際車流量信息可以設(shè)計(jì)流量控制方案，必要時(shí)設(shè)置單行線，以免大量車輛長(zhǎng)時(shí)間擁堵。,案例1 交通網(wǎng)絡(luò)流量分析問(wèn)題,下圖為某城市的局部單行示意圖,【問(wèn)題描述】： 某城市單行線如下圖所示, 其

3、中的數(shù)字表示該路段每小時(shí)按箭頭方向行駛的車流量(單位: 輛).,X4,圖3 某城市單行線車流量示意圖,現(xiàn)在需要解決的問(wèn)題如下： （1） 建立確定每條道路流量的線性方程組. （2） 為了唯一確定未知流量, 還需要增添哪幾條道路的流量統(tǒng)計(jì)? （3） 當(dāng)x4 = 350時(shí), 確定x1, x2, x3的值. （4） 若x4 = 200, 則單行線應(yīng)該如何改動(dòng)才合理? 。,【模型假設(shè)】： （1） 每條道路都是單行線 （2） 每個(gè)交叉路口進(jìn)入和離開(kāi)的車輛數(shù)目相等. 【模型建立】 根據(jù)圖3和上述假設(shè), 在, , , 四個(gè)路口進(jìn)出車輛數(shù)目分別滿足： 500 = x1 + x2 400 + x1 = x4 +

4、300 x2 + x3 = 100 + 200 x4 = x3 + 300 ,【模型求解】根據(jù)上述等式可得如下線性方程組。,其增廣矩陣,(A, b) =,由此可得,即：,為了唯一確定未知流量, 只要增添x4統(tǒng)計(jì)的值即可. 當(dāng)x4 = 350時(shí), 確定x1 = 250, x2 = 250, x3 = 50. 若x4 = 200, 則x1 = 100, x2 = 400, x3 = 100 0. 這表明單行線“”應(yīng)該改為“”才合理。 【模型分析】 （1） 由(A, b)的行最簡(jiǎn)形可見(jiàn), 上述方程組中的最后一個(gè)方程是多余的. 這意味著最后一個(gè)方程中的數(shù)據(jù)“300”可以不用統(tǒng)計(jì). （2）由 可得,就是

5、說(shuō)x1, x2, x3, x4這四個(gè)未知量中, 任意一個(gè)未知量的值統(tǒng)計(jì)出來(lái)之后都可以確定出其他三個(gè)未知量的值。,Matlab練習(xí)題 某城市有下圖所示的交通圖, 每條道路都是單行線, 需要調(diào)查每條道路每小時(shí)的車流量. 圖中的數(shù)字表示該條路段的車流數(shù). 如果每個(gè)交叉路口進(jìn)入和離開(kāi)的車數(shù)相等, 整個(gè)圖中進(jìn)入和離開(kāi)的車數(shù)相等。 現(xiàn)在需要解決如下問(wèn)題： （1）建立確定每條道路流量的線性方程組。 （2）分析哪些流量數(shù)據(jù)是多余的。 （3）為了唯一確定未知流量, 需要增添哪幾條道路的流量統(tǒng)計(jì) 。,圖 某城市單行線車流量,在化工、醫(yī)藥、日常膳食等方面都經(jīng)常涉及到配方問(wèn)題. 在不考慮各種成分之間可能發(fā)生某些化學(xué)反

6、應(yīng)時(shí), 配方問(wèn)題可以用向量和線性方程組來(lái)建模，,案例2 配方問(wèn)題,圖5 日常膳食搭配 圖6 幾種常見(jiàn)的作料,【模型準(zhǔn)備】： 一種佐料由四種原料A、B、C、D混合而成. 這種佐料現(xiàn)有兩種規(guī)格, 這兩種規(guī)格的佐料中, 四種原料的比例分別為2:3:1:1和1:2:1:2. 現(xiàn)在需要四種原料的比例為4:7:3:5的第三種規(guī)格的佐料. 問(wèn): 第三種規(guī)格的佐料能否由前兩種規(guī)格的佐料按一定比例配制而成?,【模型假設(shè)】 （1） 假設(shè)四種原料混合在一起時(shí)不發(fā)生化學(xué)變化； （2） 假設(shè)四種原料的比例是按重量計(jì)算的。 （3） 假設(shè)前兩種規(guī)格的佐料分裝成袋, 比如說(shuō)第一種規(guī)格的佐料每袋凈重7克(其中A、B、C、D四種

7、原料分別為2克, 3克, 1克, 1克), 第二種規(guī)格的佐料每袋凈重6克(其中A、B、C、D四種原料分別為1克, 2克, 1克, 2克).,【模型建立】 根據(jù)已知數(shù)據(jù)和上述假設(shè), 可以進(jìn)一步假設(shè)將x袋第一種規(guī)格的佐料與y袋第二種規(guī)格的佐料混合在一起, 得到的混合物中A、B、C、D四種原料分別為4克, 7克, 3克, 5克, 則有以下線性方程組： 其解為：,【模型分析】 若令1 = (2, 3, 1, 1)T, 2 = (1, 2, 1, 1)T, = (4, 7, 5, 3)T, 則原問(wèn)題等價(jià)于“線性方程組Ax = b是否有解”, 也等價(jià)于“能否由1, 2線性表示”。 若四種原料的比例是按體積

8、計(jì)算的, 則還要考慮混合前后體積的關(guān)系(未必是簡(jiǎn)單的疊加), 因而最好還是先根據(jù)具體情況將體積比轉(zhuǎn)換為重量比, 然后再按上述方法處理. 上面的模型假設(shè)中的第三個(gè)假設(shè)只是起到簡(jiǎn)化運(yùn)算的作用. 如果直接設(shè)x克第一種規(guī)格的佐料與y克第二種規(guī)格的佐料混合得第三種規(guī)格的佐料, 則有下表,Matlab實(shí)驗(yàn)題 蛋白質(zhì)、碳水化合物和脂肪是人體每日必須的三種營(yíng)養(yǎng), 但過(guò)量的脂肪攝入不利于健康.人們可以通過(guò)適量的運(yùn)動(dòng)來(lái)消耗多余的脂肪. 設(shè)三種食物(脫脂牛奶、大豆面粉、乳清)每100克中蛋白質(zhì)、碳水化合物和脂肪的含量以及慢跑5分鐘消耗蛋白質(zhì)、碳水化合物和脂肪的量如下表。 問(wèn)怎樣安排飲食和運(yùn)動(dòng)才能實(shí)現(xiàn)每日的營(yíng)養(yǎng)需求?

9、,在研究多個(gè)經(jīng)濟(jì)部門之間的投入產(chǎn)出關(guān)系時(shí), W. Leontief提出了投入產(chǎn)出模型. 這為經(jīng)濟(jì)學(xué)研究提供了強(qiáng)有力的手段. W. Leontief因此獲得了1973年的Nobel經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。,三 、 投入產(chǎn)出模型,圖 三個(gè)經(jīng)濟(jì)部門,【模型準(zhǔn)備】 某地有一座煤礦, 一個(gè)發(fā)電廠和一條鐵路. 經(jīng)成本核算, 每生產(chǎn)價(jià)值1元錢的煤需消耗0.3元的電; 為了把這1元錢的煤運(yùn)出去需花費(fèi)0.2元的運(yùn)費(fèi); 每生產(chǎn)1元的電需0.6元的煤作燃料; 為了運(yùn)行電廠的輔助設(shè)備需消耗本身0.1元的電, 還需要花費(fèi)0.1元的運(yùn)費(fèi); 作為鐵路局, 每提供1元運(yùn)費(fèi)的運(yùn)輸需消耗0.5元的煤, 輔助設(shè)備要消耗0.1元的電. 現(xiàn)煤礦接到

10、外地6萬(wàn)元煤的訂貨, 電廠有10萬(wàn)元電的外地需求, 問(wèn): 煤礦和電廠各生產(chǎn)多少才能滿足需求? 【模型假設(shè)】假設(shè)不考慮價(jià)格變動(dòng)等其他因素.,【模型建立】設(shè)煤礦, 電廠, 鐵路分別產(chǎn)出x元, y元, z元?jiǎng)偤脻M足需求. 則有下表,根據(jù)需求, 應(yīng)該有：,即：,【模型求解】在Matlab命令窗口輸入以下命令 A = 1,-0.6,-0.5;-0.3,0.9,-0.1;-0.2,-0.1,1; b = 60000;100000;0; x = Ab Matlab執(zhí)行后得 x = 1.0e+005 * 1.9966 1.8415 0.5835 可見(jiàn)煤礦要生產(chǎn)199660元的煤, 電廠要生產(chǎn)184150元的電

11、恰好滿足需求.,Matlab實(shí)驗(yàn)題 某鄉(xiāng)鎮(zhèn)有甲、乙、丙三個(gè)企業(yè). 甲企業(yè)每生產(chǎn)1元的產(chǎn)品要消耗0.25元乙企業(yè)的產(chǎn)品和0.25元丙企業(yè)的產(chǎn)品. 乙企業(yè)每生產(chǎn)1元的產(chǎn)品要消耗0.65元甲企業(yè)的產(chǎn)品, 0.05元自產(chǎn)的產(chǎn)品和0.05元丙企業(yè)的產(chǎn)品. 丙企業(yè)每生產(chǎn)1元的產(chǎn)品要消耗0.5元甲企業(yè)的產(chǎn)品和0.1元乙企業(yè)的產(chǎn)品. 在一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi), 甲、乙、丙三個(gè)企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品價(jià)值分別為100萬(wàn)元, 120萬(wàn)元, 60萬(wàn)元, 同時(shí)各自的固定資產(chǎn)折舊分別為20萬(wàn)元, 5萬(wàn)元和5萬(wàn)元. (1) 求一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)這三個(gè)企業(yè)扣除消耗和折舊后的新創(chuàng)價(jià)值. (2) 如果這三個(gè)企業(yè)接到外來(lái)訂單分別為50萬(wàn)元, 60萬(wàn)元

12、, 40萬(wàn)元, 那么他們各生產(chǎn)多少才能滿足需求?,相關(guān)內(nèi)容見(jiàn)線性代數(shù)課件的第3.7節(jié)的“人口遷移模型”，以及4.5節(jié)的“離散動(dòng)態(tài)系統(tǒng)模型”。 除了上述例子，現(xiàn)實(shí)生活中還有很多，可以通過(guò)建立形如 的差分方程的例子。,四、線性差分方程建模及求解,【模型準(zhǔn)備】 某試驗(yàn)性生產(chǎn)線每年一月份進(jìn)行熟練工與非熟練工的人數(shù)統(tǒng)計(jì)， 然后將熟練工支援其他生產(chǎn)部門, 其缺額由招收新的非熟練工補(bǔ)齊。 新、老非熟練工經(jīng)過(guò)培訓(xùn)及實(shí)踐至年終考核有成為熟練工. 假設(shè)第一年一月份統(tǒng)計(jì)的熟練工和非熟練工各占一半， 求以后每年一月份統(tǒng)計(jì)的熟練工和非熟練工所占百分比。,案例四 人員流動(dòng)問(wèn)題,【模型準(zhǔn)備】金融機(jī)構(gòu)為保證現(xiàn)金充分支付, 設(shè)

13、立一筆總額5400萬(wàn)的基金, 分開(kāi)放置在位于A城和B城的兩家公司, 基金在平時(shí)可以使用, 但每周末結(jié)算時(shí)必須確?？傤~仍然為5400萬(wàn). 經(jīng)過(guò)相當(dāng)長(zhǎng)的一段時(shí)期的現(xiàn)金流動(dòng), 發(fā)現(xiàn)每過(guò)一周, 各公司的支付基金在流通過(guò)程中多數(shù)還留在自己的公司內(nèi), 而A城公司有10%支付基金流動(dòng)到B城公司, B城公司則有12%支付基金流動(dòng)到A城公司. 起初A城公司基金為2600萬(wàn), B城公司基金為2800萬(wàn). 按此規(guī)律, 兩公司支付基金數(shù)額變化趨勢(shì)如何? 如果金融專家認(rèn)為每個(gè)公司的支付基金不能少于2200萬(wàn), 那么是否需要在必要時(shí)調(diào)動(dòng)基金?,案例五 金融公司支付基金的流動(dòng),在Matlab命令窗口輸入以下命令 syms

14、k %定義符號(hào)變量 P*1,0;0,0.78(k+1)*P(-1)*2600;2800 Matlab執(zhí)行后得 ans = 32400/11-3800/11*(39/50)(k+1) 27000/11+3800/11*(39/50)(k+1),【模型準(zhǔn)備】設(shè)有A, B, C三個(gè)政黨參加每次的選舉, 每次參加投票的選民人數(shù)保持不變. 通常情況下, 由于社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、各黨的政治主張等多種因素的影響, 原來(lái)投某黨票的選民可能改投其他政黨 。,案例六 選舉問(wèn)題,【模型假設(shè)】 （1）參與投票的選民不變, 而且沒(méi)有棄權(quán)票 ； （2）每次投A黨票的選民, 下次投票時(shí), 分別有 比例的選民投A, B, C政黨的票; 每次投B黨票的選民, 下次