chap7非線性控制系統(tǒng)mtd1.ppt

1、自動(dòng)控制原理（2）,授課教師：馬鐵東 單 位：重慶大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院 Email: ,2,第七章 非線性控制系統(tǒng),7.1 概述,7.3 相平面圖的繪制,7.2 相平面法的基本概念,7.4 非線性系統(tǒng)的相平面分析,7.5 描述函數(shù)法,7.1 概述,1. 非線性控制系統(tǒng)的定義及分類,2. 典型的非線性特性,3. 非線性控制系統(tǒng)的特點(diǎn),4. 研究非線性控制系統(tǒng)的方法,7.1 概述,1. 非線性控制系統(tǒng)的定義及分類,1) 為什么研究非線性控制系統(tǒng)？,對(duì)于不能進(jìn)行線性化處理的系統(tǒng)，必須考慮其非線性本質(zhì)才能得到符合實(shí)際的結(jié)果。,2) 定義,如果一個(gè)控制系統(tǒng)中含有一個(gè)或一個(gè)以上的非線性環(huán)節(jié)，則稱這樣的系統(tǒng)為非線

2、性控制系統(tǒng)。,5,7.1 概述,1. 非線性控制系統(tǒng)的定義及分類,3) 分類,非線性特性,線性化系統(tǒng),客觀非線性,人為非線性,非本質(zhì)非線性,本質(zhì)非線性,非線性系統(tǒng),非本質(zhì)非線性：能夠用小偏差線性化方法進(jìn)行線性化處理的非線性。,本質(zhì)非線性：用小偏差線性化方法不能解決的非線性。,4) 非線性的特性,7.1 概述,2. 典型的非線性特性,1) 飽和特性,2) 死區(qū)特性,3) 間隙特性(滯環(huán)特性),5) 繼電器特性,4) 變放大系數(shù)特性,7.1 概述,1) 飽和特性,符號(hào)函數(shù)(開關(guān)函數(shù)),飽和特性的影響：如運(yùn)算放大器。在控制系統(tǒng)中有飽和特性存在時(shí)，將使系統(tǒng)在大信號(hào)作用下的放大倍數(shù)降低，從而引起系統(tǒng)的靈

3、敏度降低和過渡過程時(shí)間增長。,數(shù)學(xué)表達(dá)式,7.1 概述,2) 死區(qū)特性,死區(qū)特性的影響：如測(cè)量元件的不靈敏區(qū)、伺服電機(jī)的死區(qū)電壓。在控制系統(tǒng)中有死區(qū)特性存在時(shí)，將使系統(tǒng)的靜態(tài)誤差增加。,數(shù)學(xué)表達(dá)式,7.1 概述,3) 間隙特性(滯環(huán)特性),間隙特性的影響：如齒輪傳動(dòng)的齒輪間隙特性、液壓傳動(dòng)中的油隙。在控制系統(tǒng)中有間隙特性存在時(shí)，將使系統(tǒng)的輸出信號(hào)在相位上產(chǎn)生滯后，從而使系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)裕度減小，動(dòng)態(tài)品質(zhì)變壞。,7.1 概述,4) 變放大系數(shù)特性,變放大系數(shù)特性的影響：如變?cè)鲆娣糯笃?。在控制系統(tǒng)中有變放大系數(shù)特性存在時(shí)，使系統(tǒng)在大誤差時(shí)具有較大的放大系數(shù)，從而使系統(tǒng)的響應(yīng)迅速；而在小誤差時(shí)，系統(tǒng)具有較

4、小的放大系數(shù)，使系統(tǒng)的響應(yīng)既緩且穩(wěn)。具有這種特性的系統(tǒng)，其動(dòng)態(tài)品質(zhì)較好。,7.1 概述,5) 繼電器特性,繼電器特性的影響：繼電特性能夠使控制系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)快速控制，但也可能存在類似于死區(qū)、滯環(huán)或飽和非線性的一些缺點(diǎn)。,7.1 概述,a=0,m=-1,m=1,a0,幾種繼電器特性,7.1 概述,3. 非線性控制系統(tǒng)的特點(diǎn),1) 系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程 運(yùn)動(dòng)方程是非線性微分方程，動(dòng)態(tài)響應(yīng)不滿足疊加原理。,2) 系統(tǒng)的穩(wěn)定性 非線性系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過程與穩(wěn)定性除了與系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)外，還與外加輸入信號(hào)和初始條件有關(guān)。,3) 自激振蕩 可能產(chǎn)生具有一定振幅和頻率的穩(wěn)定振蕩過程，這種振蕩稱為自激振蕩。非線性系統(tǒng)具有

5、發(fā)散、收斂和自激振蕩三種運(yùn)動(dòng)形式。,4) 正弦響應(yīng) 當(dāng)輸入正弦信號(hào)時(shí)，非線性系統(tǒng)的輸出則比較復(fù)雜，可能為非正弦周期函數(shù)或產(chǎn)生跳躍諧振和多值響應(yīng)等現(xiàn)象。,7.1 概述,4. 研究非線性控制系統(tǒng)的方法,1) 線性化方法 適用于具有非本質(zhì)非線性的系統(tǒng)。通過非線性系統(tǒng)的線性化，將非線性系統(tǒng)近似為線性系統(tǒng)來研究。,2) 相平面法 適用于一階、二階系統(tǒng)。可確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性和時(shí)間響應(yīng)性能。,3) 描述函數(shù)法 系統(tǒng)在滿足一定的假設(shè)條件下，可獲取與系統(tǒng)穩(wěn)定性有關(guān)的信息。,4) 模擬技術(shù)的應(yīng)用 用模擬計(jì)算機(jī)或數(shù)字計(jì)算機(jī)直接求解非線性微分方程，對(duì)于分析和設(shè)計(jì)復(fù)雜的非線性系統(tǒng)是非常有用的方法。,7.2 相平面法的基本

6、概念,1. 相平面圖,二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述,式中 是x與 的線性或非線性解析函數(shù)。,設(shè)x1=x，x2= ，得下列一階微分方程組,此即系統(tǒng)的狀態(tài)方程。其中x1，x2稱為系統(tǒng)的狀態(tài)。給定初始狀態(tài)下，可求得方程的解x1(t)、x2(t)，即x(t)、 。,相平面(狀態(tài)平面)：以x、 為直角坐標(biāo)的平面。,7.2 相平面法的基本概念,相點(diǎn)：每一瞬時(shí)狀態(tài)(x1、x2)在相平面對(duì)應(yīng)的一個(gè)點(diǎn)。,相軌跡(相跡)：相點(diǎn)隨時(shí)間變化移動(dòng)的軌跡。,相平面圖(相圖)：不同的初態(tài)對(duì)應(yīng)不同的相軌跡。由相軌跡簇構(gòu)成的圖象稱為相平面圖，簡稱相圖。,相平面圖顯示了系統(tǒng)在各初態(tài)下的動(dòng)態(tài)過程，從而能夠顯示出整個(gè)系統(tǒng)的品質(zhì)，如穩(wěn)定性，動(dòng)、

7、靜態(tài)性能指標(biāo)等。,0,(x1、x2),x,(x2),(x1),或(x、 ),圖 7.8 相平面圖,7.2 相平面法的基本概念,上半平面：相點(diǎn)沿相軌跡向右運(yùn)動(dòng)。,2. 相點(diǎn)沿相軌跡的運(yùn)動(dòng)方向,下半平面：相點(diǎn)沿相軌跡向左運(yùn)動(dòng)。,3. 相圖中的奇點(diǎn)和普通點(diǎn),二階系統(tǒng),斜率方程,普通點(diǎn)：速度和加速度不同時(shí)為零，斜率為定值。通過普通點(diǎn)的相軌跡只有一條。,奇點(diǎn)：速度和加速度同時(shí)為零，斜率為不定值。通過奇點(diǎn)的相軌跡不只一條，只有在奇點(diǎn)處相軌跡才存在交叉。奇點(diǎn)也是相軌跡的平衡點(diǎn)。,0,x,圖 7.8 相平面圖,7.2 相平面法的基本概念,4. 相圖中的極限環(huán),極限環(huán)的定義：在相圖中，一種孤立的封閉相軌跡稱為極

8、限環(huán)。它表示一個(gè)穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)，是非線性系統(tǒng)所特有的自激振蕩在相圖中的相軌跡形式。,極限環(huán)的類型,7.2 相平面法的基本概念,(a) 可通過實(shí)驗(yàn)觀察到。設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)盡量減少極限環(huán)的大小，以滿足系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差要求。,0,x,(a)穩(wěn)定極限環(huán),0,x,(c)半穩(wěn)定極限環(huán),0,x,(b)不穩(wěn)定極限環(huán),0,x,(d)半穩(wěn)定極限環(huán),(b) 不能通過實(shí)驗(yàn)觀察到。設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)盡量增大極限環(huán)的大小，以擴(kuò)大系統(tǒng)的穩(wěn)定域。,(c)、(d)不能通過實(shí)驗(yàn)觀察到。(c)不穩(wěn)定。(d)穩(wěn)定， 但系統(tǒng)的過渡過程時(shí)間將由于極限環(huán)的存在而增加。,7.3 相平面圖的繪制,繪制方法： 1）解析法 2）圖解法(定性控制法、等傾線法、法) 3

9、）系統(tǒng)仿真法(數(shù)字仿真、實(shí)驗(yàn)仿真)。,本節(jié)主要介紹 1) 解析法 2) 定性控制法,7.3 相平面圖的繪制,1. 解析法,解析法是一種直接求解微分方程而獲得相軌跡方程(x與 的關(guān)系)，并繪制相平面圖的方法。,方法一：分離變量法,對(duì)斜率方程進(jìn)行分離變量積分而得到相跡方程。,先由系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程求出時(shí)間解x(t)與 ，然后消去時(shí)間t而獲得相軌跡方程。,方法二：消去法,7.3 相平面圖的繪制,例 7.1 設(shè)二階系統(tǒng)的微分方程為,試?yán)L制系統(tǒng)的相平面圖。,相軌跡的斜率方程為,進(jìn)行分離變量積分，得相軌跡方程為,其中，A是與初始狀態(tài)有關(guān)的常數(shù),解 分離變量法,7.3 相平面圖的繪制,由二階系統(tǒng)的微分方程,可解

10、得,則相軌跡方程為,其中，A是與初始狀態(tài)有關(guān)的常數(shù),消去法,其中，A、由系統(tǒng)初始狀態(tài)確定。,而,7.3 相平面圖的繪制,2. 定性控制法,相圖的對(duì)稱性,奇點(diǎn)的位置和性質(zhì),漸進(jìn)線,作圖步驟,7.3 相平面圖的繪制,相圖的對(duì)稱性,相平面圖的對(duì)稱性可通過對(duì)稱點(diǎn)上的曲線斜率來判斷。作圖前，先判斷相圖的對(duì)稱性，可簡化和加速繪制過程。,二階系統(tǒng),斜率方程,對(duì)稱于x軸的條件：,對(duì)稱于 軸的條件：,對(duì)稱于坐標(biāo)原點(diǎn)的條件：,，即x的奇函數(shù)。,，即 的偶函數(shù)。,7.3 相平面圖的繪制,奇點(diǎn)的位置和性質(zhì),二階系統(tǒng),在奇點(diǎn)處,，由,可求得奇點(diǎn)。,奇點(diǎn)位置的確定,奇點(diǎn)的性質(zhì)(奇點(diǎn)的類型),根據(jù)奇點(diǎn)鄰域的相軌跡情況進(jìn)行分

11、類。,二階線性系統(tǒng),特征方程,特征根,7.2 相平面法,7.2 相平面法,7.3 相平面圖的繪制,例 7.3 設(shè)非線性系統(tǒng)為,試確定奇點(diǎn)的位置與性質(zhì)。,解,由,非線性部分在奇點(diǎn)鄰域按如下泰勒級(jí)數(shù)公式展開,或,求得奇點(diǎn)的位置,7.3 相平面圖的繪制,在第一個(gè)奇點(diǎn)(0，0)鄰域，線性化方程為,特征根為具有負(fù)實(shí)部的一對(duì)共軛復(fù)根，故該奇點(diǎn)為穩(wěn)定焦點(diǎn)。,特征方程,特征根,在第二個(gè)奇點(diǎn)(-2，0)鄰域，線性化方程為,特征根為一個(gè)正實(shí)根和一個(gè)負(fù)實(shí)根，故該奇點(diǎn)為鞍點(diǎn)。,特征方程,特征根,令y=x+2，得標(biāo)準(zhǔn)形式的線性化方程為,7.3 相平面圖繪制,漸進(jìn)線：在相圖中一種孤立的斜率等于常值的相軌跡 (只有線性系統(tǒng)

12、才可能有漸進(jìn)線) 。,二階線性系統(tǒng),斜率方程,等傾線方程,(將相軌跡斜率等于常數(shù)的點(diǎn)連接而成的線稱為等傾線),而等傾線的斜率為,令等傾線的斜率為，得漸進(jìn)線斜率,7.3 相平面圖的繪制,對(duì)于二階線性系統(tǒng),漸進(jìn)線斜率,對(duì)于二階線性系統(tǒng),漸進(jìn)線斜率,7.3 相平面圖的繪制,作圖步驟, 確定相平面的分區(qū)及判斷相軌跡的對(duì)稱性 ；, 確定相軌跡的奇點(diǎn)位置及其性質(zhì) ；, 確定相軌跡的漸進(jìn)線 ；, 定性分析相軌跡的斜率變化情況 ；, 根據(jù)相點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向、相點(diǎn)在分界線上運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性、相軌跡垂直穿過橫軸上的普通點(diǎn)、相軌跡的斜率變化情況、線性系統(tǒng)相軌跡的相似成比例特性等，徒手勾畫概略相軌跡。,7.3 相平面圖的繪制

13、,例 7.4 已知非線性系統(tǒng)如圖7.16所示。當(dāng)r(t)=1(t)時(shí)，試?yán)L制系統(tǒng)的概略平面圖。,x,e(t),r(t),c(t),圖7.16 （例7.4框圖）,解 系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程,其中,將e(t)=r(t)-c(t)代入運(yùn)動(dòng)方程得,7.3 相平面圖的繪制,當(dāng)r(t)=1(t)時(shí)，,，,，,，得, 對(duì)稱性：中心對(duì)稱,所給非線性系統(tǒng)是一個(gè)分段線性系統(tǒng)。,等于, 奇點(diǎn)：系統(tǒng)無奇點(diǎn),區(qū),區(qū),7.3 相平面圖的繪制,斜率方程,等傾線方程,令等傾線的斜率為，得,將的值代入等傾線方程，得漸進(jìn)線方程, =-KM, 漸進(jìn)線：,對(duì)于區(qū)，斜率方程為,7.3 相平面圖的繪制,b當(dāng) 時(shí),越大且,越小；,，,越大且,越大

14、；,，,。,，,c當(dāng) 時(shí)， ，即相軌跡垂直于橫軸。, 斜率變化：以區(qū)來分析,a當(dāng) 時(shí),越大，,越??；,，,。, 繪制概略相圖如圖7.17所示。,7.3 相平面圖的繪制,7.4 非線性系統(tǒng)的相平面分析,相平面圖是非線性系統(tǒng)的一種隱含時(shí)間的時(shí)間解。由某初態(tài)下相軌跡的橫坐標(biāo)值，可直接獲得相應(yīng)該初態(tài)系統(tǒng)的超調(diào)量、振蕩次數(shù)、穩(wěn)態(tài)誤差等性能。根據(jù)相平面圖還可確定系統(tǒng)是否存在極限環(huán)以及系統(tǒng)的穩(wěn)定性情況等。,7.4 非線性系統(tǒng)的相平面分析,例 非線性增益控制系統(tǒng)分析 已知控制系統(tǒng)如圖7.25所示，試用相平面法分析分別在階躍輸入和斜坡輸入作用下的系統(tǒng)性能。,x,e(t),r(t),c(t),圖7.25 非線性增

15、益控制系統(tǒng),根據(jù)系統(tǒng)線性部分的傳遞函數(shù)和e=rc，得系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程。,7.4非線性系統(tǒng)的相平面分析,代入非線性元件的特性，得系統(tǒng)的分域線性方程,域,域,|e|e0,|e| e0,實(shí)奇點(diǎn)與虛奇點(diǎn)：奇點(diǎn)在本區(qū)的稱為實(shí)奇點(diǎn)，奇點(diǎn)在它區(qū)的稱為虛奇點(diǎn)。一個(gè)二階系統(tǒng)最多只能有一個(gè)實(shí)奇點(diǎn)。若穩(wěn)定系統(tǒng)有實(shí)奇點(diǎn)，系統(tǒng)必穩(wěn)定在實(shí)奇點(diǎn)上。,7.4非線性系統(tǒng)的相平面分析, 階躍(r(t)=R1(t)響應(yīng)分析,當(dāng)r(t)=R1(t)時(shí)，,，,，,，得,域：,域：,K1和k2的選?。哼x擇k2使系統(tǒng)在域?yàn)榍纷枘?，保證系統(tǒng)的快速性。選擇k1使系統(tǒng)在域?yàn)榕R界阻尼或過阻尼，保證系統(tǒng)的平穩(wěn)性。,奇點(diǎn)為(0，0)，且為虛奇點(diǎn)、穩(wěn)定焦

16、點(diǎn)(選擇k2使得01)。,奇點(diǎn)為(0，0)，且為實(shí)奇點(diǎn)、穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)(選擇k1使得1)。,7.2 相平面法,圖7.26 非線性增益控制系統(tǒng)相圖,7.4非線性系統(tǒng)的相平面分析, 速度(r(t)=vt+v0)響應(yīng)分析,域：,奇點(diǎn)P1(v/(Kk1)，0)，穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)。,域：,奇點(diǎn)P2(v/(Kk2)，0)，穩(wěn)定焦點(diǎn)。,當(dāng)r(t)=vt+v0時(shí)，,，,，,，得,，,(a) |v|Kk1 e0時(shí)，P1為實(shí)奇點(diǎn)， P2為虛奇點(diǎn)，穩(wěn)定在P1點(diǎn)上。,(b) Kk1 e0 |v|Kk2 e0時(shí)，P1、 P2均為虛奇點(diǎn)，穩(wěn)定在分界線與橫軸的交點(diǎn)上。,(c) |v|Kk2 e0時(shí)，P1為虛奇點(diǎn)，P2為實(shí)奇點(diǎn)，穩(wěn)定在P2

17、點(diǎn)上。,7.2 相平面法,穩(wěn)態(tài)誤差：OP1,圖7.27 (a) 非線性增益控制系統(tǒng)相圖,7.2 相平面法,( b ),穩(wěn)態(tài)誤差：e0,圖7.27 (b) 非線性增益控制系統(tǒng)相圖,7.2 相平面法,穩(wěn)態(tài)誤差：OP2,圖7.27 (c) 非線性增益控制系統(tǒng)相圖,7.3 描述函數(shù)法,1. 描述函數(shù)的概念,2. 典型非線性特性的描述函數(shù),3. 用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng),7.3 描述函數(shù)法,1. 描述函數(shù)的概念,1) 描述函數(shù)的定義,2) 非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的典型化,7.3 描述函數(shù)法,1) 描述函數(shù)的定義,非線性環(huán)節(jié)的輸入：,e(t)=Asint,非線性環(huán)節(jié)的輸出：是一個(gè)與輸入信號(hào)周期相同的非正弦周期

18、函數(shù)。富氏級(jí)數(shù)展開,描述函數(shù)法是線性系統(tǒng)中頻率特性的推廣。用于分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,7.3 描述函數(shù)法,1) 描述函數(shù)的定義,假設(shè)： 非線性環(huán)節(jié)特性為斜對(duì)稱特性，則A0=0。 線性部分具有良好的低通低通濾波特性。,在上述假設(shè)條件下，由富氏級(jí)數(shù)展開式可得：,描述函數(shù)法的基本思想 (諧波線性化方法)：非線性環(huán)節(jié)在正弦輸入信號(hào)作用下的實(shí)際輸出用輸出信號(hào)中的基波代替而忽略掉其余高次諧波，即用基波特性來近似描述非線性特性。,其中,7.3 描述函數(shù)法,1) 描述函數(shù)的定義,其中,描述函數(shù),描述函數(shù)是輸入信號(hào)幅值的函數(shù)。,描述函數(shù)的定義：非線性特性在進(jìn)行諧波線性化之后，仿照線性系統(tǒng)幅相頻率特性的定義，可

19、建立非線性特性的等效幅相特性，即描述函數(shù)?？啥x為非線性特性輸出的基波分量與輸入正弦量的復(fù)數(shù)比。,7.3 描述函數(shù)法,2) 非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的典型化,諧波線性化數(shù)學(xué)模型：非線性特性用描述函數(shù)表示。,將系統(tǒng)結(jié)構(gòu)典型化為等效非線性環(huán)節(jié)和等效線性部分相串聯(lián)的形式。,線性部分的等效：與線性系統(tǒng)中使用的結(jié)構(gòu)圖等效變換方法相同。,7.3 描述函數(shù)法,2) 非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的典型化,非線性環(huán)節(jié)的串聯(lián)：串聯(lián)非線性特性的描述函數(shù)絕不等于相串聯(lián)非線性特性的描述函數(shù)的乘積，而是相串聯(lián)之后非線性特性的描述函數(shù)。且相串聯(lián)的非線性環(huán)節(jié)的前后次序不能調(diào)換。,圖7.30(b) 等效特性,圖7.30(a) 非線性環(huán)節(jié)的串聯(lián),7

20、.3 描述函數(shù)法,2) 非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的典型化,非線性環(huán)節(jié)的并聯(lián)：兩個(gè)非線性環(huán)節(jié)并聯(lián)，并聯(lián)后總的描述函數(shù)等于相并聯(lián)非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)之和。,等效特性的描述函數(shù) N(A) = N1(A) + N2(A),7.3 描述函數(shù)法,2. 典型非線性特性的描述函數(shù),根據(jù)描述函數(shù)的定義推導(dǎo)典型非線性特性的描述函數(shù)。,求取描述函數(shù)的一般步驟：, 由非線性靜特性曲線，畫出在正弦輸入信號(hào)作用下的輸出波形，并寫出輸出波形的數(shù)學(xué)表達(dá)式；, 利用富氏級(jí)數(shù)展開式求出輸出的基波分量；, 將求出的輸出基波分量代入描述函數(shù)的定義式，即得描述函數(shù)N(A)。,7.3 描述函數(shù)法,2. 典型非線性特性的描述函數(shù),1) 飽和特性,

21、2) 間隙特性,3) 繼電特性,7.3 描述函數(shù)法,1) 飽和特性,圖 7.33 飽和特性及其輸入輸出波形,其中=arcsina/A。由于輸出為奇函數(shù)且波形對(duì)稱，故有A0=0，A1=0。,輸出的數(shù)學(xué)表達(dá)式,7.3 描述函數(shù)法,1) 飽和特性,則描述函數(shù),7.3 描述函數(shù)法,2) 間隙特性,圖 7.35 間隙特性及其輸入輸出波形,由于間隙特性為中心斜對(duì)稱特性，輸出的正負(fù)半波對(duì)稱，故有A0=0。,輸出的數(shù)學(xué)表達(dá)式,其中,7.3 描述函數(shù)法,2) 間隙特性,7.3 描述函數(shù)法,2) 間隙特性,于是，可求得間隙特性的描述函數(shù)N(A)為,7.3 描述函數(shù)法,3) 繼電特性,圖 7.37 死區(qū)滯環(huán)繼電特性

22、及其輸入輸出波形,輸出的數(shù)學(xué)表達(dá)式,7.3 描述函數(shù)法,3) 繼電特性,由于死區(qū)滯環(huán)繼電特性為中心斜對(duì)稱特性，輸出的正負(fù)半波對(duì)稱，故有A0=0。,其中，,，,7.3 描述函數(shù)法,3) 繼電特性,于是，可求得死區(qū)滯環(huán)繼電特性的描述函數(shù)N(A)為,7.3 描述函數(shù)法,2. 典型非線性特性的描述函數(shù), 當(dāng)非線性特性為單值斜對(duì)稱函數(shù)時(shí)，描述函數(shù)為實(shí)函數(shù)。, 當(dāng)非線性特性為多值斜對(duì)稱函數(shù)時(shí)，描述函數(shù)為復(fù)函數(shù)。, 相對(duì)描述函數(shù)： N0(A)，使不同參數(shù)下的描述函數(shù)曲線相同。將描述函數(shù)中的部分非線性環(huán)節(jié)參數(shù)分離出來乘到線性部分中去，所剩部分中的非線性環(huán)節(jié)參數(shù)都是以相對(duì)形式出現(xiàn)。相對(duì)負(fù)倒描述函數(shù)-1/N0(A)。,如飽和特性的描述函數(shù)可以寫成,7.3 描述函數(shù)法,7.3 描述函數(shù)法,7.3 描述函數(shù)法,7.5 描述函數(shù)法,描述函數(shù)法是一種工程近似方法。它只能用來分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性，得到產(chǎn)生自激振蕩的條件，求出自激振蕩的振幅和頻率。,用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng),7.5 描述函數(shù)法,仿照線性系統(tǒng)的奈氏判據(jù)，可以得到非線性系統(tǒng)產(chǎn)生等幅振蕩的條件。,閉環(huán)頻率特性,自激振蕩的條件,即,(諧波平衡方程),如果存在一個(gè)A0與0使自激振蕩條件成立，即表示線性化系統(tǒng)有近似正弦振蕩的周期運(yùn)動(dòng)，那么相應(yīng)在非線性環(huán)節(jié)的輸入端，存在一個(gè)可用正弦振蕩A0sin0t近似表示的自振 。,7.5