20_2第二型曲線積分.ppt

1、第20章,第一節(jié)、第一型曲線積分,第二節(jié)、第二型曲線積分,曲線積分,第20章,第2節(jié),一、 第二型曲線積分的定義,二、第二型曲線積分的計算,第二型曲線積分,第20章,三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系,一、 第二型曲線積分的概念與性質,1. 引例: 變力沿曲線所作的功.,設一質點受如下變力作用,在 xoy 平面內從點 A 沿光滑曲線弧 L,“分割”,“近似代替”,“求和”,“取極限”,常力沿直線所作的功,解決辦法:,求移動過程中變力所作的功W.,移動到點 B,1) 分割-“大化小”.,2) 近似代替-“常代變”,把L分成 n 個小弧段,有向小弧段,近似代替,則有,所做的功為,則,用有向線段,3) 求和

2、-近似和.,4) 取極限,其中,2. 定義.,設 L 為xoy 平面內從 A 到B 的一條有向光滑,弧,若對 L 的任意分割和在局部弧段上任意取點,都存在,在有向曲線弧 L 上,第二型曲線積分,則稱此極限為函數(shù),或對坐標的曲線積分.,其中,L 稱為積分弧段 或 積分曲線 .,稱為被積函數(shù) ,在L 上定義了一個向量函數(shù),極限,稱為對 x 的曲線積分;,稱為對 y 的曲線積分.,若記, 對坐標的曲線積分也可寫作,如果L是空間可求長曲線段,P (x,y,z), Q (x,y,z),注：,如果 L 是閉曲線 ,則記為,1).,2).,可定義空間曲線上的,或,R (x,y,z) 是定義在 L 上的函數(shù)，

3、,第二型曲線積分，,3). 存在條件：,3. 性質,1) 若 L 可分成 k 條首尾相接的有向光滑曲線弧,2) 用L 表示 L 的反向弧 , 則,且,存在,則,3),二、對坐標的曲線積分的計算法,定理:,在有向光滑弧 L 上有定義且,L 的參數(shù)方程為,則曲線積分,連續(xù),證明: 下面先證,存在, 且有,對應參數(shù),設分點,根據(jù)定義,由于,對應參數(shù),因為L 為光滑弧 ,同理可證,1. 如果 L 的方程為,則,2. 空間光滑曲線弧 :,推論：,例1. 計算,其中L 為沿拋物線,解法1 取 x 為參數(shù), 則,解法2 取 y 為參數(shù), 則,從點,的一段.,例2. 計算,其中 L 為,(1) 半徑為 a 圓

4、心在原點的,上半圓周, 方向為逆時針方向;,(2) 從點 A ( a , 0 )沿 x 軸到點 B ( a , 0 ).,解: (1) 取L的參數(shù)方程為,(2) 取 L 的方程為,則,則,例3. 計算,其中L為,(1) 拋物線,(2) 拋物線,(3) 有向折線,解: (1) 原式,(2) 原式,(3) 原式,例4. 已知,為折線 ABCOA(如圖), 計算,解:,例5. 求,其中,從 z 軸正向看為順時針方向.,解: 取 的參數(shù)方程,例6. 設在力場,作用下, 質點由,沿移動到,解: (1),(2) 的參數(shù)方程為,試求力場對質點所作的功.,其中為,三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系,設有向光滑弧 L

5、以弧長為參數(shù) 的參數(shù)方程為,已知L切向量的方向余弦為,則兩類曲線積分有如下聯(lián)系,類似地, 在空間曲線 上的兩類曲線積分的聯(lián)系是,令,例7.,解：,例8.,將積分,化為對弧長的積,分,解：,其中L 沿上半圓周,L 的方程為,切向量為,（注意方向）,二者夾角為 ,例9. 設,曲線段 L 的長度為s, 證明,續(xù),證:,設,說明: 上述證法可推廣到三維的第二類曲線積分.,在L上連,1. 定義,2. 性質,(1) L可分成 k 條有向光滑曲線弧,(2) L 表示 L 的反向弧,對坐標的曲線積分必須注意積分弧段的方向!,內容小結,3. 計算, 對有向光滑弧, 對有向光滑弧,4. 兩類曲線積分的聯(lián)系, 對空間有向光滑弧 :,作業(yè),P208 1 (1), (3), (5); 3 ; 4 ;,原點 O 的距離成正比,備用題,1. 設一個質點在,處受,恒指向原點,沿橢圓,此質點由點,沿逆時針移動到,提示:,2.,解:,3.,解:,到,原點,其大小與作用點到 xoy 面的距離成反比.,沿直線移動,向坐標,4. 設曲