《現(xiàn)代控制理論(第3版)》劉豹-唐萬(wàn)生課件-第4章.ppt

1、4.2 李雅普諾夫第一法,4.1 李雅普諾夫關(guān)于穩(wěn)定性的定義,4.3 李雅普諾夫第二法,4.4 李雅普諾夫方法在線性系統(tǒng)中的應(yīng)用,4.5 李雅普諾夫方法在非線性系統(tǒng)中的應(yīng)用,4.1 李雅普諾夫關(guān)于穩(wěn)定性的定義,4.1.1 系統(tǒng)狀態(tài)的運(yùn)動(dòng)及平衡狀態(tài),設(shè)所研究系統(tǒng)的齊次狀態(tài)方程為,（1）,式中， 為 維狀態(tài)矢量； 為與 同維的矢量函數(shù)，它是工的各元素 和時(shí)間 的函數(shù)。一般地，為時(shí)變的非線性函數(shù)。如果不顯含 ，則為定常的非線性系統(tǒng)。,設(shè)方程式(1)在給定初始條件 下，有唯一解：,（2）,式中， 為表示 在初始時(shí)刻 時(shí)的狀態(tài)； 是從,開(kāi)始觀察的時(shí)間變量。,式(2)實(shí)際上描述了系統(tǒng)式(1)在n 維狀態(tài)空

2、間中從初始條件 出發(fā)的一條狀態(tài)運(yùn)動(dòng)的軌跡，簡(jiǎn)稱(chēng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)或狀態(tài)軌線。,若系統(tǒng)式(1)存在狀態(tài)矢量 ，對(duì)所有 ，都使：,成立，則稱(chēng) 為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。,（3）,對(duì)于一個(gè)任意系統(tǒng)，不一定都存在平衡狀態(tài)，有時(shí)即使存在也未必是唯一的，例如對(duì)線性定常系統(tǒng)：,當(dāng)A為非奇異矩陣時(shí)，滿(mǎn)足 的解 是系統(tǒng)唯一存在的一個(gè)平衡狀態(tài)。而當(dāng)A為奇異矩陣時(shí)，則系統(tǒng)將有無(wú)窮多個(gè)平衡狀態(tài)。,（4）,對(duì)非線性系統(tǒng)，通常可有一個(gè)或多個(gè)平衡狀態(tài)。它們是由方程式(3)所 確定的常值解例加系系統(tǒng)：,就有三個(gè)平衡狀態(tài)：,4.1.2 穩(wěn)定性的幾個(gè)定義,若用 表示狀態(tài)矢量 與平衡狀態(tài) 的距離，用點(diǎn)集 表示 以 為中心 為半徑的超球體，那么 ，

3、則表示：,（5）,式中， 為歐幾里德范數(shù)。,在n維狀態(tài)空間中，有：,（6）,當(dāng) 很小時(shí)，則稱(chēng) 為 的鄰域。因此，若有 ， 則意味著 同理，若方程式(1)的解 位于球 域 內(nèi)，便有：,（7）,式(7)表明齊次方程式(1)內(nèi)初態(tài) 或短暫擾動(dòng)所引起的自由響應(yīng)是有界 的。李雅普諾夫根據(jù)系統(tǒng)自由響應(yīng)是否有界把系統(tǒng)的穩(wěn)定性定義為四種情況。,4.2 李雅普諾夫第一法,4.2.1 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定判據(jù),平衡狀態(tài) 漸近穩(wěn)定的充要條件是矩陣A的所有特征值均具有負(fù) 實(shí)部。,以上討論的都是指系統(tǒng)的狀態(tài)穩(wěn)定性，或稱(chēng)內(nèi)部穩(wěn)定性。但從工程意義上看，往往更重視系統(tǒng)的輸出穩(wěn)定性。,如果系統(tǒng)對(duì)于有界輸入 所引起的輸出 是有界的，則

4、稱(chēng)系統(tǒng)為輸出 穩(wěn)定。,線性定常系統(tǒng) 輸出穩(wěn)定的充要條件是其傳遞函數(shù)：,的極點(diǎn)全部位于s的左半平面。,（2）,4.2.2 非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性,為其平衡狀態(tài)； 為與 同維的矢量函數(shù)，且對(duì)工具有連續(xù)的 偏導(dǎo)數(shù)。,為討論系統(tǒng)在 處的穩(wěn)定性，可將非線性矢量函數(shù) 在 鄰域內(nèi)展成泰勒級(jí)數(shù)，得：,（4）,式中， 為級(jí)數(shù)展開(kāi)式中的高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)。,稱(chēng)為雅可比(Jacohian)矩陣。,若令 ，并取式(4)的一次近似式，可得系統(tǒng)的線性化方程：,（6）,在一次近似的基礎(chǔ)上，李雅普諾夫給出下述結(jié)論：,1)如果方程式(6)中系數(shù)矩陣A的所有特征值都具有負(fù)實(shí)部，則原非線性 系統(tǒng)式(3)在平衡狀態(tài) ，是漸近穩(wěn)定的，而且系統(tǒng)的穩(wěn)

5、定性與 無(wú) 關(guān)。,2)如果 A 的特征值，至少有一個(gè)具有正實(shí)部，則原非線性系統(tǒng)的平衡狀 態(tài) 是不穩(wěn)定的。,3)如果 A 的特征值，至少有一個(gè)的實(shí)部為零。系統(tǒng)處于臨界情況，那么原非線性系統(tǒng)的平衡狀態(tài) 的穩(wěn)定性將取決于高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng) ，而不能由A的特征值符號(hào)來(lái)確定。,設(shè) 為由 維矢量 所定義的標(biāo)量函數(shù)， ，且在 處恒有 。,4.3 李雅普諾夫第二法,李雅普諾夫第二法又稱(chēng)直接法。它的基本思路不是通過(guò)求解系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng) 方程，而是借助于一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)來(lái)直接對(duì)系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性做出 判斷。它是從能量觀點(diǎn)進(jìn)行穩(wěn)定性分析的。,4.3.1 預(yù)備知識(shí),1.標(biāo)量函數(shù)的符號(hào)性質(zhì),所有在域 中的任何非零矢量 ，如果：,

6、2二次型標(biāo)量函數(shù),二次型函數(shù)在李雅普諾夫第二方法分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性中起著很重要的作 用。,設(shè) 為n個(gè)變量，定義二次型標(biāo)量函數(shù)為：,（8）,矩陣 P 的符號(hào)性質(zhì)定義如下：,設(shè)P 為 實(shí)對(duì)稱(chēng)方陣， 為由P 所決定的二次型函數(shù)。,3希爾維斯特判據(jù),設(shè)實(shí)對(duì)陣矩陣：,由此可見(jiàn)，矩陣P 的符號(hào)性質(zhì)與由其所決定的二次型函數(shù) 的符號(hào)性質(zhì)完全一致。因此，要判別 的符號(hào)只要判別P 的符號(hào)即可。而后者可由希爾維斯特(Sylvester)判據(jù)進(jìn)行判定。,（9）,為其各階順序主子行列式：,（10）,矩陣 定號(hào)性的充要條件是：,4.3.2 幾個(gè)穩(wěn)定性判據(jù),用李雅普諾夫第二法分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，可概括為以下幾個(gè)穩(wěn)定性判據(jù)。,如

7、果存在一個(gè)標(biāo)量函數(shù) ，它滿(mǎn)足：,2) 是正定的，即當(dāng) 。,3) 沿狀態(tài)軌跡方向計(jì)算的時(shí)間導(dǎo)數(shù) 分別滿(mǎn) 足下列條件：,若 為半負(fù)定，那么平衡狀態(tài) 為在李雅普諾夫意義下穩(wěn)定。此 稱(chēng)穩(wěn)定判據(jù)。,若 為負(fù)定；或者雖然 為半負(fù)定但對(duì)任意初始狀態(tài) 來(lái)說(shuō)，除去 外，對(duì) 不恒為零。那么原點(diǎn)平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn) 定的。如果進(jìn)一步還 ，則系統(tǒng)是大范圍漸近穩(wěn)定 的。此稱(chēng)漸近穩(wěn)定判據(jù)。,1) 對(duì)所有z都具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)。,4.3.3 對(duì)李雅普諾夫函數(shù)的討論,1) 是滿(mǎn)足穩(wěn)定性判據(jù)條件的一個(gè)正定的標(biāo)量函數(shù)，且對(duì)x應(yīng)具 有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)。,2)對(duì)于一個(gè)給定系統(tǒng)，如果 是可找到的，那么通常是非唯一的， 但這并不影響結(jié)論的

8、一致性。,3) 的最簡(jiǎn)單形式是二次型函數(shù)：,4)如果 為二次型，且可表示為：,若 為正定，那么平衡狀態(tài) 是不穩(wěn)定的。此稱(chēng)不穩(wěn)定判據(jù)。,6)由于構(gòu)造 函數(shù)需要較多技巧，因此，李雅普諾夫第二法主要用于確定那些使用別的方法無(wú)效或難以判別其穩(wěn)定性的問(wèn)題。例如高階的非線性系統(tǒng)或時(shí)變系統(tǒng)。,5) 函數(shù)只表示系統(tǒng)在平衡狀態(tài)附近某鄰域內(nèi)局部運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定情況，絲毫不能提供域外運(yùn)動(dòng)的任何信息。,（12）,4.4 李雅普諾夫方法在線性系統(tǒng)中的應(yīng)用,4.4.1 線性定常連續(xù)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定判據(jù),設(shè)線性定常連續(xù)系統(tǒng)為：,則平衡狀態(tài) 為大范圍漸近穩(wěn)定的充要條件是：A的特征根均具有負(fù) 實(shí)部。,（1）,4.4.2 線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)

9、漸近穩(wěn)定判據(jù),設(shè)線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程為：,（2）,則系統(tǒng)在平衡點(diǎn) 處大范圍漸近穩(wěn)定的充要條件為：對(duì)于任意給定的連續(xù)對(duì)稱(chēng)正定矩陣 ，必存在一個(gè)連續(xù)對(duì)稱(chēng)正定矩陣 ，滿(mǎn)足：,而系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)為：,（3）,（4）,證明 設(shè)李雅普諾夫函數(shù)取為：,式中， 為連續(xù)的正定對(duì)稱(chēng)矩陣。取V（x,t）對(duì)時(shí)間的全導(dǎo)數(shù)，得：,式中,由穩(wěn)定性判據(jù)可知，當(dāng) 為正定對(duì)稱(chēng)矩陣時(shí)，若 也是一個(gè)正定對(duì)稱(chēng)矩陣，則 是負(fù)定的，于是系統(tǒng)的平衡點(diǎn)便是漸近穩(wěn)定的。,式(3)是黎卡提(Riccati)矩陣微分方程的特殊情況，其解為：,特別地，當(dāng)取 時(shí)，則得：,式中， 為系統(tǒng)式(2)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣； 為矩陣微分方程式 (3)的初始條件

10、。,（6）,（7）,式(7)表明，當(dāng)選取正定矩陣 時(shí)，可由函 計(jì)算出 ；再根據(jù) 是否具有連續(xù)、對(duì)稱(chēng)、正定性來(lái)判別線性時(shí)變系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,4.4.3 線性定常離散時(shí)間系統(tǒng)漸近穩(wěn)定判據(jù),設(shè)線性定常離散時(shí)間系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：,（8）,4.4.4 線性時(shí)變離散系統(tǒng)漸近穩(wěn)定判據(jù),設(shè)線性時(shí)變離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：,（9）,則平衡狀態(tài) 為大范圍漸近穩(wěn)定的充要條件是，對(duì)于任意給定的正定實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣 ，必存在一個(gè)正定的實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣 ，使得：,則平衡狀態(tài) 漸近穩(wěn)定的充要條件為：G 的特征根均在單位開(kāi)圓 盤(pán)內(nèi)。,（10）,是系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)。,4.5 李雅普諾夫方法在非線性系統(tǒng)中的應(yīng)用,從前面分析可知，線性系統(tǒng)的穩(wěn)

11、定性具有全局性質(zhì)，而且穩(wěn)定判據(jù)的條件是充分必要的。但是，非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性卻可能只具有局部性質(zhì)。,4.5.1 雅町比(Jacobian)矩陣法,式中， 為 維狀態(tài)矢量；為與 同維的非線性矢量函數(shù)。,假設(shè)原點(diǎn) 是平衡狀態(tài)， 對(duì) 可微， 系統(tǒng)的雅可比矩陣為：,（13）,則系統(tǒng)在原點(diǎn)漸近穩(wěn)定的充分條件是：任給正定實(shí)對(duì)稱(chēng)陣P ，使下列 矩陣,（14）,是系統(tǒng)的一個(gè)李雅普諾大函數(shù)。,如果當(dāng) 時(shí)，還有 ，則系統(tǒng)在 是大范圍漸近 穩(wěn)定。,4.5.2 變量梯度法,變量梯度法也叫舒茨一基布遜(ShultzGibson)法，這是他們?cè)?962 年提出的一種尋求李雅普諾夫函數(shù)較為實(shí)用的方法。,變量梯度法是以下列事實(shí)為基礎(chǔ)的：即如果找到一個(gè)特定的李雅普