《現(xiàn)代控制理論(第3版)》劉豹-唐萬生課件-第4章.ppt

1、4.2 李雅普諾夫第一法,4.1 李雅普諾夫關(guān)于穩(wěn)定性的定義,4.3 李雅普諾夫第二法,4.4 李雅普諾夫方法在線性系統(tǒng)中的應(yīng)用,4.5 李雅普諾夫方法在非線性系統(tǒng)中的應(yīng)用,4.1 李雅普諾夫關(guān)于穩(wěn)定性的定義,4.1.1 系統(tǒng)狀態(tài)的運(yùn)動及平衡狀態(tài),設(shè)所研究系統(tǒng)的齊次狀態(tài)方程為,（1）,式中， 為 維狀態(tài)矢量； 為與 同維的矢量函數(shù)，它是工的各元素 和時間 的函數(shù)。一般地，為時變的非線性函數(shù)。如果不顯含 ，則為定常的非線性系統(tǒng)。,設(shè)方程式(1)在給定初始條件 下，有唯一解：,（2）,式中， 為表示 在初始時刻 時的狀態(tài)； 是從,開始觀察的時間變量。,式(2)實(shí)際上描述了系統(tǒng)式(1)在n 維狀態(tài)空

2、間中從初始條件 出發(fā)的一條狀態(tài)運(yùn)動的軌跡，簡稱系統(tǒng)的運(yùn)動或狀態(tài)軌線。,若系統(tǒng)式(1)存在狀態(tài)矢量 ，對所有 ，都使：,成立，則稱 為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。,（3）,對于一個任意系統(tǒng)，不一定都存在平衡狀態(tài)，有時即使存在也未必是唯一的，例如對線性定常系統(tǒng)：,當(dāng)A為非奇異矩陣時，滿足 的解 是系統(tǒng)唯一存在的一個平衡狀態(tài)。而當(dāng)A為奇異矩陣時，則系統(tǒng)將有無窮多個平衡狀態(tài)。,（4）,對非線性系統(tǒng)，通?？捎幸粋€或多個平衡狀態(tài)。它們是由方程式(3)所 確定的常值解例加系系統(tǒng)：,就有三個平衡狀態(tài)：,4.1.2 穩(wěn)定性的幾個定義,若用 表示狀態(tài)矢量 與平衡狀態(tài) 的距離，用點(diǎn)集 表示 以 為中心 為半徑的超球體，那么 ，

3、則表示：,（5）,式中， 為歐幾里德范數(shù)。,在n維狀態(tài)空間中，有：,（6）,當(dāng) 很小時，則稱 為 的鄰域。因此，若有 ， 則意味著 同理，若方程式(1)的解 位于球 域 內(nèi)，便有：,（7）,式(7)表明齊次方程式(1)內(nèi)初態(tài) 或短暫擾動所引起的自由響應(yīng)是有界 的。李雅普諾夫根據(jù)系統(tǒng)自由響應(yīng)是否有界把系統(tǒng)的穩(wěn)定性定義為四種情況。,4.2 李雅普諾夫第一法,4.2.1 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定判據(jù),平衡狀態(tài) 漸近穩(wěn)定的充要條件是矩陣A的所有特征值均具有負(fù) 實(shí)部。,以上討論的都是指系統(tǒng)的狀態(tài)穩(wěn)定性，或稱內(nèi)部穩(wěn)定性。但從工程意義上看，往往更重視系統(tǒng)的輸出穩(wěn)定性。,如果系統(tǒng)對于有界輸入 所引起的輸出 是有界的，則

4、稱系統(tǒng)為輸出 穩(wěn)定。,線性定常系統(tǒng) 輸出穩(wěn)定的充要條件是其傳遞函數(shù)：,的極點(diǎn)全部位于s的左半平面。,（2）,4.2.2 非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性,為其平衡狀態(tài)； 為與 同維的矢量函數(shù)，且對工具有連續(xù)的 偏導(dǎo)數(shù)。,為討論系統(tǒng)在 處的穩(wěn)定性，可將非線性矢量函數(shù) 在 鄰域內(nèi)展成泰勒級數(shù)，得：,（4）,式中， 為級數(shù)展開式中的高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)。,稱為雅可比(Jacohian)矩陣。,若令 ，并取式(4)的一次近似式，可得系統(tǒng)的線性化方程：,（6）,在一次近似的基礎(chǔ)上，李雅普諾夫給出下述結(jié)論：,1)如果方程式(6)中系數(shù)矩陣A的所有特征值都具有負(fù)實(shí)部，則原非線性 系統(tǒng)式(3)在平衡狀態(tài) ，是漸近穩(wěn)定的，而且系統(tǒng)的穩(wěn)

5、定性與 無 關(guān)。,2)如果 A 的特征值，至少有一個具有正實(shí)部，則原非線性系統(tǒng)的平衡狀 態(tài) 是不穩(wěn)定的。,3)如果 A 的特征值，至少有一個的實(shí)部為零。系統(tǒng)處于臨界情況，那么原非線性系統(tǒng)的平衡狀態(tài) 的穩(wěn)定性將取決于高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng) ，而不能由A的特征值符號來確定。,設(shè) 為由 維矢量 所定義的標(biāo)量函數(shù)， ，且在 處恒有 。,4.3 李雅普諾夫第二法,李雅普諾夫第二法又稱直接法。它的基本思路不是通過求解系統(tǒng)的運(yùn)動 方程，而是借助于一個李雅普諾夫函數(shù)來直接對系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性做出 判斷。它是從能量觀點(diǎn)進(jìn)行穩(wěn)定性分析的。,4.3.1 預(yù)備知識,1.標(biāo)量函數(shù)的符號性質(zhì),所有在域 中的任何非零矢量 ，如果：,

6、2二次型標(biāo)量函數(shù),二次型函數(shù)在李雅普諾夫第二方法分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性中起著很重要的作 用。,設(shè) 為n個變量，定義二次型標(biāo)量函數(shù)為：,（8）,矩陣 P 的符號性質(zhì)定義如下：,設(shè)P 為 實(shí)對稱方陣， 為由P 所決定的二次型函數(shù)。,3希爾維斯特判據(jù),設(shè)實(shí)對陣矩陣：,由此可見，矩陣P 的符號性質(zhì)與由其所決定的二次型函數(shù) 的符號性質(zhì)完全一致。因此，要判別 的符號只要判別P 的符號即可。而后者可由希爾維斯特(Sylvester)判據(jù)進(jìn)行判定。,（9）,為其各階順序主子行列式：,（10）,矩陣 定號性的充要條件是：,4.3.2 幾個穩(wěn)定性判據(jù),用李雅普諾夫第二法分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，可概括為以下幾個穩(wěn)定性判據(jù)。,如

7、果存在一個標(biāo)量函數(shù) ，它滿足：,2) 是正定的，即當(dāng) 。,3) 沿狀態(tài)軌跡方向計(jì)算的時間導(dǎo)數(shù) 分別滿 足下列條件：,若 為半負(fù)定，那么平衡狀態(tài) 為在李雅普諾夫意義下穩(wěn)定。此 稱穩(wěn)定判據(jù)。,若 為負(fù)定；或者雖然 為半負(fù)定但對任意初始狀態(tài) 來說，除去 外，對 不恒為零。那么原點(diǎn)平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn) 定的。如果進(jìn)一步還 ，則系統(tǒng)是大范圍漸近穩(wěn)定 的。此稱漸近穩(wěn)定判據(jù)。,1) 對所有z都具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)。,4.3.3 對李雅普諾夫函數(shù)的討論,1) 是滿足穩(wěn)定性判據(jù)條件的一個正定的標(biāo)量函數(shù)，且對x應(yīng)具 有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)。,2)對于一個給定系統(tǒng)，如果 是可找到的，那么通常是非唯一的， 但這并不影響結(jié)論的

8、一致性。,3) 的最簡單形式是二次型函數(shù)：,4)如果 為二次型，且可表示為：,若 為正定，那么平衡狀態(tài) 是不穩(wěn)定的。此稱不穩(wěn)定判據(jù)。,6)由于構(gòu)造 函數(shù)需要較多技巧，因此，李雅普諾夫第二法主要用于確定那些使用別的方法無效或難以判別其穩(wěn)定性的問題。例如高階的非線性系統(tǒng)或時變系統(tǒng)。,5) 函數(shù)只表示系統(tǒng)在平衡狀態(tài)附近某鄰域內(nèi)局部運(yùn)動的穩(wěn)定情況，絲毫不能提供域外運(yùn)動的任何信息。,（12）,4.4 李雅普諾夫方法在線性系統(tǒng)中的應(yīng)用,4.4.1 線性定常連續(xù)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定判據(jù),設(shè)線性定常連續(xù)系統(tǒng)為：,則平衡狀態(tài) 為大范圍漸近穩(wěn)定的充要條件是：A的特征根均具有負(fù) 實(shí)部。,（1）,4.4.2 線性時變連續(xù)系統(tǒng)

9、漸近穩(wěn)定判據(jù),設(shè)線性時變連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程為：,（2）,則系統(tǒng)在平衡點(diǎn) 處大范圍漸近穩(wěn)定的充要條件為：對于任意給定的連續(xù)對稱正定矩陣 ，必存在一個連續(xù)對稱正定矩陣 ，滿足：,而系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)為：,（3）,（4）,證明 設(shè)李雅普諾夫函數(shù)取為：,式中， 為連續(xù)的正定對稱矩陣。取V（x,t）對時間的全導(dǎo)數(shù)，得：,式中,由穩(wěn)定性判據(jù)可知，當(dāng) 為正定對稱矩陣時，若 也是一個正定對稱矩陣，則 是負(fù)定的，于是系統(tǒng)的平衡點(diǎn)便是漸近穩(wěn)定的。,式(3)是黎卡提(Riccati)矩陣微分方程的特殊情況，其解為：,特別地，當(dāng)取 時，則得：,式中， 為系統(tǒng)式(2)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣； 為矩陣微分方程式 (3)的初始條件

10、。,（6）,（7）,式(7)表明，當(dāng)選取正定矩陣 時，可由函 計(jì)算出 ；再根據(jù) 是否具有連續(xù)、對稱、正定性來判別線性時變系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,4.4.3 線性定常離散時間系統(tǒng)漸近穩(wěn)定判據(jù),設(shè)線性定常離散時間系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：,（8）,4.4.4 線性時變離散系統(tǒng)漸近穩(wěn)定判據(jù),設(shè)線性時變離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：,（9）,則平衡狀態(tài) 為大范圍漸近穩(wěn)定的充要條件是，對于任意給定的正定實(shí)對稱矩陣 ，必存在一個正定的實(shí)對稱矩陣 ，使得：,則平衡狀態(tài) 漸近穩(wěn)定的充要條件為：G 的特征根均在單位開圓 盤內(nèi)。,（10）,是系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)。,4.5 李雅普諾夫方法在非線性系統(tǒng)中的應(yīng)用,從前面分析可知，線性系統(tǒng)的穩(wěn)

11、定性具有全局性質(zhì)，而且穩(wěn)定判據(jù)的條件是充分必要的。但是，非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性卻可能只具有局部性質(zhì)。,4.5.1 雅町比(Jacobian)矩陣法,式中， 為 維狀態(tài)矢量；為與 同維的非線性矢量函數(shù)。,假設(shè)原點(diǎn) 是平衡狀態(tài)， 對 可微， 系統(tǒng)的雅可比矩陣為：,（13）,則系統(tǒng)在原點(diǎn)漸近穩(wěn)定的充分條件是：任給正定實(shí)對稱陣P ，使下列 矩陣,（14）,是系統(tǒng)的一個李雅普諾大函數(shù)。,如果當(dāng) 時，還有 ，則系統(tǒng)在 是大范圍漸近 穩(wěn)定。,4.5.2 變量梯度法,變量梯度法也叫舒茨一基布遜(ShultzGibson)法，這是他們在1962 年提出的一種尋求李雅普諾夫函數(shù)較為實(shí)用的方法。,變量梯度法是以下列事實(shí)為基礎(chǔ)的：即如果找到一個特定的李雅普