函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù).ppt

1、函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù),（4）對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù):,（5）指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù):,（3）三角函數(shù) ：,（1）常函數(shù)：(C)/ 0, (c為常數(shù))；,（2）冪函數(shù) ： (xn)/ nxn1,1. 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式,復(fù)習(xí),2. 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則,（1）函數(shù)的和或差的導(dǎo)數(shù) (uv)/u/v/.,（3）函數(shù)的商的導(dǎo)數(shù) （ ） / = (v0).,（2）函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù) (uv)/u/v+v/u.,復(fù)習(xí),函數(shù) y = f (x) 在給定區(qū)間 G 上，當(dāng) x 1、x 2 G 且 x 1 x 2 時(shí),函數(shù)單調(diào)性判定,單調(diào)函數(shù)的圖象特征,1）都有 f ( x 1 ) f ( x 2 )，,則 f ( x ) 在G 上是增

2、函數(shù)；,2）都有 f ( x 1 ) f ( x 2 )，,則 f ( x ) 在G 上是減函數(shù)；,若 f(x) 在G上是增函數(shù)或減函數(shù)，,增函數(shù),減函數(shù),則 f(x) 在G上具有嚴(yán)格的單調(diào)性.,G 稱(chēng)為單調(diào)區(qū)間,G = ( a , b ),引入,(1) 函數(shù)的單調(diào)性也叫函數(shù)的增減性；,(2) 函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)某個(gè)區(qū)間而言的，它是個(gè)局部概念.這個(gè)區(qū)間是定義域的子集.,(3) 單調(diào)區(qū)間：針對(duì)自變量x而言的. 若函數(shù)在此區(qū)間上是增函數(shù)，則為單調(diào)遞增區(qū)間； 若函數(shù)在此區(qū)間上是減函數(shù)，則為單調(diào)遞減區(qū)間.,以前,我們用定義來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性.在假設(shè)x1x2的前提下,比較 f(x1) f(x2)與的大小,

3、在函數(shù)y= f(x)比較復(fù)雜的情況下,比較 f(x1)與 f(x2)的大小并不很容易.如果利用導(dǎo)數(shù)來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性就比較簡(jiǎn)單.,定義,我們已經(jīng)知道,曲線(xiàn)y=f (x)的切線(xiàn)的斜率就是函數(shù)y=f (x)的導(dǎo)數(shù).,從函數(shù)y=x2-4x+3的圖像可以看到:,在區(qū)間(2,+)內(nèi),切線(xiàn)的斜率為正,函數(shù)y=f (x)的值隨著x的增大而增大,即 0 時(shí),函數(shù)y=f (x) 在區(qū)間(2, +)內(nèi)為增函數(shù).,在區(qū)間(-,2)內(nèi),切線(xiàn)的斜率為負(fù),函數(shù)y= f (x)的值隨著x的增大而減小,即 0 時(shí),函數(shù)y=f (x) 在區(qū)間(-,2)內(nèi)為減函數(shù).,新課,f (x)0,f (x)0,由上我們可得以下的結(jié)論:,如

4、果在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有 ,則 為常數(shù).,定義:一般地,設(shè)函數(shù)y=f (x)在某個(gè)區(qū)間（a，b）內(nèi)有導(dǎo)數(shù),如果在 這個(gè)區(qū)間內(nèi) 0,那么函數(shù)y=f (x) 在為這個(gè)區(qū)間內(nèi) 的增函數(shù);如果在這個(gè)區(qū)間內(nèi) 0,那么函數(shù)y=f (x) 在為這個(gè)區(qū)間內(nèi)的減函數(shù).,例1: 確定函數(shù) f (x)=x2-2x+4在哪個(gè)區(qū)間內(nèi)是增函數(shù),哪個(gè)區(qū)間內(nèi)是減函數(shù).,解:,由2x-20, 解得x1, 因此, 當(dāng) 時(shí), f (x)是增函數(shù);,令2x-20, 解得x1, 因此, 當(dāng) 時(shí), f (x)是減函數(shù).,例題,例2: 討論 f (x)=x3-6x2+9x-3的單調(diào)性.,解: f (x)=3x2-12x+9,令3x2-12x+9

5、0, 解得 x3 或 x1, 因此, 當(dāng) 或 時(shí), f (x)是增函數(shù).,令3x2-12x+90, 解得1x3, 因此, 當(dāng) 時(shí), f (x)是減函數(shù).,例題,故f (x)在(-,1)和(3,+)內(nèi)是增函數(shù),在(1, 3)內(nèi)是減函數(shù).,而我們可以從右邊的函數(shù)的圖象看到上面的結(jié)論是正確的.,（一）利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)單調(diào)性的步驟:,(1) 求導(dǎo)數(shù),(2) 解不等式 0得f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間; 解不等式 0得f (x)的單調(diào)遞減區(qū)間.,例題,例4: 確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間: (1) f (x)=x/2+sinx;,解:(1)函數(shù)的定義域是R,令 ,解得,令 ,解得,因此, f(x)的遞增區(qū)間是:

6、遞減區(qū)間是:,例題,解:函數(shù)的定義域是(-1,+),(2) f (x)=x/2-ln(1+x)+1,由 即 得x1.,注意到函數(shù)的定義域是(-1,+),故f (x)的遞增區(qū)間是(1,+);,由 解得-1x1,故f (x)的遞減區(qū)間是(-1,1).,例題,說(shuō)明:函數(shù)的單調(diào)區(qū)間必定是它的定義域的子區(qū)間,故求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間一定首先要確定函數(shù)的定義域,在求出使導(dǎo)數(shù)的值為正或負(fù)的x的范圍時(shí),要與定義域求兩者的交集.,說(shuō)明,1.確定函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間.,解:,令 注意到 故f(x)的遞增區(qū)間是(0,100).,同理由 得x100,故f(x)的遞減區(qū)間是(100, +).,練習(xí),說(shuō)明: (1) 由于f (x)

7、在x=0處連續(xù),所以遞增區(qū)間可以擴(kuò)大到0,100)(或0,100).,(2) 雖然在x=100處導(dǎo)數(shù)為零,但在寫(xiě)單調(diào)區(qū)間時(shí),都可以把100包含在內(nèi).,說(shuō)明,2. 設(shè) f (x)=ax3+x恰有三個(gè)單調(diào)區(qū)間,試確定a的取值范 圍,并求其單調(diào)區(qū)間.,練習(xí),解:,若a0, 對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立,此時(shí)f(x)只有一 個(gè)單調(diào)區(qū)間,矛盾.,若a=0, 此時(shí)f(x)也只有一個(gè)單調(diào)區(qū)間,矛盾.,若a0,則 ,易知此時(shí)f(x) 恰有三個(gè)單調(diào)區(qū)間.,故a0,其單調(diào)區(qū)間是:,單調(diào)遞增區(qū)間:,單調(diào)遞減區(qū)間: 和,參考答案,1. 在利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí),首先要確定函數(shù)的定義域,解決問(wèn)題的過(guò)程中,只能在函數(shù)的定義域內(nèi), 通過(guò)討論導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.,2. 在對(duì)函數(shù)劃分單調(diào)區(qū)間時(shí),除了必須確定使導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)外,還要注意在定義域內(nèi)的不連續(xù)點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn).,3. 注意在某一區(qū)間內(nèi) ()0只是函數(shù)f (x)在該區(qū)間上為增(減)函數(shù)的充分不必要條件.,小結(jié),6. 利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,是導(dǎo)數(shù)幾何 意義在研究曲線(xiàn)變化規(guī)律的一個(gè)應(yīng)用,它充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.,5. 若函數(shù)f (x)在開(kāi)區(qū)間(a, b)上具有單調(diào)性.則當(dāng)函數(shù)f (x) 時(shí)在閉區(qū)間a, b上連續(xù),那么單調(diào)區(qū)間可以擴(kuò)大到閉區(qū)間