有限單元法原理及應(yīng)用課件

1、有限單元法原理及應(yīng)用,1,感謝大學(xué)力學(xué)論壇網(wǎng)友分享,更多分享、交流盡在：,有限單元法原理及應(yīng)用簡(jiǎn)明教程,有限單元法原理及應(yīng)用,2,有限單元法原理及應(yīng)用簡(jiǎn)明教程,高秀華 張小江 王歡 編著,田陽(yáng)陽(yáng) 張小江 制作,有限單元法原理及應(yīng)用,內(nèi)容結(jié)構(gòu),第一章 概述,第八章 關(guān)于板殼單元,第九章 結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析的有限單元法,第六章 空間問(wèn)題的有限單元法,第七章 軸對(duì)稱旋轉(zhuǎn)單元,第十章 結(jié)構(gòu)非線形分析的有限單元法簡(jiǎn)介,第五章 等參元,第四章 平面結(jié)構(gòu)問(wèn)題的有限單元法,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,第二章 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析,有限單元法原理及應(yīng)用,4,第一章 概述,1.1 有限單元法的概念,返回全書目錄,

2、1.2 有限單元法基本步驟,1.3 工程實(shí)例,有限單元法原理及應(yīng)用,5,第一章 概述,1.1 有限單元法的概念,基本思想:借助于數(shù)學(xué)和力學(xué)知識(shí)，利用計(jì)算機(jī)技術(shù)而解決工程技術(shù)問(wèn)題 三大類型(按其推導(dǎo)方法分): (1) 直接剛度法(簡(jiǎn)稱直接法): 根據(jù)單元的物理意義，建立有關(guān)場(chǎng)變量表示的單元性質(zhì)方程。 (2) 變分法 直接從求解泛函的極值問(wèn)題入手，把泛函的極植問(wèn)題規(guī)劃成線性代數(shù)方程組，然后求其近似解的一種計(jì)算方法。 (3) 加權(quán)余量法 直接從控制方程中得到有限單元方程，是一種近似解法。,返回章節(jié)目錄,有限單元法原理及應(yīng)用,6,1.2 有限單元法基本步驟,(1) 待求解域離散化 (2) 選擇插值函數(shù)

3、 (3) 形成單元性質(zhì)的矩陣方程 (4) 形成整體系統(tǒng)的矩陣方程 (5) 約束處理，求解系統(tǒng)方程 (6) 其它參數(shù)計(jì)算,第一章 概述,返回章節(jié)目錄,有限單元法原理及應(yīng)用,7,圖1-2 工程問(wèn)題有限單元法分析流程,第一章 概述,有限單元法原理及應(yīng)用,8,1.3 工程實(shí)例,(a) 鏟運(yùn)機(jī)舉升工況測(cè)試,第一章 概述,(b) 鏟運(yùn)機(jī)工作裝置插入工況有限元分析,圖1-3 WJD-1.5型電動(dòng)鏟運(yùn)機(jī),返回章節(jié)目錄,有限單元法原理及應(yīng)用,9,第一章 概述,(a) KOMATSU液壓挖掘機(jī) (b) 某液壓挖掘機(jī)動(dòng)臂限元分析 圖1-4 液壓挖掘機(jī),有限單元法原理及應(yīng)用,10,圖1-5 駕駛室受側(cè)向力應(yīng)力云圖 圖

4、1-6 接觸問(wèn)題結(jié)構(gòu)件應(yīng)力云圖,第一章 概述,有限單元法原理及應(yīng)用,11,第一章 概述,圖1-7 液壓管路速度場(chǎng)分布云圖 圖1-8 磨片熱應(yīng)力云圖,圖1-9 支架自由振動(dòng)云圖,有限單元法原理及應(yīng)用,12,第二章 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析,2.1 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造的必要性,2.2 結(jié)構(gòu)計(jì)算基本知識(shí),2.3 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析的自由度與約束,2.4 自由度計(jì)算公式,2.5 結(jié)構(gòu)幾何不變結(jié)構(gòu)組成規(guī)律,2.6 平面結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析示例,2.7 空間結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析,返回全書目錄,有限單元法原理及應(yīng)用,13,2.1 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造的必要性,結(jié)構(gòu)是用來(lái)承受和傳遞載荷的。如果不計(jì)材料的應(yīng)變，在其受到任意載荷作用時(shí)其形狀和位

5、置沒有發(fā)生剛體位移時(shí)，稱之為幾何不變結(jié)構(gòu)或幾何穩(wěn)定結(jié)構(gòu)，反之則稱為幾何可變結(jié)構(gòu)或幾何不穩(wěn)定結(jié)構(gòu)。幾何可變結(jié)構(gòu)不能承受和傳遞載荷。對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行幾何構(gòu)造分析也是能夠?qū)こ探Y(jié)構(gòu)作有限單元法分析的必要條件。,第二章 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析,返回章節(jié)目錄,有限單元法原理及應(yīng)用,14,(a) 結(jié)構(gòu)本身可變 (b) 缺少必要的約束條件 (c) 約束匯交于一點(diǎn) 圖2-1 幾何可變結(jié)構(gòu),第二章 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析,有限單元法原理及應(yīng)用,15,2.2 結(jié)構(gòu)計(jì)算基本知識(shí),2.2.1 結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖,實(shí)際結(jié)構(gòu)總是很復(fù)雜的，完全按照結(jié)構(gòu)的實(shí)際情況進(jìn)行力學(xué)分析是不可能的，也是不必要的，因此在對(duì)實(shí)際結(jié)構(gòu)進(jìn)行力學(xué)計(jì)算之前，必須將其作合理

6、的簡(jiǎn)化，使之成為既反映實(shí)際結(jié)構(gòu)的受力狀態(tài)與特點(diǎn)，又便于計(jì)算的幾何圖形。這種被抽象化了的簡(jiǎn)單的理想圖形稱之為結(jié)構(gòu)的計(jì)算簡(jiǎn)圖，有時(shí)也稱為結(jié)構(gòu)的力學(xué)模型。 結(jié)構(gòu)計(jì)算所常用的結(jié)點(diǎn)和支座的簡(jiǎn)化形式: （1）結(jié)點(diǎn)： 鉸結(jié)點(diǎn)； 剛結(jié)點(diǎn)； 混合結(jié)點(diǎn)。 （2）支座： 活動(dòng)鉸支座； 固定鉸支座 ； 固定支座 ； 定向支座,第二章 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析,返回章節(jié)目錄,有限單元法原理及應(yīng)用,16,2.2.2 結(jié)構(gòu)的分類與基本特征,按結(jié)構(gòu)在空間的位置分 結(jié)構(gòu)可分為平面結(jié)構(gòu)和空間結(jié)構(gòu)兩大類 (2) 按結(jié)構(gòu)元件的幾何特征分 桿系結(jié)構(gòu)： 梁、拱、桁架、剛架、桁構(gòu)結(jié)構(gòu)等 。 板殼結(jié)構(gòu) 實(shí)體結(jié)構(gòu)實(shí)體結(jié)構(gòu)的長(zhǎng)、寬、高三個(gè)尺寸都很 大，

7、具有同一量級(jí)。 混合結(jié)構(gòu),第二章 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析,有限單元法原理及應(yīng)用,17,(3) 按結(jié)構(gòu)自由度分 靜定結(jié)構(gòu)自由度為零的幾何不變結(jié)構(gòu)。其特征: a. 靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力及支座反力可全部由平衡方程式求出，并且解答是唯一的。 b. 靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力及支座反力與材料的性質(zhì)和截面特征（幾何尺寸，形狀）無(wú)關(guān)。 c. 靜定結(jié)構(gòu)上無(wú)外載荷作用時(shí)，其內(nèi)力及支座反力全為零。 d. 若靜定結(jié)構(gòu)在載荷作用下， 結(jié)構(gòu)中的某一部分能不依靠于其它部分， 獨(dú)立地與載荷保持平衡時(shí)，則其它部分的內(nèi)力為零。 e. 當(dāng)將一平衡力系作用于靜定結(jié)構(gòu)的一個(gè)幾何不變部分時(shí)，結(jié)構(gòu)的其余部分都無(wú)內(nèi)力產(chǎn)生。 f. 當(dāng)靜定結(jié)構(gòu)中的一個(gè)內(nèi)部幾何不變部

8、分上的載荷作等效變換時(shí)，其余部分的內(nèi)力不變。 g. 當(dāng)靜定結(jié)構(gòu)中的一個(gè)內(nèi)部?jī)汉尾蛔儾糠肿鳂?gòu)造改變時(shí)，其余部分的內(nèi)力不變。,第二章 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析,有限單元法原理及應(yīng)用,18,超靜定結(jié)構(gòu)自由度大于零的幾何不變結(jié)構(gòu)。其特性： a. 超靜定結(jié)構(gòu)僅僅滿足靜力平衡條件的解有無(wú)窮多個(gè)，但同時(shí)滿足結(jié)構(gòu)變形協(xié)調(diào)條件的解僅有一個(gè)。 b. 超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力及支反力不僅與載荷有關(guān)，而且與林料的力學(xué)性能和截面尺寸有關(guān)。 c. 超靜定結(jié)構(gòu)在非載荷因素作用下，如溫度變化、支座沉陷、制造誤差等而產(chǎn)生的位移會(huì)受到多余約束的限制，結(jié)構(gòu)內(nèi)必將產(chǎn)生內(nèi)力。 d. 超靜定結(jié)構(gòu)中的多余約束破壞后，結(jié)構(gòu)仍然保持幾何不變性，因而仍有一定的

9、承載能力， 不致整個(gè)結(jié)構(gòu)遭受破壞。 e. 超靜定結(jié)構(gòu)由于具有多余的約束，因而比相應(yīng)的靜定結(jié)構(gòu)具有較大的剛度和穩(wěn)定性， 在載荷作用下，內(nèi)力分布也較均勻，且內(nèi)力峰值也較靜定結(jié)構(gòu)為小。,第二章 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析,有限單元法原理及應(yīng)用,19,第二章 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析,(1) 具有奇數(shù)跨的剛架 正對(duì)稱載荷作用,2.2.3 結(jié)構(gòu)對(duì)稱性的利用 對(duì)稱結(jié)構(gòu)在正對(duì)稱載荷下，對(duì)稱軸截面上只能產(chǎn)生正對(duì)稱的位移，反對(duì)稱的位移為零；對(duì)稱結(jié)構(gòu)在反對(duì)稱載荷下，對(duì)稱軸截面上只有反對(duì)稱的位移，正對(duì)稱的位移為零。,(a) 對(duì)稱剛架 （b) 變形狀態(tài)分析 (c) 對(duì)稱性利用 圖2-22對(duì)稱性利用示意圖,有限單元法原理及應(yīng)用,20,

10、對(duì)稱剛架承受反對(duì)稱載荷作用,(a) 對(duì)稱剛架 (b) 變形狀態(tài)分析 (c) 反對(duì)稱性利用 圖2-23 反對(duì)稱性利用示意圖,第二章 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析,有限單元法原理及應(yīng)用,21,(a) 變形狀態(tài)分析 (b) 對(duì)稱性利用 圖2-24對(duì)稱性利用示意圖,(2) 具有偶數(shù)跨的剛架 正對(duì)稱載荷作用,第二章 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析,有限單元法原理及應(yīng)用,22, 反對(duì)稱載荷作用,(b) 反對(duì)稱性狀態(tài)分析,第二章 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析,(a) 變形狀態(tài)分析,(c) 反對(duì)稱性受力分析 (d) 反對(duì)稱性利用 圖2-25對(duì)稱性利用示意圖,有限單元法原理及應(yīng)用,23,2.3 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析的自由度與約束,(1) 自由度 指結(jié)構(gòu)

11、在所在空間運(yùn)動(dòng)時(shí)，可以獨(dú)立改變的幾何參數(shù)的數(shù)目，也就是確定該結(jié)構(gòu)位置時(shí)所需的獨(dú)立參數(shù)的數(shù)目。 (2) 約束 指減少結(jié)構(gòu)自由度的裝置，即限制結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)的裝置。 a. 支座鏈桿的約束 b. 鉸的約束: 單鉸； 復(fù)鉸； 完全鉸與不完全鉸。,第二章 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析,返回章節(jié)目錄,有限單元法原理及應(yīng)用,24,第二章 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析,(1)桁架自由度計(jì)算公式,一個(gè)平面體系的自由度計(jì)算結(jié)果，不外下述三種可能： a. W0 表明結(jié)構(gòu)缺少必要的約束， 可運(yùn)動(dòng)， 故結(jié)構(gòu)必定是幾何可變體系。 b. W=0 表明結(jié)構(gòu)具有保證幾何不變所需的最少的約束數(shù)。 c. W0 表明結(jié)構(gòu)具有多余約束。,2.4 自由度計(jì)算公式

12、,桁架中的結(jié)點(diǎn)數(shù)為j，桿件數(shù)為g，支座鏈桿數(shù)為z，則桁架的自由度W 為,(2) 平面混合結(jié)構(gòu)的自由度計(jì)算公式,返回章節(jié)目錄,有限單元法原理及應(yīng)用,25,2.5 結(jié)構(gòu)幾何不變結(jié)構(gòu)組成規(guī)律,結(jié)構(gòu)的自由度W0是組成幾何不變體系的必要條件，但不是充分條件。 (1) 二元體規(guī)則 由兩根不在同一條直線上的鏈桿聯(lián)結(jié)一個(gè)新結(jié)點(diǎn)所組成的結(jié)構(gòu)稱為二元體。二元體規(guī)則是指在一個(gè)幾何不變結(jié)構(gòu)上，由增加二元體而發(fā)展的結(jié)構(gòu)，是一個(gè)幾何不變結(jié)構(gòu)。鉸接三角形是最簡(jiǎn)單的幾何不變結(jié)構(gòu)。,第二章 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析,圖2-31 鉸接三角形,返回章節(jié)目錄,有限單元法原理及應(yīng)用,26,(a) 瞬變結(jié)構(gòu) (b) 分離體分析 (c) 平衡狀態(tài)

13、分析 圖2-32 瞬變結(jié)構(gòu),結(jié)構(gòu)的特征是：當(dāng)它受載荷作用時(shí)會(huì)產(chǎn)生微小的位移， 但位移一旦發(fā)生后， 即轉(zhuǎn)變成一幾何不變結(jié)構(gòu)，但結(jié)構(gòu)的內(nèi)力可能為無(wú)限大值或不定值，這樣的結(jié)構(gòu)稱為瞬變結(jié)構(gòu)。顯然，瞬變結(jié)構(gòu)在工程結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中應(yīng)盡量避免。,第二章 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析,有限單元法原理及應(yīng)用,27,第二章 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析,(a) 鉸與鏈桿連接兩剛片 (b) 三鏈桿連接兩剛片 圖2-33 兩剛片連接規(guī)則,(2) 兩剛片規(guī)則 兩剛片用三根既不完全平行也不交于同一點(diǎn)的鏈桿相聯(lián)，所得結(jié)構(gòu)是幾何不變結(jié)構(gòu)。,有限單元法原理及應(yīng)用,28,第二章 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析,(a) 瞬變結(jié)構(gòu) (b) 常變結(jié)構(gòu) (c) 瞬變結(jié)構(gòu) 圖2-3

14、4 兩剛片連接可變結(jié)構(gòu),有限單元法原理及應(yīng)用,29,(3) 三剛片規(guī)則 三個(gè)剛片用不在同一直線上的三個(gè)單鉸兩兩相聯(lián)，所得結(jié)構(gòu)是幾何不變結(jié)構(gòu)。,圖2-35 基本三角形結(jié)構(gòu) 圖2-36 三剛片規(guī)則示意圖,第二章 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析,有限單元法原理及應(yīng)用,30,2.6 平面結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析示例,(a) 結(jié)構(gòu)示例 (b) 錯(cuò)誤分析 (c) 分析 圖2-37 兩剛片連接可變結(jié)構(gòu),解：此結(jié)構(gòu)可采用平面桁架結(jié)構(gòu)自由度計(jì)算公式，其中 j=6， g=8， z= 4,第二章 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析,返回章節(jié)目錄,有限單元法原理及應(yīng)用,31,第二章 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析,結(jié)構(gòu)組成分析如下，由于此結(jié)構(gòu)有四根支座鏈桿，故不能簡(jiǎn)單的

15、從結(jié)構(gòu)本身內(nèi)部組成分析入手，應(yīng)按三剛片規(guī)則考慮。首先選擇三個(gè)剛片。在此可將基礎(chǔ)視為剛片。但應(yīng)注意，不能如圖2-37(b)所示那樣將基本三角形ABD和BCE作為剛片和。這樣的話無(wú)法找到兩剛片兩兩相聯(lián)接的對(duì)應(yīng)關(guān)系。 按圖2-37(c)所示，可把基礎(chǔ)及在基礎(chǔ)上增加的由支座鏈桿、組成的二元體一起看成剛片，并選基本三角形BCE 為剛片， 桿件DF為剛片， 則三剛片間的相互聯(lián)接關(guān)系如下: 剛片和間用桿件DB、FE相聯(lián)，虛鉸位置在此二平行桿件延長(zhǎng)線的無(wú)窮遠(yuǎn)處；,有限單元法原理及應(yīng)用,32,2.7 空間結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析,空間幾何不變結(jié)構(gòu)的組成規(guī)律簡(jiǎn)述如下： 規(guī)律1 空間中一點(diǎn)與一剛體用三根鏈桿相連且三鏈桿不在

16、同一平面內(nèi)，則組成幾何不變的結(jié)構(gòu)、且無(wú)多余約束。,第二章 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析,剛片和間用桿件DA及支座鏈桿相聯(lián)，虛鉸位置在F點(diǎn)； 剛片和用桿件BA、支座鏈桿相聯(lián)， 虛鉸位置在C點(diǎn)。 三鉸C、F、 可看成位于同一條直線上，該結(jié)構(gòu)不符合三剛片規(guī)則，故此結(jié)構(gòu)為幾何瞬變結(jié)構(gòu)。,返回章節(jié)目錄,有限單元法原理及應(yīng)用,33,(a) 空間點(diǎn)與基礎(chǔ)連接 (b) 瞬變結(jié)構(gòu) (c) 鉸接四面體 圖2-38 兩剛片連接可變結(jié)構(gòu),圖2-39 簡(jiǎn)單空間桁架 圖2-40 空間網(wǎng)狀結(jié)構(gòu),規(guī)律2 一個(gè)幾何不變結(jié)構(gòu)（或剛體）與基礎(chǔ)用六根即不平行也不相交于同一條直線的鏈桿相聯(lián)，所組成的結(jié)構(gòu)是幾何不變的結(jié)構(gòu)，且無(wú)多余約束。,第二章 結(jié)

17、構(gòu)幾何構(gòu)造分析,有限單元法原理及應(yīng)用,34,(a) 空間幾何不變結(jié)構(gòu) (b) 瞬變結(jié)構(gòu),(c) 可變結(jié)構(gòu) (d) 常變結(jié)構(gòu) 圖2-41 空間結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析,規(guī)律3 一個(gè)幾何不變結(jié)構(gòu)（ 或剛體 ）與另一個(gè)幾何不變結(jié)構(gòu)（或剛體）用六根即不平行也不相交于同一條直線的鏈桿相聯(lián)，所組成的結(jié)構(gòu)是幾何不變的結(jié)構(gòu)，且無(wú)多余約束。,第二章 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析,有限單元法原理及應(yīng)用,35,3.1 結(jié)構(gòu)離散與向量表示,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,返回全書目錄,3.2 位移函數(shù)及單元的剛度矩陣,3.3 坐標(biāo)變換及單元?jiǎng)偠染仃?3.4 整體剛度矩陣,3.5 約束處理及求解,3.6 計(jì)算示例,3.7 ANSYS

18、桁架結(jié)構(gòu)計(jì)算示例,3.8ANSYS剛架結(jié)構(gòu)計(jì)算示例,有限單元法原理及應(yīng)用,36,3.1 結(jié)構(gòu)離散與向量表示,工程上許多由金屬構(gòu)件所組成的結(jié)構(gòu)，如塔式桁構(gòu)支承架、起重機(jī)起重臂架、鋼結(jié)構(gòu)橋梁、鋼結(jié)構(gòu)建筑等可以歸結(jié)為桿系結(jié)構(gòu)。桿系結(jié)構(gòu)按各桿軸線及外力作用線在空間的位置分為平面桿系和空間桿系結(jié)構(gòu)。 桿系結(jié)構(gòu)可以由桿單元、梁?jiǎn)卧M成。,(a) Liebherr塔式起重機(jī) (b) Liebherr履帶式起重機(jī),(c) 鋼結(jié)構(gòu)橋梁 (d) 埃菲爾鐵塔 圖3-1 桿系結(jié)構(gòu),第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,返回章節(jié)目錄,有限單元法原理及應(yīng)用,37,3.1.1 結(jié)構(gòu)離散化,由于桿系結(jié)構(gòu)本身是由真實(shí)桿件聯(lián)接而

19、成，故離散化比較簡(jiǎn)單，一般將桿件或者桿件的一段( 一根桿又分為幾個(gè)單元 )作為一個(gè)單元，桿件與桿件相連接的交點(diǎn)稱為結(jié)點(diǎn)。 桿系結(jié)構(gòu)的離散化的要點(diǎn)可參考如下： a. 桿件的轉(zhuǎn)折點(diǎn)、匯交點(diǎn)、自由端、集中載荷作用點(diǎn)、支承點(diǎn)以及沿桿長(zhǎng)截面突變處等均可設(shè)置成結(jié)點(diǎn)。這些結(jié)點(diǎn)都是根據(jù)結(jié)構(gòu)本身特點(diǎn)來(lái)確定的。 b. 結(jié)構(gòu)中兩個(gè)結(jié)點(diǎn)間的每一個(gè)等截面直桿可以設(shè)置為一個(gè)單元。 變換為作用在結(jié)點(diǎn)上的等效結(jié)點(diǎn)載荷。,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,有限單元法原理及應(yīng)用,38,c. 變截面桿件可分段處理成多個(gè)單元，取各段中點(diǎn)處的截面近似作為該單元的截面，各單元仍按等截面桿進(jìn)行計(jì)算。 d. 對(duì)曲桿組成的結(jié)構(gòu)，可用多段折

20、線代替，每端折線為一個(gè)單元。如若提高計(jì)算精度，也可以在桿件中間增加結(jié)點(diǎn)。 e. 在有限元法計(jì)算中，載荷作用到結(jié)點(diǎn)上。當(dāng)結(jié)構(gòu)有非結(jié)點(diǎn)載荷作用時(shí)，應(yīng)該按照靜力等效的原則將其,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,(a) 結(jié)點(diǎn)載荷處理方式 (b) 等效結(jié)點(diǎn)載荷處理方式 圖3-2桿系結(jié)構(gòu)離散化示意圖,有限單元法原理及應(yīng)用,39,3.1.2 坐標(biāo)系,圖3-3 坐標(biāo)系示意圖,為了建立結(jié)構(gòu)的平衡條件，對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行整體分析，尚需要建立一個(gè)對(duì)每個(gè)單元都適用的統(tǒng)一坐標(biāo)系，即結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系或稱之為整體坐標(biāo)系、總體坐標(biāo)系。,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,有限單元法原理及應(yīng)用,40,3.1.3 向量表示,在有限單元法

21、中力學(xué)向量的規(guī)定為：當(dāng)線位移及相應(yīng)力與坐標(biāo)軸方向一致時(shí)為正，反之為負(fù)；轉(zhuǎn)角位移和力矩，按右手法則定出的矢量方向若與坐標(biāo)軸正向相一致時(shí)為正。對(duì)于任意方向的力學(xué)向量，應(yīng)分解為沿坐標(biāo)軸方向的分量。,剛架結(jié)構(gòu)示意圖 (b) 結(jié)點(diǎn)位移和結(jié)點(diǎn)力分向量 圖3-4 平面剛架分析示意圖,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,有限單元法原理及應(yīng)用,41,結(jié)點(diǎn)位移列向量為,單元e結(jié)點(diǎn)位移列向量為,結(jié)點(diǎn)力向量為,單元e結(jié)點(diǎn)力列向量為,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,有限單元法原理及應(yīng)用,42,3.2 位移函數(shù)及單元的剛度矩陣,3.2.1 軸向拉壓桿單元的位移的函數(shù),有限單元法分析中，雖然對(duì)不同結(jié)構(gòu)可能會(huì)采取不同

22、的單元類型，采用的單元的位移模式不同，但是構(gòu)建的位移函數(shù)的數(shù)學(xué)模型的性能、能否真實(shí)反映真實(shí)結(jié)構(gòu)的位移分布規(guī)律等，直接影響計(jì)算結(jié)果的真實(shí)性、計(jì)算精度及解的收斂性。 為了保證解的收斂性，選用的位移函數(shù)應(yīng)當(dāng)滿足下列要求: a. 單元位移函數(shù)的項(xiàng)數(shù)，至少應(yīng)等于單元的自由度數(shù)。它的階數(shù)至少包含常數(shù)項(xiàng)和一次項(xiàng)。至于高次項(xiàng)要選取多少項(xiàng)，則應(yīng)視單元的類型而定。,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,返回章節(jié)目錄,有限單元法原理及應(yīng)用,43,由單元結(jié)點(diǎn)位移，確定待定系數(shù)項(xiàng) 當(dāng) 時(shí)， 當(dāng) 時(shí)， 所以 用結(jié)點(diǎn)位移表示 其中 、 分別表示當(dāng) ， 時(shí)； ， 時(shí)的單元內(nèi)的軸向位移狀態(tài)，故稱為軸向位移形函數(shù)。,第三章 桿系

23、結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,b. 單元的剛體位移狀態(tài)和應(yīng)變狀態(tài)應(yīng)當(dāng)全部包含在位移函數(shù)中。 c. 單元的位移函數(shù)應(yīng)保證在單元內(nèi)連續(xù)，以及相鄰單元之間的位移協(xié)調(diào)性。,有限單元法原理及應(yīng)用,44,3.2.2 梁?jiǎn)卧矫鎻澢奈灰坪瘮?shù) 梁?jiǎn)卧矫鎻澢鷥H考慮結(jié)點(diǎn)的四個(gè)位移分量 ， ， ， ，由材料力學(xué)知,各截面的轉(zhuǎn)角: 故梁?jiǎn)卧矫鎻澢奈灰票磉_(dá)式可分為僅包含四個(gè)待定系數(shù) ， ， ， 的多項(xiàng)式 單元結(jié)點(diǎn)位移條件 當(dāng) 時(shí) ， 當(dāng) 時(shí) ，,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,有限單元法原理及應(yīng)用,45,稱為形函數(shù)矩陣。,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,有限單元法原理及應(yīng)用,46,3.2.3 單元的應(yīng)力

24、應(yīng)變 在彈性范圍內(nèi)，并且不考慮剪力的影響時(shí)，平面剛架單元內(nèi)任一點(diǎn)的軸向線應(yīng)變由兩部分組成，即軸向應(yīng)變與彎曲應(yīng)變之和，其軸向應(yīng)變與平面桁架軸向應(yīng)變相同。 軸向應(yīng)變?yōu)?彎曲應(yīng)變?yōu)?y為梁?jiǎn)卧我饨孛嫔先我恻c(diǎn)至中性軸 (x軸)的距離。 得出平面剛架單元應(yīng)變,圖3-5 彎曲應(yīng)變計(jì)算示意圖,則,平面剛架梁?jiǎn)卧膽?yīng)變轉(zhuǎn)換矩陣。,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,有限單元法原理及應(yīng)用,47,3.2.4 平面剛架梁?jiǎn)卧膭偠染仃?梁?jiǎn)卧膇，j結(jié)點(diǎn)發(fā)生虛位移為,單元內(nèi)相應(yīng)的虛應(yīng)變應(yīng)為,由虛功原理有,由于結(jié)點(diǎn)虛位移 的任意性，故上式可寫成,上式稱為局部坐標(biāo)下的平面剛架單元的剛度方程，簡(jiǎn)稱為單剛。,第三章 桿

25、系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,有限單元法原理及應(yīng)用,48,橫截面積A 橫截面對(duì)形心軸z的靜矩S 橫截面對(duì)主慣性軸z的慣性矩I 得到四個(gè)3 3子塊所組成的局部坐標(biāo)系下的平面剛架梁?jiǎn)卧膯卧獎(jiǎng)偠染仃嚒?第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,有限單元法原理及應(yīng)用,49,平面桁架的單元?jiǎng)偠染仃嚍?空間桁架單元每個(gè)結(jié)點(diǎn)有3個(gè)位移分量，其單元結(jié)點(diǎn)位移列向量,空間桁架局部坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃囀?6的,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,有限單元法原理及應(yīng)用,50,空間剛架單元每個(gè)結(jié)點(diǎn)有6個(gè)位移分量，其單元結(jié)點(diǎn)位移列向量,空間剛架局部坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃囀?212的。,(a) 桿單元i端產(chǎn)生單位位移 (b)

26、桿單元j端產(chǎn)生單位位移 圖3-6 平面桁架單元?jiǎng)偠认禂?shù)的物理意義,(a) 梁?jiǎn)卧猧端產(chǎn)生單位位移 (b) 梁?jiǎn)卧猨端產(chǎn)生單位位移,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,有限單元法原理及應(yīng)用,51,(c) 梁?jiǎn)卧猧端產(chǎn)生單位角位移 (d) 梁?jiǎn)卧猨端產(chǎn)生單位角位移 圖3-7 平面剛架單元?jiǎng)偠认禂?shù)的物理意義,3.2.5 單元的剛度矩陣的性質(zhì) a. 單元?jiǎng)偠染仃噧H與單元的幾何特征和材料性質(zhì)有關(guān)。僅與單元的橫截面積A、慣性矩I、單元長(zhǎng)度l、單元的彈性模量E有關(guān)。 b. 單元?jiǎng)偠染仃囀且粋€(gè)對(duì)稱陣。在單元?jiǎng)偠染仃噷?duì)角線兩側(cè)對(duì)稱位置上的兩個(gè)元素?cái)?shù)值相等，即，根據(jù)是反力互等定理。 c. 單元?jiǎng)偠染仃囀且粋€(gè)奇異

27、陣。 d. 單元?jiǎng)偠染仃嚳梢苑謮K矩陣的形式表示。具有確定的物理意義。,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,有限單元法原理及應(yīng)用,52,3.3 坐標(biāo)變換及單元?jiǎng)偠染仃?3.3.1 坐標(biāo)變換 在整體坐標(biāo)系中單元結(jié)點(diǎn)力向量和結(jié)點(diǎn)位移列向量 可分別表示成,(a) 向量轉(zhuǎn)換分析 (b) 向量轉(zhuǎn)換 圖3-8 向量轉(zhuǎn)換示意圖,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,返回章節(jié)目錄,有限單元法原理及應(yīng)用,53,對(duì)于梁?jiǎn)卧鐖D3-8(b)所示，則有,可簡(jiǎn)寫為,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,有限單元法原理及應(yīng)用,54,同理,式中 平面剛架梁?jiǎn)卧膹木植孔鴺?biāo)系向整體坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣。,3.3.2 整體坐標(biāo)系下

28、的單元?jiǎng)偠染仃?式中 整體坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃嚒?和 一樣， 為對(duì)稱陣、奇異陣。,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,有限單元法原理及應(yīng)用,55,3.4 整體剛度矩陣,3.4.1 整體剛度矩陣的建立 整體剛度矩陣也稱之為結(jié)構(gòu)剛度矩陣或總體剛度 矩陣，簡(jiǎn)稱總剛。 整體剛度矩陣的求解是建立在結(jié)構(gòu) 平衡條件的基礎(chǔ)之上， 因此研究對(duì)象以整體坐標(biāo)系為 依據(jù)。,圖3-9 載荷向量示意圖,如右圖所示剛架結(jié)構(gòu)，其結(jié)點(diǎn)載荷列向量分別為,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,返回章節(jié)目錄,有限單元法原理及應(yīng)用,56,結(jié)構(gòu)載荷列向量,結(jié)點(diǎn)位移列向量,建立結(jié)點(diǎn)平衡條件方程式如右表。,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單

29、元法,有限單元法原理及應(yīng)用,57,用分塊矩陣的形式，建立桿端內(nèi)力與結(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系式。,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,有限單元法原理及應(yīng)用,58,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,有限單元法原理及應(yīng)用,59,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,有限單元法原理及應(yīng)用,60,單元?jiǎng)偠染仃囉?2的子矩陣組成， 每個(gè)子矩陣是33的方陣。 的上角標(biāo)表示單元編號(hào)，下角標(biāo)表示單元j端單位位移所引起的i端相應(yīng)力。 將桿端內(nèi)力與結(jié)點(diǎn)位移關(guān)系式代入結(jié)點(diǎn)的平衡條件方程式中，經(jīng)整理得：,簡(jiǎn)寫為,稱之為結(jié)構(gòu)原始平衡方程。其中,為整體剛度矩 陣。,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,有限單元法原理及應(yīng)用,6

30、1,3.4.2 整體剛度矩陣的集成 整體剛度矩陣是由在整體坐標(biāo)系下，矩陣按照結(jié)點(diǎn)編號(hào)的順序組成的行和列的原則，將全部單元?jiǎng)偠染仃嚁U(kuò)展成nn方陣后對(duì)號(hào)入座疊加得到。,對(duì)于單元1,對(duì)于單元2,對(duì)于單元3,單元?jiǎng)偠染仃嚰傻贸稣w剛度矩陣,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,有限單元法原理及應(yīng)用,62,3.4.3 整體剛度矩陣的性質(zhì) 整體剛度矩陣 中位于主對(duì)角線上的子塊 ，稱為主子塊，其余 為副子塊。 a. 中主子塊 由結(jié)點(diǎn)i的各相關(guān)單元的主子塊擴(kuò)展之后疊加求得，即 b. 當(dāng)結(jié)點(diǎn)i、 j為單元e的相關(guān)結(jié)點(diǎn)時(shí)， 中副子塊 為該單元e相應(yīng)的副子塊，即 。 c. 當(dāng)結(jié)點(diǎn)i、 j為非相關(guān)結(jié)點(diǎn)時(shí)， 中副子塊

31、 為零子塊，即 。 d. 僅與各單元的幾何特性、材料特性，即A、I、l、E等因素有關(guān)。 e. 為對(duì)稱方陣， f. 為奇異矩陣，其逆矩陣不存在，因?yàn)榻⒄w剛度矩陣時(shí)沒有考慮結(jié)構(gòu)的邊界約束條件。,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,有限單元法原理及應(yīng)用,63,g. 為稀疏矩陣，整體剛度矩陣中的非零元素分布區(qū)域的寬度與結(jié)點(diǎn)編號(hào)有關(guān)，非零元素分布在以對(duì)角線為中心的帶狀區(qū)域內(nèi)，稱為帶狀分布規(guī)律，見圖3-10(a)。在包括對(duì)角線元素在內(nèi)的區(qū)域中，每行所具有的元素個(gè)數(shù)叫做把半帶寬，以d表示。 最大半帶寬等于相鄰結(jié)點(diǎn)號(hào)的最大差值加 1 與結(jié)點(diǎn)自由度數(shù)的乘積，結(jié)點(diǎn)號(hào)差越大半帶寬也就越大。計(jì)算機(jī)以半帶寬方式存

32、儲(chǔ)，見圖3-10(b)。半帶寬越窄，計(jì)算機(jī)的存儲(chǔ)量就越少，而且可以大幅度減少求解方程所需的運(yùn)算次數(shù)。其效果對(duì)大型結(jié)構(gòu)顯得尤為突出。 圖3-10 整體剛度矩陣存儲(chǔ)方法 h. 整體剛度矩陣稀疏陣。 故整體剛度矩陣不能求逆，必須作約束處理方能正確地將結(jié)點(diǎn)位移求出，進(jìn)而求出結(jié)構(gòu)的應(yīng)力場(chǎng)。,(a) 帶狀分布規(guī)律,(b) 帶狀存儲(chǔ),第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,有限單元法原理及應(yīng)用,64,3.5 約束處理及求解,3.5.1 約束處理的必要性 建立結(jié)構(gòu)原始平衡方程式 時(shí)，并未考慮支承條件（約束），也就是說(shuō)，將原始結(jié)構(gòu)處理成一個(gè)自由懸空的、存在剛體位移的幾何可變結(jié)構(gòu)。整體剛度矩陣是奇異矩陣，因此，無(wú)法

33、求解?？梢詤⒄盏?2 章的原則，結(jié)合實(shí)際工程結(jié)構(gòu)引入支承條件，即對(duì)結(jié)構(gòu)原始平衡方程式 做約束處理。 約束處理后的方程稱為基本平衡方程。 統(tǒng)一記為,3.5.2 約束處理方法 約束處理常用方法有填0置1法和乘大數(shù)法。采用這兩種方法不會(huì)破壞整體剛度矩陣的對(duì)稱性、稀疏性及帶狀分布等特性。,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,返回章節(jié)目錄,有限單元法原理及應(yīng)用,65,下面以圖3-11所示剛架結(jié)構(gòu)為例，解釋如何進(jìn)行約束處理。對(duì)于下圖所示剛架結(jié)構(gòu),設(shè)結(jié)點(diǎn)位移列向量為 設(shè)結(jié)點(diǎn)載荷列向量為,固定支座 (b) 支座強(qiáng)迫位移已知 圖3-11 結(jié)構(gòu)約束,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,有限單元法原理及應(yīng)用,6

34、6,其原始平衡方程式為,按照每個(gè)結(jié)點(diǎn)的位移分量將上式展開為,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,有限單元法原理及應(yīng)用,67,對(duì)于如圖3-11(a)所示，結(jié)構(gòu)約束（支座）位移全部為零，此時(shí)做約束處理時(shí)，采用填0置1法比較適宜。 對(duì)于如圖3-11(b)所示，某約束（支座）位移為給定的強(qiáng)迫值，此時(shí)做約束處理時(shí)，采用乘大數(shù)法比較適宜。 (1) 填0置1法 如右圖所示結(jié)點(diǎn)1、3處為固定支座，可知 將整體剛度矩陣中與之相對(duì)應(yīng)的主對(duì)角元素全部置換成1， 相應(yīng)行和列上的其它元素均改為0。 同時(shí)，所在同一行上的載荷分量替換成0，則有,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,有限單元法原理及應(yīng)用,68,則,第三章

35、 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,也可簡(jiǎn)便地采用劃行劃列的辦法。在整體剛度矩陣中將與約束位移為 0 的行和列劃掉，包括相關(guān)的所在行的位移和載荷向量。,有限單元法原理及應(yīng)用,69,處理后得基本平衡方程 (2) 乘大數(shù)法 右圖所示剛架，結(jié)點(diǎn)1為固定支座，結(jié)點(diǎn)3處在方向的約束為已知強(qiáng)迫位移。即 將整體剛度矩陣中與之相對(duì)應(yīng)的主對(duì)角元素全部乘以一個(gè)大數(shù)N，一般取 。同時(shí)，將相應(yīng)同一行上的載荷分量替換成 N 乘以其主對(duì)角剛度系數(shù)和給定的強(qiáng)迫位移（包括零位移）。,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,有限單元法原理及應(yīng)用,70,得到,由于N 足夠大，可以近似認(rèn)為,則得出,同時(shí)得到,求出位移 之后，即可以求出結(jié)

36、構(gòu)的應(yīng)力場(chǎng) 。,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,有限單元法原理及應(yīng)用,71,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,用有限單元法計(jì)算空間剛架結(jié)構(gòu)，在原理上及推導(dǎo)過(guò)程與計(jì)算平面剛架結(jié)構(gòu)相同。在此不再重復(fù)。但應(yīng)注意到，由于空間的每一結(jié)點(diǎn)一般具有六個(gè)自由度，故計(jì)算較之復(fù)雜些。,3.6 計(jì)算示例 設(shè)兩桿的桿長(zhǎng)和截面尺寸相同，,桿件長(zhǎng) m。,返回章節(jié)目錄,圖3-12 剛架受力簡(jiǎn)圖,有限單元法原理及應(yīng)用,72,結(jié)構(gòu)離散化后 將結(jié)構(gòu)劃分為4個(gè)結(jié)點(diǎn)、3個(gè)單元,截面積,，慣性矩,(2) 求結(jié)點(diǎn)載荷 首先須求局部坐標(biāo)系中固定端內(nèi)力,(a) 單元1作為兩端固定梁反力示意圖 (b) 單元2作為兩端固定梁反力示意圖

37、 圖3-13內(nèi)力示意圖,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,有限單元法原理及應(yīng)用,73,單元1,單元2,在局部坐標(biāo)系下單元載荷列向量,單元1,單元2,單元3,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,有限單元法原理及應(yīng)用,74,為了求出在整體坐標(biāo)下的載荷列向量，先求單元得坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣,單元1、2,單元3,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,有限單元法原理及應(yīng)用,75,求各單元在整體坐標(biāo)下的等效結(jié)點(diǎn)載荷,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,有限單元法原理及應(yīng)用,76,求剛架的等效結(jié)點(diǎn)載荷,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,有限單元法原理及應(yīng)用,77,因?yàn)闊o(wú)結(jié)點(diǎn)載荷作用，總結(jié)點(diǎn)載荷即為等效結(jié)

38、點(diǎn)載荷。,(3) 求單元?jiǎng)偠染仃?由于單元1、2、3的尺寸相同，材料彈性模量相同，故,梁?jiǎn)卧木植孔鴺?biāo)下的剛度矩陣表達(dá)式,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,有限單元法原理及應(yīng)用,78,則,（4）求整體坐標(biāo)系中的,單元1,單元2,單元3,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,有限單元法原理及應(yīng)用,79,（5）求結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣,利用剛度集成法,（6）建立原始平衡方程式,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,有限單元法原理及應(yīng)用,80,（7）引入約束條件解方程組,由于1、3、4為固定端， 修改整體剛度矩陣中的13，612行與列， 以及載荷列向量中的相應(yīng)的行，既約束處理。,建立基本平衡方程,即,

39、得到,（8）求各桿的桿端力,單元3結(jié)點(diǎn)位移列向量,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,有限單元法原理及應(yīng)用,81,單元1桿端內(nèi)力計(jì)算,單元2桿端內(nèi)力計(jì)算,單元3桿端力計(jì)算,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,有限單元法原理及應(yīng)用,82,（9）作內(nèi)力圖,（a） 剛架軸力圖,（b） 剛架剪力圖,（c） 剛架軸彎矩圖 圖3-14 剛架內(nèi)力圖,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,有限單元法原理及應(yīng)用,83,3.7 ANSYS桁架結(jié)構(gòu)計(jì)算示例,=1m;,=1m; 材料為Q235;,（1）選擇單元類型,運(yùn)行PreprocessorElement TypeAdd/Edit/Delete,在結(jié)點(diǎn)8上施加

40、豎直向下的集中載荷F60000N， 約束為結(jié)點(diǎn)1處約束X,Y方向自由度，結(jié)點(diǎn)5處約束Y方向自由度。,圖3-15 桁架結(jié)構(gòu)示意圖 圖3-16 桁架各單元橫截面圖,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,返回章節(jié)目錄,圖3-17 單元類型對(duì)話框,有限單元法原理及應(yīng)用,84,圖3-18 單元類型庫(kù)對(duì)話框,（2）設(shè)置材料屬性,運(yùn)行PreprocessorMaterial PropsMaterial Models,圖3-19選擇材料屬性對(duì)話框 圖3-20設(shè)置材料1屬性對(duì)話,（3）設(shè)置單元截面形式,選擇菜單PreprocessorSectionsBeamCommon Sections,圖3-21梁截面設(shè)置對(duì)

41、話框,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,有限單元法原理及應(yīng)用,85,（4）定義實(shí)常數(shù),運(yùn)行Real ConstantsAdd/Edit/Delete,圖3-22 設(shè)置LINK1單元的實(shí)常數(shù),（5）建立模型,首先生成結(jié)點(diǎn)，運(yùn)行主菜單PreprocessorModeling Create Nodes In Active CS; 再生成單元，運(yùn)行主菜單 PreprocessorModelingCreateElementsAuto NumberedThru Nodes穿越結(jié)點(diǎn)命令。,圖3-23 創(chuàng)建結(jié)點(diǎn)對(duì)話框,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,有限單元法原理及應(yīng)用,86,圖3-24通過(guò)結(jié)點(diǎn)建立

42、單元,圖3-25 桁架的有限元模型,（6）施加約束,運(yùn)行主菜單SolutionDefine Loads ApplyStructuralDisplacementOn Nodes,圖3-26 結(jié)點(diǎn)施加約束對(duì)話框,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,有限單元法原理及應(yīng)用,87,（7）施加載荷 運(yùn)行主菜單SolutionDefine LoadsApplyStructural Force/MomentOn Nodes。,圖3-27 結(jié)點(diǎn)施加載荷對(duì)話框,（8）求解 運(yùn)行主菜單 Solution SolveCurrent LS，分析當(dāng)前的負(fù)載步驟命令， 彈出如圖3-28所示對(duì)話框，單擊OK，開始運(yùn)行分析。

43、分析完畢后， 在信息窗口中提示計(jì)算完成， 單擊Close將其關(guān)閉。,（9）后處理 運(yùn)行主菜單 General PostprocPlot Results Contour PlotNodal Solu命令，運(yùn)行DOF Solution Displacement vector sum，出現(xiàn)桁架軸向應(yīng)力云圖。,圖3-29 云圖顯示對(duì)話框,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,圖3-28 求解對(duì)話框,有限單元法原理及應(yīng)用,88,圖3-30 位移云圖,選擇Stressvon Mises stress，則出現(xiàn)桁架位移云圖,圖3-31 云圖顯示對(duì)話框,圖3-32 軸向應(yīng)力云圖,桁架的位移云圖可知，最大位移發(fā)生

44、在桁架的中部，最大位移為 m。 桁架的軸向應(yīng)力云圖可知，最大應(yīng)力發(fā)生在2單元。最大應(yīng)力45.9MPa。,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,有限單元法原理及應(yīng)用,89,3.8 ANSYS剛架結(jié)構(gòu)計(jì)算示例,圖3-33 剛架示意圖,約束形式為：A、D點(diǎn)施加全約束。在BC梁中點(diǎn)處受到豎直向下集中載荷的作用F1=20000N， AB柱的中點(diǎn)處受水平向右的集中載荷 F2=10000N；AB2m， BC2m，材料為鋼材，彈性模量E=2.11011Pa，泊松比=0.3。,（1）選擇分析范疇,圖3-34選擇分析范疇對(duì)話框,在主菜單中單擊Preferences菜單， 彈出Preferences for GUI

45、 Filtering窗口， 選擇Structural， 然后單擊OK按鈕。,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,返回章節(jié)目錄,有限單元法原理及應(yīng)用,90,（2）選擇單元類型 運(yùn)行PreprocessorElement TypeAdd/Edit/Delete， 彈出Element Types對(duì)話框，選擇BEAM188單元。,圖3-35 單元類型對(duì)話框,圖3-36 單元類型庫(kù)對(duì)話框,（3）設(shè)置單元截面形式 運(yùn)行PreprocessorSectionBeamCommon Sections，彈出 Beam Tool 對(duì)話框，W1選項(xiàng)欄中填寫0.1，W2選項(xiàng)欄中填寫0.2，t1t4中填寫0.008。

46、設(shè)置完畢單擊OK按鈕。,圖3-37 梁截面設(shè)置對(duì)話框,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,有限單元法原理及應(yīng)用,91,（4）設(shè)置材料屬性 運(yùn)行PreprocessorMaterial Props Material Models，彈出Define Material Model Behavior對(duì)話框。雙擊Isotropic選項(xiàng)，彈出Linear Isotropic Properties for Material Number1對(duì)話框，在EX選項(xiàng)欄中設(shè)置數(shù)值2.1e11，在PRXY選項(xiàng)欄中設(shè)置數(shù)值0.3。設(shè)置完畢單擊OK按鈕。,圖3-38 選擇材料屬性對(duì)話框,圖3-39 設(shè)置材料屬性對(duì)話框,第三

47、章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,有限單元法原理及應(yīng)用,92,（5）建立模型 設(shè)置材料屬性對(duì)話框運(yùn)行PreprocessorModelingCreateKeypointsIn Active CS。創(chuàng)建關(guān)鍵點(diǎn)1，在NPT選項(xiàng)欄中設(shè)置數(shù)值1， 表示設(shè)置的關(guān)鍵點(diǎn)號(hào)為1，在X,Y,Z欄中設(shè)置數(shù)值0，0，0，表示關(guān)鍵點(diǎn)1的坐標(biāo)為：（0,0,0）。同理設(shè)置關(guān)鍵點(diǎn)2，3，4。坐標(biāo)分別為（0,2,0），（2,2,0），（2,0,0）。 運(yùn)行PreprocessorModelingCreate LinesLinesStraight Line， 彈出Create Straight Line 對(duì)話框。 分別拾取點(diǎn)

48、1-2, 3-4,2-3。并經(jīng)過(guò)布爾運(yùn)算將兩直線相加。,圖3-40 創(chuàng)建關(guān)鍵點(diǎn)對(duì)話框,圖3-41 創(chuàng)建直線對(duì)話框,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,有限單元法原理及應(yīng)用,93,圖3-42 剛架模型,（6）劃分網(wǎng)格 選擇剛架的單元屬性，運(yùn)行Preprocessor MeshingMesh AttributesPicked lines，彈出Line Attributes對(duì)話框。拾取剛架后彈出Meshing Attributes對(duì)話框，采取默認(rèn)設(shè)置。 點(diǎn)擊OK。,圖3-43 劃分網(wǎng)格拾 取線對(duì)話框,圖3-44設(shè)置網(wǎng)格單元屬性,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,有限單元法原理及應(yīng)用,94,選擇

49、 PreprocessorMeshingSize Cntrls Manual Size LinesPicked Lines，選擇剛架，彈出對(duì)話框。在NDIV一欄中輸入30，單擊OK。最后在Mesh Tool中自由劃分網(wǎng)格。,圖3-45 定義單元尺寸拾取線對(duì)話框,圖3-46 設(shè)置線上單元尺寸對(duì)話框,（7）施加約束 運(yùn)行 Solutiondefine Loads ApplyStructure Displacement On Keypoints，選擇關(guān)鍵點(diǎn)1，選擇ALL DOF。同理對(duì)關(guān)鍵點(diǎn)4進(jìn)行全約束。,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,有限單元法原理及應(yīng)用,95,圖3-47 對(duì)關(guān)鍵點(diǎn)施加全約

50、束,（8）施加載荷。 將圖形結(jié)點(diǎn)顯示，運(yùn)行PlotCtrlsNumbering，激活Node Numbers后面的選框，使它變成on形式。選擇菜單SolutionDefine LoadsApplyStructure Force/ MomentOn Nodes。拾取結(jié)點(diǎn)17，施加集中載 荷Fy=-20000N。 同理，在結(jié)點(diǎn)7上施加集中載荷Fx=10000N。,圖3-48 編號(hào)顯示設(shè)置對(duì)話框,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,有限單元法原理及應(yīng)用,96,圖3-49 拾取點(diǎn)對(duì)話框 圖3-50 施加約束、載荷后的剛架有限元模型,（9）求解 選擇 SolutionSolveCurrent LS，彈

51、出如右圖所示對(duì)話框，單擊OK按鈕，開始計(jì)算。計(jì)算結(jié)束會(huì)彈出計(jì)算完畢對(duì)話框，單擊Close關(guān)閉對(duì)話框，計(jì)算完畢。,圖3-51 求解對(duì)話框,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,有限單元法原理及應(yīng)用,97,（10）后處理 顯示位移云圖：運(yùn)行 General PostprocPlot Results Contour PlotNodal Solu。 彈出如下圖所示對(duì)話框，運(yùn)行DOF SolutionDisplacement vector sum顯示剛架位移云圖。,圖3-52 云圖顯示對(duì)話框 圖3-53 剛架的位移云圖,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,有限單元法原理及應(yīng)用,98,4.1 平面應(yīng)力問(wèn)

52、題,第四章 平面結(jié)構(gòu)問(wèn)題的有限單元法,返回全書目錄,4.2 平面應(yīng)變問(wèn)題,4.3 平面問(wèn)題的離散化,4.4 平面三結(jié)點(diǎn)三角形單元,4.5 ANSYS平面結(jié)構(gòu)計(jì)算示例,有限單元法原理及應(yīng)用,99,嚴(yán)格地說(shuō)，任何彈性體都是處于三維受力狀態(tài)，因而都是空間問(wèn)題，但是在一定條件下，許多空間問(wèn) 題都可以簡(jiǎn)化成平面問(wèn)題。 平面問(wèn)題可以分為兩類：平面應(yīng)力問(wèn)題和平面應(yīng)變問(wèn)題。,圖4-1 平面問(wèn)題應(yīng)力狀態(tài),第四章 平面結(jié)構(gòu)問(wèn)題的有限單元法,有限單元法原理及應(yīng)用,100,4.1 平面應(yīng)力問(wèn)題,圖4-2(a) 平面應(yīng)力問(wèn)題,如圖所示的深梁結(jié)構(gòu)，其厚度方向的尺寸遠(yuǎn)比其它兩個(gè)方向的尺寸小得多，可視為一薄板。它只承受作用在

53、其平面內(nèi)的載荷，且沿厚度方向不變，計(jì)算時(shí)以中性面為研究對(duì)象。其力學(xué)特點(diǎn)是：,平面應(yīng)力問(wèn)題的應(yīng)力應(yīng)變轉(zhuǎn)換矩陣即彈性矩陣為：,。,第四章 平面結(jié)構(gòu)問(wèn)題的有限單元法,返回章節(jié)目錄,有限單元法原理及應(yīng)用,101,圖4-2(b) 平面應(yīng)變問(wèn)題,4.2 平面應(yīng)變問(wèn)題,圖示為一圓形涵洞的橫截面。其長(zhǎng)度方向上的尺寸遠(yuǎn)比其它兩個(gè)方向上的尺寸大得多，同樣，載荷作用在xy坐標(biāo)面內(nèi)，且沿z軸方向均 勻分布。其力學(xué)特點(diǎn)是：,但一般情況下,平面應(yīng)變問(wèn)題的彈性矩陣只需將式(4-1)中的E換成,換成,，,即可。,。,第四章 平面結(jié)構(gòu)問(wèn)題的有限單元法,返回章節(jié)目錄,有限單元法原理及應(yīng)用,102,無(wú)論是平面應(yīng)力問(wèn)題還是平面應(yīng)變問(wèn)

54、題的應(yīng)力,與 應(yīng)變,之間的關(guān)系均為：,，其中：,為初應(yīng)變。,式中,4.3 平面問(wèn)題的離散化,(a) 三結(jié)點(diǎn)三角形單元 (b) 四結(jié)點(diǎn)正方形單元 (c) 四結(jié)點(diǎn)矩形單元 (d) 四結(jié)點(diǎn)四邊形單元,圖4-3 平面問(wèn)題單元的主要類型,第四章 平面結(jié)構(gòu)問(wèn)題的有限單元法,返回章節(jié)目錄,有限單元法原理及應(yīng)用,103,圖4-4(a)表示的是帶有橢圓孔的平板，在均勻壓力作用下的應(yīng)力集中問(wèn)題。圖4-5(b)是利用結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性，采用三結(jié)點(diǎn)三角形單元而離散后的力學(xué)模型，各單元之間以結(jié)點(diǎn)相連。,(a) 均勻受力板力學(xué)模型 (b) 力學(xué)模型離散化,圖4-4 平面問(wèn)題有限單元法的計(jì)算力學(xué)模型,第四章 平面結(jié)構(gòu)問(wèn)題的有限單

55、元法,有限單元法原理及應(yīng)用,104,4.4 平面三結(jié)點(diǎn)三角形單元,4.1.1 位移函數(shù),圖4-5 三角形單元,如果把彈性體離散成為有限個(gè)單元體，而且單元很小時(shí)，就很容易利用其結(jié)點(diǎn)的位移，構(gòu)造出單元的位移插值函數(shù)，即位移函數(shù)。,位移函數(shù)矩陣形式：,第四章 平面結(jié)構(gòu)問(wèn)題的有限單元法,返回章節(jié)目錄,有限單元法原理及應(yīng)用,105,簡(jiǎn)寫為：,由于位移函數(shù)適用于單元中的任意一點(diǎn)，所以帶入3個(gè)結(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)后，得出結(jié)點(diǎn)處位移函數(shù)為,簡(jiǎn)寫為：,第四章 平面結(jié)構(gòu)問(wèn)題的有限單元法,有限單元法原理及應(yīng)用,106,解出,其中，,是三角形單元的面積，當(dāng)三角形單元結(jié)點(diǎn)i、j、m按逆時(shí)針次序排列時(shí)，則有,4.4.2 形函數(shù)矩陣

56、,第四章 平面結(jié)構(gòu)問(wèn)題的有限單元法,有限單元法原理及應(yīng)用,107,其中記號(hào),表示將i、j、m進(jìn)行輪換后，可得出另外兩組帶腳標(biāo)的a、b、c的公式。,單元位移函數(shù)為結(jié)點(diǎn)位移的插值函數(shù)，即,第四章 平面結(jié)構(gòu)問(wèn)題的有限單元法,(4-9),有限單元法原理及應(yīng)用,108,令,在式(4-10)中表示的 稱為形函數(shù)，于是位移函數(shù)表達(dá)式用形函數(shù)表示為：,(4-10),(4-11),寫成矩陣形式,(4-12),第四章 平面結(jié)構(gòu)問(wèn)題的有限單元法,有限單元法原理及應(yīng)用,109,由幾何方程知,將式(4-9)代入式(4-13)中，并求偏導(dǎo)數(shù)，得,(4-13),4.4.3 單元的應(yīng)力與應(yīng)變,第四章 平面結(jié)構(gòu)問(wèn)題的有限單元法

57、,有限單元法原理及應(yīng)用,110,簡(jiǎn)寫為：,(4-14),由于B是常量，單元內(nèi)各點(diǎn)應(yīng)變分量也都是常量，這是由于采用了線性位移函數(shù)的緣故，這種單元稱為常應(yīng)變?nèi)切螁卧?(4-15),第四章 平面結(jié)構(gòu)問(wèn)題的有限單元法,有限單元法原理及應(yīng)用,111,由彈性力學(xué)的物理方程可知，其應(yīng)力與應(yīng)變有如下關(guān)系：,(4-16),將式(4-14)代入式(4-16)，得,(4-17),式中,(4-18),S稱為應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣，對(duì)平面應(yīng)力問(wèn)題，其子矩陣為,(4-19),由式(4-17)看出，應(yīng)力分量也是一個(gè)常量。在一個(gè)三角形單元中各點(diǎn)應(yīng)力相同，一般用形心一點(diǎn)表示。其應(yīng)變也可同樣表示。,第四章 平面結(jié)構(gòu)問(wèn)題的有限單元法,有限單元法原理及應(yīng)用,112,用虛功原理來(lái)建立結(jié)點(diǎn)力和結(jié)點(diǎn)位移間的關(guān)系式，從而得出三角形單元的剛度矩陣。,(a) 實(shí)際力系 (b) 虛設(shè)位移,圖4-6 彈性體虛功原理的應(yīng)用,4.4.4 三角形單元?jiǎng)偠染仃?第四章 平面結(jié)構(gòu)問(wèn)題的有限單元法,有限單元法原理及應(yīng)用,113,結(jié)點(diǎn)力列向量和應(yīng)力列向量分別為,結(jié)點(diǎn)虛位移列向量和虛應(yīng)變列向量為,用虛功原理