2012北京東城一模-理數(shù)

1、北京市東城區(qū)2011-2012學(xué)年度第二學(xué)期高三綜合練習(xí)（一）數(shù)學(xué)（理科）本試卷分第卷和第卷兩部分，第卷1至2頁(yè)，第卷3至5頁(yè)，共150分。考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第卷（選擇題 共40分）一、本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。（1）若，是虛數(shù)單位，且，則的值為 （A） （B） （C） （D）（2）若集合，則“”是“”的 （A）充分不必要條件 （B）必要不充分條件 （C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件 （3）若實(shí)數(shù)，滿足不等式組則的最小值為 （A） （B

2、） （C） （D） （4）右圖給出的是計(jì)算的一個(gè)程序框圖， 其中判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是 （A） （B） （C） （D） （5）某小區(qū)有排成一排的個(gè)車位，現(xiàn)有輛不同型號(hào)的車需要停放，如果要求剩余的個(gè)車位連在一起， 那么不同的停放方法的種數(shù)為（A）16（B）18（C）24（D）32（6）已知，若，成等比數(shù)列，則的值為 C （A）（B）（C）（D）（7）在直角梯形中，已知，若為的中點(diǎn)，則的值為 （A） （B） （C） （D）（8）已知函數(shù)若方程有且只有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（A） （B） （C） （D）第卷（共110分）二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。（9）命題“”

3、的否定是 .（10）在極坐標(biāo)系中，圓的圓心到直線的距離為 （11）在如圖所示的莖葉圖中，乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是 ；若從甲、乙兩組數(shù)據(jù)中分別去掉一個(gè)最大數(shù)和一個(gè)最小數(shù)后，兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)中較大的一組是 組（12）如圖，是的直徑，直線切于點(diǎn)，且與延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，若，則= （13）拋物線的準(zhǔn)線方程為 ；經(jīng)過(guò)此拋物線的焦點(diǎn)是和點(diǎn)，且 與準(zhǔn)線相切的圓共有 個(gè)（14）如圖，在邊長(zhǎng)為的正方形中，點(diǎn)在上，正方形以為軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角到的位置 ，同時(shí)點(diǎn)沿著從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，點(diǎn)在上，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中點(diǎn)始終滿足，記點(diǎn)在面上的射影為，則在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中向量與夾角的正切的最大值為 .三、解答題：本大題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，

4、演算步驟或證明過(guò)程。（15）（本小題共13分） 已知函數(shù).（）求的最小正周期；（）若函數(shù)的圖象是由的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到的，當(dāng),時(shí)，求的最大值和最小值. （16）（本小題共13分） 某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，甲產(chǎn)品的一等品率為，二等品率為；乙產(chǎn)品的一等品率為，二等品率為.生產(chǎn)件甲產(chǎn)品，若是一等品，則獲利萬(wàn)元，若是二等品，則虧損萬(wàn)元；生產(chǎn)件乙產(chǎn)品，若是一等品，則獲利萬(wàn)元，若是二等品，則虧損萬(wàn)元.兩種產(chǎn)品生產(chǎn)的質(zhì)量相互獨(dú)立.（）設(shè)生產(chǎn)件甲產(chǎn)品和件乙產(chǎn)品可獲得的總利潤(rùn)為（單位：萬(wàn)元），求的分布列；（）求生產(chǎn)件甲產(chǎn)品所獲得的利潤(rùn)不少于萬(wàn)元的概率.（17）（本小題共13分）

5、如圖1，在邊長(zhǎng)為的正三角形中，分別為，上的點(diǎn)，且滿足.將沿折起到的位置，使二面角成直二面角，連結(jié)，.（如圖2）（）求證：平面；（）求直線與平面所成角的大小. 圖1 圖2 (18)（本小題共14分）已知函數(shù)在處的切線斜率為零（）求和的值；（）求證：在定義域內(nèi)恒成立；() 若函數(shù)有最小值，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（19）（本小題共13分）已知橢圓：的離心率是，其左、右頂點(diǎn)分別為，為短軸的端點(diǎn)，的面積為（）求橢圓的方程；（）為橢圓的右焦點(diǎn)，若點(diǎn)是橢圓上異于，的任意一點(diǎn)，直線，與直線分別交于，兩點(diǎn)，證明：以為直徑的圓與直線相切于點(diǎn)（20）（本小題共14分）若對(duì)于正整數(shù),表示的最大奇數(shù)因數(shù)，例如，.設(shè) （

6、）求,的值；（）求，的值；（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式北京市東城區(qū)2011-2012學(xué)年度第二學(xué)期高三綜合練習(xí)（一）數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（理科）一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）（1）D （2）A （3）A （4）B（5）C （6）C （7）D （8）A二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）（9） （10） （11）84 乙（12） （13） （14）注：兩個(gè)空的填空題第一個(gè)空填對(duì)得2分，第二個(gè)空填對(duì)得3分三、解答題（本大題共6小題，共80分）（15）（共13分）解：（）因?yàn)?, 6分所以函數(shù)的最小正周期為. 8分 （）依題意, . 10分 因?yàn)?，所? 11分 當(dāng)，即時(shí)

7、，取最大值；當(dāng)，即時(shí)， 取最小值. 13分 （16）（共13分）解：（）由題設(shè)知，的可能取值為，. 2分 ， ， ， . 6分 由此得的分布列為： 8分（）設(shè)生產(chǎn)的件甲產(chǎn)品中一等品有件，則二等品有件. 由題設(shè)知，解得，又，得，或. 10分所求概率為.（或?qū)懗桑┐穑荷a(chǎn)件甲產(chǎn)品所獲得的利潤(rùn)不少于萬(wàn)元的概率為. 13分（17）（共13分）（）證明：取中點(diǎn)，連結(jié).因?yàn)?，所以，而，即是正三角?又因?yàn)? 所以. 2分所以在圖2中有，.3分所以為二面角的平面角. 圖1又二面角為直二面角，所以. 5分又因?yàn)?所以平面,即平面. 6分（）解：由（）可知平面，如圖，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，.在圖中，

8、連結(jié).因?yàn)?，所以，?所以四邊形為平行四邊形.所以，且.故點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0）. 圖2所以， ，.8分不妨設(shè)平面的法向量，則即令，得. 10分所以. 12分故直線與平面所成角的大小為. 13分 （18）（共14分）（）解：. 2分由題意有即，解得或（舍去）4分得即，解得 5分（）證明：由（）知， 在區(qū)間上，有；在區(qū)間上，有 故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，于是函數(shù)在上的最小值是 9分故當(dāng)時(shí)，有恒成立 10分()解： 當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的最小值，符合題意； 13分當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，不存在最小值，不合題意；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，不存在最小值，不合題意綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是 14分（19）（共13分）（）解：由已知 2分 解得， 4分 故所求橢圓方程為 5分（）證明：由（）知，設(shè)，則 于是直線方程為 ，令，得；所以，同理 7分 所以，. 所以 所以 ，點(diǎn)在以為直徑的圓上 9分 設(shè)的中點(diǎn)為，則