陜西省高中數(shù)學(xué) 第一章 推理與證明 高考中的類比推理例題訓(xùn)練 北師大版選修2-2（通用）

1、高考中的類比推理大數(shù)學(xué)家波利亞說過：“類比是某種類型的相似性，是一種更確定的和更概念性的相似?！睉?yīng)用類比的關(guān)鍵就在于如何把關(guān)于對(duì)象在某些方面一致性說清楚。類比是提出新問題和作出新發(fā)現(xiàn)的一個(gè)重要源泉，是一種較高層次的信息遷移。例1、（2020湖北）半徑為r的圓的面積，周長(zhǎng)，若將r看作上的變量，則， ，式可用語言敘述為：圓的面積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于圓的周長(zhǎng)函數(shù)。對(duì)于半徑為R的球，若將R看作看作上的變量，請(qǐng)你寫出類似于的式子：_，式可用語言敘述為_.解：由提供的形式找出球的兩個(gè)常用量體積、表面積公式，類似寫出恰好成立，.答案： 球的體積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于球的表面積函數(shù)。點(diǎn)評(píng)：主要考查類比意識(shí)考查學(xué)生分散思維，

2、注意將圓的面積與周長(zhǎng)與球的體積與表面積進(jìn)行類比例2（2000年上海高考第12題）在等差數(shù)列an中，若a10=0，則有等式a1a2an=a1a2a19n（n19，nN*）成立。類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地：在等比數(shù)列bn中，若b9=1，則有等式 成立。分析：這是由一類事物（等差數(shù)列）到與其相似的一類事物（等比數(shù)列）間的類比。在等差數(shù)列an前19項(xiàng)中，其中間一項(xiàng)a10=0，則a1a19= a2a18= ana20n= an1a19n=2a10=0，所以a1a2ana19=0，即a1a2an=a19a18an1，又a1=a19， a2=a18，a19n=an1， a1a2an=a19a18an1= a1a2

3、a19n。相似地，在等比數(shù)列bn的前17項(xiàng)中，b9=1為其中間項(xiàng)，則可得b1b2bn= b1b2b17n（n17，nN*）。例3（2020年全國高考新課程卷文科第15題）在平面幾何里，有勾股定理：“設(shè)ABC的兩邊AB、AC互相垂直，則AB2AC2= BC2?！蓖卣沟娇臻g，類比平面幾何的勾股定理，研究三棱錐的側(cè)面面積與底面面積間的關(guān)系，可以得到的正確結(jié)論是：“設(shè)三棱錐ABCD的三個(gè)側(cè)面ABC、ACD、ADB兩兩相互垂直，則 _”。分析：這是由低維（平面）到高維（空間）之間的類比。三角形中的許多結(jié)論都可以類比到三棱錐中（當(dāng)然必須經(jīng)過論證其正確性），像直角三角形中的勾股定理類比到三側(cè)面兩兩垂直的三棱

4、錐中，則有SABC2SACD2SADB2= SBCD2。需要指出的是，勾股定理的證明也可進(jìn)行類比。如在RtABC中，過A作AHBC于H，則由AB2=BHBC，AC2=CHBC相加即得AB2AC2=BC2；在三側(cè)面兩兩垂直的三棱錐ABCD中，過A作AH平面BCD于H，類似地由SABC2=SHBCSBCD，SACD2=SHCDSBCD，SADB2=SHDBSBCD相加即得SABC2SACD2SADB2= SBCD2。例4、（2020上海）已知函數(shù)有如下性質(zhì)：如果常數(shù)ao，那么該函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)。（1） 如果函數(shù)的值域?yàn)?，求b的值；（2） 研究函數(shù)（常數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性，并說明理由；（3） 對(duì)函數(shù)和（常數(shù)作出推廣，使它們都是你所推廣的函數(shù)的特例，研究推廣后的函數(shù)的單調(diào)性（只須寫出結(jié)論，不必證明）。解：（1）函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，所以該函數(shù)在處取得最小值 令，得（2）設(shè)，顯然函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，令得，令得或又因?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù)，在上是增函數(shù)，于是利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，上是增函數(shù)。 （3）推廣結(jié)論：當(dāng)n是正奇數(shù)時(shí)，函數(shù)（常數(shù)是奇函數(shù)，故在上是增函數(shù)，在是減函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)。而當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)，函數(shù)