高二數(shù)學(xué)合情推理與演繹推理（文）人教實(shí)驗(yàn)版（A）知識(shí)精講（通用）

1、高二數(shù)學(xué)合情推理與演繹推理（文）人教實(shí)驗(yàn)版（A）【本講教育信息】一. 教學(xué)內(nèi)容： 合情推理與演繹推理二. 重點(diǎn)、難點(diǎn)：1. 歸納推理：由某類事物的部分對(duì)象具有某種特征，推出該類事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理，或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理，稱為歸納推理。 2. 類比推理：由兩類對(duì)象具有某些類似特征和其中一類對(duì)象的某些已知特征，推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理稱為類比推理。 3. 合情推理：經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納，類比，然后提出猜想的推理，我們把它們統(tǒng)稱為合情推理。 4. 演繹推理：從一般性的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論，我們把這種推理稱為演繹推理。 5. 總結(jié)：

2、 （1）歸納推理：由個(gè)別到一般 （2）類比推理：由特殊到特殊 （3）合情推理：猜想（不一定正確） （4）演繹推理：由一般到特殊【典型例題】例1 在數(shù)列中，試猜想這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。分析：根據(jù)已知條件和遞推關(guān)系，先求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，然后總結(jié)歸納其中的規(guī)律，寫出其通項(xiàng)。解：中， 的通項(xiàng)公式例2 順次計(jì)算數(shù)列：1，1+2+1，1+2+3+2+1，1+2+3+4+3+2+1，的前4項(xiàng)的值，由此猜測(cè)：結(jié)果。解：1=12 1+2+1=4=22 1+2+3+2+1=9=32 1+2+3+4+3+2+1=16=42從而猜想：例3 已知（n=1、2、），試歸納這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：例4 在中，若C=90，則，

3、則在立體幾何中，給出四面體性質(zhì)的猜想。分析：考慮到平面中的圖形是直角三角形，所以我們?cè)诳臻g選取有3個(gè)面兩兩垂直的四面體PABC，且三個(gè)面與面ABC所成的二面角分別是。解：如圖，在中，于是把結(jié)論類比到四面體PABC中，我們猜想，三棱錐PABC中，若三個(gè)側(cè)面PAB、PBC、PCA兩兩互相垂直且分別與底面所成的角為。由此可猜想出四面體性質(zhì)為：例5 已知：；。通過觀察上述兩等式的規(guī)律，請(qǐng)你寫出一般性的命題： =（*）并給出（*）式的證明。一般形式：證明：左邊 右邊 原式得證（將一般形式寫成等均正確）例6 DEF中有余弦定理：。拓展到空間，類比三角形的余弦定理，寫出斜三棱柱ABCA1B1C1的3個(gè)側(cè)面面

4、積與其中兩個(gè)側(cè)面所成二面角之間的關(guān)系式，并予以證明。分析：根據(jù)類比猜想得出其中為側(cè)面為ABB1A1與BCC1B1所成的二面角的平面角證明：作斜三棱柱ABCA1B1C1的直截面DEF，則DFE為面ABB1A1與面BCC1B1所成角DEF中有余弦定理：同乘以，得即例7 把下列演繹推理寫成“二段論”的形式。（1）三角函數(shù)都是周期函數(shù)，是三角函數(shù)，所以是周期函數(shù)。（2）一切奇數(shù)都不能被2整除，（2100+1）是奇數(shù)，所以（2100+1）不能被2整除。解：（1）三角函數(shù)都是周期函數(shù)（大前提）是三角函數(shù)（小前提） 是周期函數(shù)（結(jié)論）（2）一切奇數(shù)都不能被2整除（大前提）（2100+1）是奇數(shù)（小前提）（2

5、100+1）不能被2整除（結(jié)論）例8 用三段論證明：三角形內(nèi)角和等于180。證明： 平角等于180（大前提）在ABC中延長BC至E，作CD/AB，則A=ACD，B=DCE A+B+C=ACB+ACD+DCE ACB+ACD+DCE為平角（小前提） A+B+C=180例9 已知實(shí)數(shù)p滿足不等式，試判斷方程有無實(shí)根，并給出證明。由解得，所以，方程的判別式，因?yàn)?，所以，所?，因此得方程無實(shí)根。例10 設(shè)，求證：。證明： 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以例11 已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，成等差數(shù)列，又，證明：為等比數(shù)列。因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以即設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則所以從而若d=0，則為常數(shù)列，相應(yīng)也是

6、常數(shù)列，此時(shí)是以首項(xiàng)為正數(shù)，公比為1的等比數(shù)列若，則這時(shí)是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列。所以綜上知為等比數(shù)列。例12 如圖所示為三個(gè)拼在一起的正方形，求證：。證明： ，又 例13 求證函數(shù)是奇數(shù)，且在定義域上是增函數(shù)。證明：（1） ，定義域?yàn)閤R 即 是奇函數(shù)（2）任取，且 則 ，從而 ，故f（x）為增函數(shù)【模擬試題】1. 由數(shù)列1，10，100，1000，猜測(cè)該數(shù)列的第n項(xiàng)可能是（ ） A. B. C. D. 2. 1，3，7，15，（ ），63，括號(hào)中的數(shù)字應(yīng)為（ ） A. 33 B. 31 C. 27 D. 573. 數(shù)列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5，的第100

7、0項(xiàng)是（ ） A. 42 B. 45 C. 48 D. 514. 類比平面內(nèi)正三角形的“三邊相等，三內(nèi)角相等”的性質(zhì)，可推出正四面體的下列哪些性質(zhì)，你認(rèn)為比較恰當(dāng)?shù)氖牵?） 各棱長相等，同一頂點(diǎn)上的任兩條棱的夾角都相等； 各個(gè)面都是全等的正三角形，相鄰兩個(gè)面所成的二面角都相等； 各個(gè)面都是全等的正三角形，同一頂點(diǎn)上的任兩條棱的夾角都相等。A. B. C. D. 5. 設(shè)平面內(nèi)有n條直線（），其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過同一點(diǎn)，若用f（n）表示n條直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，則f（4）=（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 66. 下列表述正確的是（ ） 歸納推理是由部分到整體的推理

8、； 歸納推理是由一般到一般的推理； 演繹推理是由一般到特殊的推理； 類比推理是由特殊到一般的推理； 類比推理是由特殊到特殊的推理。A. B. C. D. 7. 演繹推理是以下哪個(gè)為前提，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論的推理方法（ ） A. 一般的原理原則 B. 特定的命題 C. 一般的命題 D. 定理、公式8. 已知ABC中，A=30，B=60，求證：ab。證明： A=30，B=60， AB， ab畫線部分是演繹推理的（ ） A. 大前提 B. 小前提 C. 結(jié)論 D. 三段論9. 已知直線與平面，給出下列三個(gè)命題： 若，則m/n； 若，則nm； 若，則。其中真命題的個(gè)數(shù)是（ ） A. 0 B. 1

9、 C. 2 D. 310. 設(shè)函數(shù)為奇函數(shù)，則（ ） A. 0 B. 1 C. D. 511. 在數(shù)列中，則S10= 。12. 已知無窮數(shù)列1，4，7，10，則4891是它的第 項(xiàng)。13. 設(shè)，并且對(duì)于任意，成立，猜想 。14. 求15. 設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列，求證：以為通項(xiàng)的數(shù)列為等差數(shù)列。16. 將自然數(shù)排成如下的螺旋狀：21222324252620 7 8910 27 19 6 12 11 28 18 543 12 1716151413第一個(gè)拐彎處的數(shù)是2，第二個(gè)拐彎處的數(shù)是3，第20個(gè)及第25個(gè)拐彎處的數(shù)各是多少？17. 已知，求證：18. ABC中，已知，則ABC一定是（ ） A. 銳角

10、三角形 B. 直角三角形 C. 鈍角三角形 D. 不確定19. 如果有人在1985年以后大學(xué)畢業(yè)，他就一定讀過鄧小平理論。李強(qiáng)讀過鄧小平理論，所以（ ）A. 李強(qiáng)是1985年以后的大學(xué)畢業(yè)生B. 李強(qiáng)是共產(chǎn)黨員C. 李強(qiáng)可能是1985年以后的大學(xué)畢業(yè)生D. 李強(qiáng)喜歡這本書20. 已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，則實(shí)數(shù)m的值為（ ）A. B. 1 C. 1 D. 2 21. 完全歸納推理是（ ）的推理（ ） A. 一般到個(gè)別 B. 個(gè)別到一般 C. 一般到一般 D. 個(gè)別到個(gè)別試題答案1. B 2. B 3. C 4. C 5. C 6. D 7. A 8. B 9. C 10. C11. 35 12. 1541 13. 14. 解析：，將以上n個(gè)式子相加，得15. 證明：設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為 （常數(shù)）（） 數(shù)列為等差數(shù)列16. 解析：由圖可知，前幾個(gè)拐彎處的數(shù)依次是2，3，5，7，10，13，17，21，26，這是一個(gè)數(shù)列，題目要求找出它的第20項(xiàng)和第25項(xiàng)各是多少，因此要找出這個(gè)數(shù)列的規(guī)律。把數(shù)列的后一項(xiàng)減去前一項(xiàng)，得一新數(shù)列：1，2，2