概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)電子教案：C7_3區(qū)間估計(jì)（改）

1、20.8.28,統(tǒng)計(jì)三大分布：,X與Y獨(dú)立,U與V獨(dú)立,復(fù)習(xí):,20.8.28,4.3 正態(tài)總體的抽樣分布定理（P143）,20.8.28,20.8.28,7.3 區(qū)間估計(jì),由于樣本的隨機(jī)性，點(diǎn)估計(jì)有以下缺陷：,(1) 無從斷定估計(jì)值是否為待估參數(shù)的真實(shí)值（即使是無偏有效估計(jì)量)；,(2) 不能把握估計(jì)值與參數(shù)真實(shí)值的偏離程度 及估計(jì)的可靠程度.,改進(jìn),對(duì)于的估計(jì)，給定一個(gè)范圍 滿足:,20.8.28,希望精度與可靠程度均高,但二者是矛盾的.,在實(shí)際應(yīng)用中廣泛接受的原則是：,確定能接受可靠程度的前提下,盡量提高精確度.,一、定義,定義7.3.1 設(shè)總體的未知參數(shù)為, 由樣本X1，Xn確定兩個(gè)統(tǒng)

2、計(jì)量,20.8.28,對(duì)于給定的實(shí)數(shù)(0 1 )，滿足,稱隨機(jī)區(qū)間 為的置信度為1 的區(qū)間估計(jì)（置信區(qū)間）.,1又稱置信水平或置信概率 稱顯著性水平，通常取值為0.1，0.05.,20.8.28,正態(tài)分布中的區(qū)間估計(jì),二、置信區(qū)間的樞軸變量法,1. 建立樞軸變量,構(gòu)造分布已知（正態(tài)、2 、T、F分布） 且僅含樣本和未知參數(shù)的函數(shù),問題：如何構(gòu)造隨機(jī)區(qū)間？,W(X1, X2, , Xn ,),20.8.28,2. 構(gòu)造等價(jià)區(qū)間：根據(jù)W的分布，對(duì)置信水平1查上側(cè)分位數(shù),使,或類似的概率式成立.,20.8.28,3. 解得置信區(qū)間：改寫不等式得,上面過程的關(guān)鍵是構(gòu)造樞軸變量W，并以它為軸心，由aWb

3、 旋轉(zhuǎn)出所需不等式 AB.,其中A、B是不含未知參數(shù)的統(tǒng)計(jì)量.,以較大概率包含待估參數(shù),20.8.28,三、正態(tài)總體的區(qū)間估計(jì),單個(gè)正態(tài)總體：XN(, 2),1.的估計(jì),已知 =0:,20.8.28,未知參數(shù)的替換,思考：未知時(shí)如何求的估計(jì)？,2) 2未知:,20.8.28,2. 2的估計(jì),當(dāng)已知時(shí), 應(yīng)選樞軸變量：,分析: 2 的優(yōu)良估計(jì)量為S2，,當(dāng)未知時(shí),由抽樣分布定理可知,應(yīng)選樞軸變量：,為確定樞軸變量,20.8.28,問題：如何構(gòu)造大概率事件？,20.8.28,已知0,20.8.28,2)未知,零件長(zhǎng)度的方差,嬰兒體重的估計(jì),20.8.28,1.1 2 的估計(jì),四、兩個(gè)正態(tài)總體,XN

4、(1,12) , YN(2,22)，X與Y相互獨(dú)立.,1) 已知12 和22,樞軸變量取,20.8.28,2) 12 和22 未知，但12 = 22 = 2,20.8.28,20.8.28,兩稻種產(chǎn)量的期望差的置信區(qū)間,問題 能否用另外的方法求12的區(qū)間估計(jì)？,分析 當(dāng) n1=n2 時(shí)（成對(duì)抽樣），,20.8.28,ZiN(1 2, 22),根據(jù)抽樣定理知，可選樞軸變量,t(n1),兩稻種產(chǎn)量的期望差的置信區(qū)間,20.8.28,1) 未知 1 、2,2. 的區(qū)間估計(jì),20.8.28,2) 已知1 與2,三、大樣本方法構(gòu)造置信區(qū)間(略),四、單側(cè)置信區(qū)間(自學(xué))，見教材P167頁(yè),20.8.28

5、,小結(jié)：常見的區(qū)間估計(jì),20.8.28,例7.3.1 設(shè)總體X N(, 0.09)，有一組樣本值：12.6，13.4，12.8，13.2，求參數(shù)的置信度為0.95的置信區(qū)間.,解：有1=0.95，0=0.3，n = 4,是的無偏估計(jì)量, 是優(yōu)良估計(jì)量，且,從而,20.8.28,在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表中查得上側(cè)分位數(shù) u/2=u0.025=1.96,得的置信區(qū)間為,20.8.28,代入樣本值算得 , 得到的一個(gè)區(qū)間估計(jì)為,12.706，13.294.,注：該區(qū)間不一定包含.,總結(jié)此例，做了以下工作：,1）根據(jù)優(yōu)良性準(zhǔn)則選取統(tǒng)計(jì)量來估計(jì)參數(shù)；,是的優(yōu)良估計(jì)量：無偏、有效、相合.,20.8.28,查找臨界

6、值u/2，構(gòu)造一個(gè)關(guān)于U的概率為置信水平1的隨機(jī)事件.,這里,建立了關(guān)于與統(tǒng)計(jì)量 的函數(shù)U，并確定U的分布；,4）由上式解出關(guān)于待估參數(shù)的不等式，建立起關(guān)于的置信區(qū)間.,#,20.8.28,思考：是否仍選統(tǒng)計(jì)量 并令,求得置信區(qū)間,？,例7.3.2 設(shè)XN(,2)，未知2 , 求參數(shù)的置信度為1-的置信區(qū)間.,未知參數(shù)的替換,20.8.28,不行,因?yàn)槲粗?2 ，故 U 不是樞軸變量.,選下統(tǒng)計(jì)量作為樞軸變量，根據(jù)抽樣定理,20.8.28,由 t 分布的對(duì)稱性，令,整理后得的置信區(qū)間為,比較 已知2= 02 時(shí), 的置信區(qū)間為,#,20.8.28,零件長(zhǎng)度的方差,解 設(shè)零件長(zhǎng)度為X，可認(rèn)為X

7、服從正態(tài)分布.,求方差的估計(jì)值和置信區(qū)間(=0.05).,例7.3.3 從自動(dòng)機(jī)床加工的同類零件中任取16件測(cè)得長(zhǎng)度值如下(單位：mm),20.8.28,求方差的置信區(qū)間,由于未知, S2 是2 的優(yōu)良估計(jì), 選取樞 軸變量,相應(yīng)的置信區(qū)間為,20.8.28,查2分布表可得,2 的置信度為 0.95 的置信區(qū)間為,比較：2 的點(diǎn)估計(jì)值為 s2= 0.005.,#,20.8.28,例7.3.4 假定初生嬰兒的體重服從正態(tài)分布,隨機(jī)抽取12 名嬰兒，測(cè)得體重為(單位：克) 3100, 2520, 3000, 3000, 3600, 3160, 3560, 3320, 2880, 2600, 340

8、0, 2540 試以 95% 的置信度估計(jì)初生嬰兒的平均體重以及方差.,解 設(shè)初生嬰兒體重為X 克，則 XN( , 2 ),(1) 需估計(jì) ,而未知2.,20.8.28,作為樞軸變量.,有 = ，n= ，,t0.025(11)= ，,20.8.28,(2) 需估計(jì)2 ,而未知 ，,有 20.025(11)= ，20.975(11)= ，,#,20.8.28,例7.3.5 甲、乙兩種稻種分別種在10塊試驗(yàn)田中, 每塊田中甲、乙稻種各種一半。假設(shè)兩種稻種產(chǎn)量X、Y 服從正態(tài)分布，且方差相等. 10塊田中的產(chǎn)量如下表 (單位：公斤) ，求兩稻種產(chǎn)量的期望差 1 2 的置信區(qū)間(=0.05).,20.8.28,解 設(shè)XN(1,12) , YN(2,22) , 12 = 22 = 2 ，估計(jì)1 2，取統(tǒng)計(jì)量,由樣本表可計(jì)算得,20.8.28,查t 分布表得： t0.025(18)=,2.1009,兩稻種產(chǎn)量期望差的置信度為95%的置信區(qū)間為,