矩陣對角化問題.ppt

1、第五章,矩陣對角化問題,1. 方陣對角化的概念,尋找相似變換矩陣 ，使,這就稱為把方陣 對角化.,說明,如果能找到可逆矩陣 ，使 ，則 可對角化；,如果找不到這樣可逆矩陣 ，則 不可對角化.,2. 定理的引入,設(shè)有可逆矩陣 ，使 為對角陣.,下面 回答 能否由 確定.,因而 由 和 確定，,也就是由 確定.,由于特征向量不是惟一的，所以矩陣 也不 是惟一確定的.,反過來，,是依次與之對應(yīng)的特征向量，則,設(shè)矩陣 的 個特征值為 ，,當(dāng) 可逆，即 線性無關(guān)時，有,這表明方陣 能否對角化完全可用 的特征值和 特征向量來刻畫.,由定理證明可知,如果矩陣A相似于對角矩陣, 設(shè),則矩陣P的列是A的線性無關(guān)

2、的特征向量,對角矩陣的對角元素是P中列向量對應(yīng)的矩陣A的特征值.,若 則 的主對角元素即為 的特征值，,3. 方陣可對角化的充要條件,定理4 階矩陣 與對角陣相似(即 能對角化),的充要條件是 有 個線性無關(guān)的特征向量.,推論,若 階矩陣 的 個特征值互不相等，則 與對角陣相似.(逆命題不一定成立）,說明,當(dāng) 的特征方程有重根時，不一定有 個線性無 關(guān)的特征向量，從而不一定能對角化；,但是，有重根時，也有可能能對角化. 所以,特征值互不相等只是 與對角陣相似的充分條件.,下述定理可將關(guān)于可對角化條件更精細(xì)地刻畫出來.,例 判斷下列實(shí)矩陣能否化為對角陣？,解:,得,得基礎(chǔ)解系,當(dāng) 時，齊次線性方

3、程組為,當(dāng) 時，齊次線性方程組為,得基礎(chǔ)解系,線性無關(guān),即A有3個線性無關(guān)的特征向量，所以A可以對角化。,得基礎(chǔ)解系,所以 不能化為對角矩陣.,當(dāng) 時，齊次線性方程組為,例 設(shè),問 為何值時，矩陣能對角化？,解: 析：此例是定理的應(yīng)用.,定理表明：,階矩陣 可對角化,有 個線性無關(guān)特征向量.,由此可推得另一個充要條件：,對 的每個不同的特征值 ， 的重數(shù),=對應(yīng)于 的線性無關(guān)特征向量的個數(shù),所以的特征值為 1(二重)， .,對應(yīng)于單根 ，可求得線性無關(guān)的特征向量1個；,對應(yīng)于二重特征值 1，若 能對角化，則,要使 ，則,即,說明,解答此題的關(guān)鍵是將 取值條件“ 可對角化” 轉(zhuǎn)化為“二重特征值 1 應(yīng)滿足 ”， 從而求得.,矩陣 能否對角化，取決于它的線性無關(guān)特征 向量的個數(shù)，而與 的秩， 的行列式都無關(guān).,四.矩陣對角化的實(shí)現(xiàn)的步驟:若矩陣A可以對角化,(3)用(2)中求