概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)-第二章-隨機(jī)變量及其分布

1、,第二章 隨機(jī)變量及其分布,一.隨機(jī)變量的定義 二.分布函數(shù)的定義 三.連續(xù)型隨機(jī)變量的定義 四.隨機(jī)變量函數(shù)的分布,1 隨機(jī)變量,實(shí)例: 做試驗(yàn)拋一枚均勻硬幣，其樣本空間 H,T 可規(guī)定映射 XX(),隨機(jī)變量實(shí)際上是定義在樣本空間上的一個(gè)實(shí)函數(shù)。,(p26)定義. 設(shè)=是試驗(yàn)的樣本空間，如果量X是定義在上的一個(gè)單值實(shí)值函數(shù)，即對(duì)于每一個(gè)，有唯一確定的實(shí)數(shù)X=X()與之對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)X為隨機(jī)變量。 隨機(jī)變量常用X、Y、Z 或 、等表示。記為r.v.X等。,引入隨機(jī)變量的意義:,1.將隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化。,2. 描述隨機(jī)事件.,幾何意義：,R,例1：引入適當(dāng)?shù)碾S機(jī)變量描述下列事件： 將3個(gè)球隨機(jī)

2、地放入三個(gè)格子中，事件 A=有1個(gè)空格，B=有2個(gè)空格， C=全有球。 進(jìn)行5次試驗(yàn)，事件 D=試驗(yàn)成功一次， F=試驗(yàn)至少成功一次，G=至多成功3次,解： 設(shè)X為將3個(gè)球隨機(jī)地放入三個(gè)格子后的空格數(shù)，則 A=X=1，B=X=2，C=X=0 設(shè)Y為進(jìn)行5次試驗(yàn)中成功的次數(shù)，則 D=Y=1，F(xiàn)=Y1,G=Y3,隨機(jī)變量的分類(lèi),隨機(jī)變量,2 離散型隨機(jī)變量的分布律(P27),若隨機(jī)變量X取值x1, x2, , xn, ，且取這些值的概率依次為p1, p2, , pn, , 則稱(chēng) PX=xk=pk, (k=1, 2, ) 為X的分布律。,可表為 X PX=xk=pk, (k=1, 2, )， 或,X

3、x1 x2xK Pkp1p2pk,例1 設(shè)袋中有5只球，其中有2只白3只黑?，F(xiàn)從中任取3只球(不放回)，求抽得的白球數(shù)X的分布律。 解: X的可能取值為0，1，2,(1) pk 0, k1, 2, ; (2), 分布律的性質(zhì),例3 設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為,試求:,解：0.87 0.72 0.7,幾種常用的離散型隨機(jī)變量,1. (0-1)分布(p28) 若X只能取0、1兩個(gè)值，且 分布律為 PXkpk(1p)1k, k0,1。 (0p1) 則稱(chēng)X服從參數(shù)為p的01分布或兩點(diǎn)分布。 即,2. 二項(xiàng)分布, 貝努利試驗(yàn)：若試驗(yàn)E只有兩個(gè)結(jié)果，記為, n重貝努利試驗(yàn)：獨(dú)立重復(fù)的進(jìn)行n次貝努利試驗(yàn)。,每次

4、試驗(yàn)均為貝努利試驗(yàn)，只有兩個(gè)結(jié)果。 重復(fù)，指每次試驗(yàn)P(A)不變，為定值。 獨(dú)立，指某次試驗(yàn)事件A發(fā)生與否與其它次試驗(yàn) 事件A發(fā)生與否互不影響。,問(wèn)題：設(shè)X為n重貝努利試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，且 P(A)=p，求r.v.X的分布律。,解：,r.v.X 的可能取值為0，1，n,設(shè)Ai=“第i次試驗(yàn)事件A發(fā)生”，i=1,2,n.且P(Ai)=p,若以X表示n重貝努里試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)， P(A)=p, 則稱(chēng)X服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布。 記作Xb(n,p), 其分布律為：,例2 擲一顆骰子10次，求（1）雙數(shù)點(diǎn)出現(xiàn)6次的概率？（2）“3”點(diǎn)出現(xiàn)兩次的概率？ 解：(1)設(shè)X表出現(xiàn)雙數(shù)點(diǎn)的次數(shù)，則

5、Xb(10，1/2） 所求概率：,(2) 設(shè)Y表出現(xiàn)“3”點(diǎn)的次數(shù)，則Yb(10，1/6） 所求概率為：,例3 某人射擊的命中率為0.02，他獨(dú)立射擊400次，試求其命中次數(shù)不少于2的概率。,解: 設(shè)X表示400次獨(dú)立射擊中命中的次數(shù)， 則Xb(400, 0.02)， 故 PX21 PX0P X1 10.98400(400)(0.02)(0.98399) 0.997165.,幾個(gè)二項(xiàng)分布的分布律圖示,3. 泊松(Poisson)分布(p30) 定義：若r.v.X的分布律為： XPXk ,k0, 1, 2,其中 (0),則稱(chēng)r.v.X服從參數(shù)為的泊松分布。記為：,例4: 某信息服務(wù)臺(tái)在一分鐘內(nèi)接

6、到的問(wèn)訊次數(shù)X服從 參數(shù)為的泊松分布,已知任一分鐘內(nèi)無(wú)問(wèn)訊的概率為 e-6,求在指定的一分鐘內(nèi)至少有2次問(wèn)訊的概率。 解：,例5：設(shè)書(shū)中每一頁(yè)上印刷錯(cuò)誤個(gè)數(shù)服從參數(shù)為=1/2 的泊松分布，求（1）一頁(yè)上至少有一處印錯(cuò)的概率？ (2) 10頁(yè)中至多有一頁(yè)有錯(cuò)的概率？,解: (1) 設(shè)X為一頁(yè)上印刷錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)，則,所求概率為：,(2) 設(shè)Y為10頁(yè)中有錯(cuò)的頁(yè)數(shù)，則,所求概率為：,想一想：離散型隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特征可以 用分布律描述，非離散型的該如何描述？ 如：熊貓彩電的壽命X是一個(gè)隨機(jī)變量，事 件X=5年的概率為多少呢？,?,這相當(dāng)于，只要知道，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，事件Xx的概率.,描述非離散隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)

7、特征，我們討論它落在某區(qū)間的概率。,3 隨機(jī)變量的分布函數(shù)(P31),(P31) 設(shè)X是隨機(jī)變量，x是任意實(shí)數(shù),函數(shù)F(x)PXx稱(chēng)為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)。,易知，對(duì)任意實(shí)數(shù)a, b (ab), P aXbPXbPXa F(b)F(a).,R,反之，具有上述三個(gè)性質(zhì)的實(shí)函數(shù)，必是某 個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)。故該三個(gè)性質(zhì)是 分布函數(shù)的充分必要性質(zhì)。,分布函數(shù)的性質(zhì)(P31),例1: 設(shè)隨機(jī)變量X分布律如右表,解:,試求出X的分布函數(shù)。,當(dāng) x0 時(shí), F(x)=0,當(dāng)0 x1 時(shí), F(x)=PXx=PX=0=0.1,當(dāng)1x2 時(shí), F(x)=PXx=PX=0+PX=1=0.1+0.6=0.7,當(dāng)

8、x2 時(shí), F(x)=PXx=PX=0+PX=1+PX=2=1,一般地，對(duì)離散型隨機(jī)變量 XPX= xkpk, k1, 2, 其分布函數(shù)為,離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是階梯函數(shù), 分布函數(shù)的跳躍點(diǎn)對(duì)應(yīng)離散型隨機(jī)變量的可能取值點(diǎn), 跳躍高度對(duì)應(yīng)隨機(jī)變量取對(duì)應(yīng)值的概率; 反之, 如果某隨機(jī)變量的分布函數(shù)是階梯函數(shù),則該隨機(jī)變量必為離散型.,利用分布函數(shù)計(jì)算概率的一些公式,例2：設(shè)離散r.v. X的分布函數(shù)為：,求 r.v.X的分布律，并求,解：,例3: 向0,1區(qū)間隨機(jī)拋一質(zhì)點(diǎn)，以X表示質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo).假定質(zhì)點(diǎn)落在0,1區(qū)間內(nèi)任一子區(qū)間內(nèi)的概率與區(qū)間長(zhǎng)成正比，求X的分布函數(shù),當(dāng)x1時(shí),F(x)=1,當(dāng)0

9、x1時(shí),特別,F(1)=P0X1=k=1,F(x)=PXx,解：,1. 定義 對(duì)于隨機(jī)變量X，若存在非負(fù)函數(shù)f(x)，(-x+)，使對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有,則稱(chēng)X為連續(xù)型隨機(jī)變量， f(x)為X的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)概率密度或密度函數(shù). 常記為: X f(x) , (-x+),4 連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度(P34),一、概率密度(P34),(2). 密度函數(shù)的幾何意義為,(1). F(x)是連續(xù)函數(shù)。,2. 密度函數(shù)的性質(zhì) (p34) (1) 非負(fù)性 f(x)0，(-x)； (2) 歸一性,性質(zhì)(1)、(2)是密度函數(shù)的充要性質(zhì)；,EX,設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為,求常數(shù)a.,答:,(3) 若x是f

10、(x)的連續(xù)點(diǎn)，則,EX,設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為 求f(x),（4） 對(duì)任意實(shí)數(shù)b，若X f(x)， (-x)，則PX=b0。 于是,例1：已知隨機(jī)變量X的概率密度為 （1）求參數(shù)A. (2) P0.5X3. (3) 求分布函數(shù)F(X).,解：,若Xf(x),則稱(chēng)X在(a, b)內(nèi)服從均勻分布。記作 XU(a, b),對(duì)任意實(shí)數(shù)c, d (acdb)，都有,這說(shuō)明X落在(a, b)中任一區(qū)間的概率只與該區(qū)間的長(zhǎng)度成正比，而與該區(qū)間的位置無(wú)關(guān)，這就是均勻分布的概率意義。,二、幾個(gè)常用的連續(xù)型分布(P36),1. 均勻分布p(36),例2.長(zhǎng)途汽車(chē)起點(diǎn)站于每時(shí)的10分、25分、55分發(fā)車(chē)，設(shè)乘客

11、不知發(fā)車(chē)時(shí)間，于每小時(shí)的任意時(shí)刻隨機(jī)地到達(dá)車(chē)站，求乘客候車(chē)時(shí)間超過(guò)10分鐘的概率.,15,45,解：設(shè)A乘客候車(chē)時(shí)間超過(guò)10分鐘 X乘客于某時(shí)X分鐘到達(dá)，則XU(0,60),若 X,則稱(chēng)X服從參數(shù)為 0 的指數(shù)分布。 其分布函數(shù)為,2. 指數(shù)分布(p37),例3. 電子元件的壽命X(年）服從參數(shù)為3的指數(shù)分布 (1) 求該電子元件壽命超過(guò)2年的概率。 (2) 已知該電子元件已使用了1.5年，求它還能使用 兩年的概率為多少？,解:,例4.某公路橋每天從零時(shí)刻開(kāi)始到第一輛汽車(chē)過(guò)橋經(jīng)過(guò)的時(shí)間為T(mén)，設(shè)每t時(shí)段內(nèi)過(guò)橋的汽車(chē)數(shù)Xt服從參數(shù)為t的泊松分布，求T的概率密度。,解:,當(dāng)t 0時(shí)，,當(dāng)t 0時(shí)，,

12、=1-P在0，t時(shí)段內(nèi)無(wú)汽車(chē)過(guò)橋,于是,正態(tài)分布是實(shí)踐中應(yīng)用最為廣泛，在理論上 研究最多的分布之一，故它在概率統(tǒng)計(jì)中占有特 別重要的地位。,A,B,A，B間真實(shí)距離為，測(cè)量值為X。,X的概率密度應(yīng)該是什么形態(tài)？,3. 正態(tài)分布(p38),其中 為實(shí)數(shù)， 0 ，則稱(chēng)X服從參數(shù)為 ,2的正態(tài)分布,記為N(, 2)，可表為XN(, 2). P(35),若隨機(jī)變量,(1) 單峰對(duì)稱(chēng) 密度曲線關(guān)于直線x=對(duì)稱(chēng)；(p36) f()maxf(x),正態(tài)分布有兩個(gè)特性：,(2) 的大小直接影響概率的分布 越大，曲線越平坦， 越小，曲線越陡峭。 正態(tài)分布也稱(chēng)為高斯(Gauss)分布,參數(shù)0，21的正態(tài)分布稱(chēng)為標(biāo)

13、準(zhǔn)正態(tài)分布，記作XN(0, 1)。,4. 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布(p39),分布函數(shù)表示為,其密度函數(shù)表示為,一般的概率統(tǒng)計(jì)教科書(shū)均附有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表供讀者查閱(x)的值。(P268附表1)如，若 XN(0,1), (0.5)=0.6915, P1.32X2.43=(2.43)-(1.32) =0.9925-0.9066,正態(tài)分布表,注：(1) (x)1 (x)； (2) 若XN(, 2)，則,例5 設(shè) XN(,2),求P-3X+3.,正態(tài)分布表,本題結(jié)果稱(chēng)為3原則.在工程應(yīng)用中，通常認(rèn)為P|(X- )/|31，忽略|(X- )/|3的值. 如在質(zhì)量控制中，常用標(biāo)準(zhǔn)指標(biāo)值3作兩條線，當(dāng)生產(chǎn)過(guò)程的指標(biāo)觀察

14、值落在兩線之外時(shí)發(fā)出警報(bào).表明生產(chǎn)出現(xiàn)異常.,例6 一種電子元件的使用壽命（小時(shí)）服從正態(tài)分布(100,152),某儀器上裝有3個(gè)這種元件，三個(gè)元件損壞與否是相互獨(dú)立的.求：使用的最初90小時(shí)內(nèi)無(wú)一元件損壞的概率.,解: 設(shè)Y為使用的最初90小時(shí)內(nèi)損壞的元件數(shù),故,則Yb(3,p),其中,正態(tài)分布表,上分位點(diǎn): 設(shè) XN(0,1)，若對(duì)于：01，存在,例7 查表,性質(zhì)：,例1 已知,X,Pk,-1 0 1,求：Y=X2的分布律,Y,Pk,1 0,5 隨機(jī)變量函數(shù)的分布(P42),一、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布律,設(shè)X為一個(gè)隨機(jī)變量，分布律為 XPXxkpk, k1, 2, 若yg(x)是單值實(shí)函數(shù)，求Y g(X)的分布律.,?,二、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的密度函數(shù),1、一般方法 若Xf(x),-x+, Y=g(X)為隨機(jī)變量X的函數(shù)， 則可先求Y的分布函數(shù) FY (y) PYyP g(X) y,再求Y的密度函數(shù),此法也叫“ 分布函數(shù)法”,例2 設(shè)XU(-1,1),求Y=X2的概率密度。,當(dāng)y0時(shí)，,當(dāng)0y1時(shí)，,當(dāng)y1時(shí)，,解：,例3 設(shè)X的概率密度為fX(x),y=g(x)關(guān)于x處處可導(dǎo)且是x的嚴(yán)格單調(diào)減函數(shù)，求Y=g(X)的概率密度。,FY(y)=PYy=Pg(X)y =PXg-1(y)=1-FX(g-1(y),Y的概率密度為： fY(y)=