微積分下冊總復習.ppt

1、總 復 習,1、多元函數(shù)的定義、極限及連續(xù)性,確定極限,不存在,的方法,(1),此時即可斷言極限不存在。,找兩種不同趨近方式,但兩者不相等,存在,第七章 多元函數(shù)微分學,2、偏導數(shù)與全微分,若不存在，則不可微，,否則轉(zhuǎn)下一步；,若為0，則可微，,否則不可微。,3、復合函數(shù)求導法,則復合函數(shù),(1) 一個方程情形(二元方程、三元方程),4、隱函數(shù)的求導法,隱函數(shù)存在定理1,設,的某一鄰域內(nèi)滿足:,在點,則方程,的某一鄰域內(nèi),并有,(1) 具有連續(xù)偏導數(shù);,它滿足條件,在點,恒能唯一確定一個連續(xù)且具有連續(xù)導數(shù)的函數(shù),(2) 方程組情形,隱函數(shù)的個數(shù)=方程的個數(shù),隱函數(shù)的自變量個數(shù)=總自變量個數(shù) 方

2、程的個數(shù),5. 多元函數(shù)微分學的幾何應用,(1) 空間曲線的切線與法平面(三種情形),(2) 空間曲面的切平面與法線(三種情形),6. 方向?qū)?shù)與梯度,方向?qū)?shù),梯度,*,*,方向?qū)?shù)與梯度的關系,函數(shù)沿梯度方向的方向?qū)?shù)最大(即增長最快)，且方向?qū)?shù)的最大值為梯度的模。,7. 多元函數(shù)的極值與最值,(1) 極值的必要條件,極值的充分條件,(2) 求條件極值的方法,代入法，Lagrange乘數(shù)法,*,(3) 求最值的方法,1. 求D內(nèi)所有的駐點和不可導點；,2. 用求條件極值的方法(Lagrange乘數(shù)法或代入法)求D的邊界上的條件極值點；,3. 求D的邊界的邊界點；,4. 計算上面三步求出的

3、所有點的函數(shù)值，最大者即為D上的最大值，最小者即為最小值。,1. 理解二重積分、三重積分的概念,第八章 重積分,2. 掌握二重積分的計算法(直角坐標、極,3. 會用重積分求一些幾何量與物理量.,了解,重積分的性質(zhì).,了解三重積分的計算法（直角坐標、,坐標)，,柱面坐標、球面坐標).,其中,二重積分,是各小閉區(qū)域的直徑中的最大值.,幾何意義,二重積分I表示以D為底,柱體的體積.,z =f (x, y)為曲頂, 側(cè)面是,定義,1.,平面上有界閉區(qū)域D上二元有界函數(shù),z = f (x, y)的二重積分,2.,當連續(xù)函數(shù),以D的邊界為準線,母線平行于z軸的柱面的曲頂,一般情形,xOy平面上方的曲頂柱體

4、體積,減xOy平面下方的曲頂柱體體積.,物理意義,3.,若平面薄片占有平面內(nèi)有界閉區(qū)域D,則它的質(zhì)量M為:,它的面,密度為連續(xù)函數(shù),性質(zhì)1(線性運算性質(zhì)),為常數(shù), 則,(重積分與定積分有類似的性質(zhì)),4、二重積分的性質(zhì),性質(zhì)2,將區(qū)域D分為兩個子域,對積分區(qū)域的可加性質(zhì).,以1為高的,性質(zhì)3(幾何應用),若 為D的面積,既可看成是以D為底,柱體體積.,又可看成是D的面積.,特殊地,性質(zhì)4(比較性質(zhì)),則,(保序性),性質(zhì)5(估值性質(zhì)),為D的面積, 則,性質(zhì)6(二重積分中值定理),體體積等于以D為底,幾何意義,域D上連續(xù),為D的面積,則在D上至少存在一點,使得,則曲頂柱,為高的平頂柱體體積.

5、,設f (x, y)在閉區(qū),(1)設f (x, y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù).,若D關于,則,x軸對稱,f (x, y)對y為奇函數(shù), 即,f (x, y)對y為偶函數(shù), 即,則,其中,5、對稱區(qū)域上奇偶函數(shù)的積分性質(zhì),(2)設f (x, y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù).,若D關于,則,y軸對稱,f (x, y)對x為奇函數(shù), 即,f (x, y)對x為偶函數(shù), 即,則,其中,其中函數(shù),在區(qū)間a, b上連續(xù).,(1) 直角坐標系,先對y 后對x的二次積分,6、二重積分計算,其中函數(shù),在區(qū)間c, d上連續(xù).,先對x 后對y的二次積分.,交換積分次序的步驟,(1) 利用已給的二次積分的積分限得出相應的二重積

6、分的積分區(qū)域,(2) 按相反順序?qū)懗鱿鄳亩畏e分.,并畫出草圖;,(2) 極坐標系,其中函數(shù),其中函數(shù),極坐標系下區(qū)域的面積,其中函數(shù),2、三重積分的幾何意義,3、三重積分的性質(zhì),類似于二重積分的性質(zhì),1、三重積分的定義,三重積分,三重積分,對稱性質(zhì),則稱f關于變量z的奇 函數(shù).,關于,坐標面的上半部區(qū)域.,(偶),關于,坐標面的前半部區(qū)域.,關于,坐標面的右半部區(qū)域.,4、三重積分的計算,() 直角坐標,() 柱面坐標,注,通常是先積,再積,后積,() 球面坐標,通常是,5、二重積分的應用,(1) 體積,設S曲面的方程為：,曲面S的面積為,(2) 曲面面積,當薄片是均勻的，重心稱為形心.,

7、(3) 重心,薄片對于x軸的轉(zhuǎn)動慣量,薄片對于y軸的轉(zhuǎn)動慣量,(4) 轉(zhuǎn)動慣量,薄片對 軸上單位質(zhì)點的引力,為引力常數(shù),(5) 引力,6、三重積分的應用,() 重心,() 轉(zhuǎn)動慣量,第九章 曲線積分與曲面積分,曲線積分的性質(zhì)及兩類曲線積分的關系.,2. 會計算兩類曲線積分.,曲線積分與路徑無關的條件.,1. 理解兩類曲線積分的概念,了解兩類,3. 掌握格林(Green)公式,會使用平面,(Gauss) 、,5.了解散度、旋度的概念及其計算,6. 會用曲線積分、,4. 了解兩類曲面積分的概念及高斯,并會,計算兩類曲面積分.,斯托克斯(Stokes)公式,方法.,曲面積分求一些,幾何量與物理量.,

8、格林公式,思路,閉合,非閉,閉合,非閉,補充曲線或用公式,第二類曲線積分,的計算法,如果曲面方程為以下三種：,第一類曲面積分,曲面積分,則,則,則,第二類曲面積分,其中符號當取上側(cè)時為正，下側(cè)時為負。,其中符號當取右側(cè)時為正，左側(cè)時為負。,其中符號當取前側(cè)時為正，后側(cè)時為負。,注意:對坐標的曲面積分,必須注意曲面所取的側(cè).,兩類關系,高斯公式,設向量場,P, Q, R, 在域G內(nèi)有一階 連續(xù),偏導數(shù),則,向量場通過有向曲面 的通量為,2. 通量與散度,G 內(nèi)任意點處的散度為,斯托克斯(stokes)公式,斯托克斯公式,斯托克斯( Stokes ) 公式,2. 旋度,第二類曲面積分的計算法,1.

9、 利用Gauss公式,具有,則,外側(cè).,一階連續(xù)偏導數(shù),具有一階連續(xù)偏導數(shù),則,2.,上側(cè)為正，下側(cè)為負。,常數(shù)項級數(shù),函數(shù)項級數(shù),交 錯 級 數(shù),正 項 級 數(shù),冪級數(shù),三角級數(shù),收 斂 半 徑 R,泰勒展開式,數(shù)或函數(shù),函 數(shù),數(shù),任 意 項 級 數(shù),傅氏展開式,傅氏級數(shù),泰勒級數(shù),滿足狄 氏條件,第十章 無窮級數(shù),定義,1、正項級數(shù)及其審斂法,審斂法,(1) 比較審斂法,(2) 比較審斂法的極限形式,定義 正 、負項相間的級數(shù)稱為交錯級數(shù).,2、交錯級數(shù)及其審斂法,定義 正項和負項任意出現(xiàn)的級數(shù)稱為任意項級數(shù).,3、任意項級數(shù)及其審斂法,4、函數(shù)項級數(shù),(1) 定義,(2) 收斂點與收斂

10、域,(3) 和函數(shù),(1) 定義,5、冪級數(shù),(2) 收斂性,推論,定義: 正數(shù)R稱為冪級數(shù)的收斂半徑.,冪級數(shù)的收斂域稱為冪級數(shù)的收斂區(qū)間.,a.代數(shù)運算性質(zhì):,加減法,(其中,(3)冪級數(shù)的運算,乘法,(其中,除法,b.和函數(shù)的分析運算性質(zhì):,(4) 冪級數(shù)展開式,充要條件,唯一性,展開方法,a.直接法(泰勒級數(shù)法),步驟:,b.間接法,根據(jù)唯一性, 利用常見展開式, 通過變量代換, 四則運算, 恒等變形, 逐項求導, 逐項積分等方法,求展開式.,常見函數(shù)展開式,應用,a.近似計算,b.歐拉公式,(1) 三角函數(shù)系,三角函數(shù)系,6、傅里葉級數(shù),(2) 傅里葉級數(shù),定義,三角級數(shù),其中,稱為

11、傅里葉級數(shù).,(3) 狄利克雷(Dirichlet)充分條件(收斂定理),(4) 正弦級數(shù)與余弦級數(shù),奇延拓:,(5) 周期的延拓,偶延拓:,第十一章 微分方程,一階微分方程,可分離變量方程,齊次方程,(可化為齊次方程的方程),一階線性微分方程,2. 可降階的高階微分方程,Bernoulli方程,全微分方程,4. 常系數(shù)線性微分方程,(齊次，非齊次),3.線性微分方程解的結(jié)構(gòu),1、基本概念,微分方程凡含有未知函數(shù)的導數(shù)或微分的方程叫微分方程,微分方程的階微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最 高階導數(shù)的階數(shù)稱為微分方程的階,微分方程的解代入微分方程能使方程成為恒等式的函數(shù)稱為微分方程的解,通解如果微分方

12、程的解中含有任意常數(shù)，并且任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，這樣的解叫做微分方程的通解,特解確定了通解中的任意常數(shù)以后得到的解，叫做微分方程的特解,初始條件用來確定任意常數(shù)的條件.,初值問題求微分方程滿足初始條件的解的問題，叫初值問題,(1) 可分離變量的微分方程,解法,分離變量法,2、一階微分方程的解法,(2) 齊次方程,解法,作變量代換,齊次方程,否則為非齊次方程,(3) 可化為齊次的方程,解法,化為齊次方程,是兩直線,的交點,(4) 一階線性微分方程,上方程稱為齊次的,上方程稱為非齊次的.,齊次方程的通解為,（使用分離變量法）,解法,非齊次微分方程的通解為,（使用常數(shù)變易法）,(5)

13、伯努利(Bernoulli)方程,方程為線性微分方程.,方程為非線性微分方程.,解法 需經(jīng)過變量代換化為線性微分方程,解法,應用曲線積分與路徑無關., 用直接湊全微分的方法.,通解為,其中,形如,(6) 全微分方程, 用不定積分的方法.,(7) 可化為全微分方程,形如,觀察法:,熟記常見函數(shù)的全微分表達式，通過觀察直接找出積分因子,常見的全微分表達式,可選用積分因子,3、可降階的高階微分方程的解法,解法,特點,型,接連積分n次，得通解,型,解法,代入原方程, 得,特點,型,解法,代入原方程, 得,4、高階線性微分方程解的結(jié)構(gòu),(1) 齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu),解的疊加性：,是方程(1)的解，,也是(1)的解，其中,是(1)的通解，其中,通解的結(jié)構(gòu)：,是方程(1)的n個線性無關的解,(2) 非齊次線性微