9.7方向?qū)?shù)與梯度9.8極值與最值(一).ppt

1、1. 空間曲線的切線與法平面,1) 參數(shù)式情況.,空間光滑曲線,在對應(yīng)t=t0處的切向量,9.6 偏導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用-內(nèi)容回顧,空間光滑曲線,2) 一般式情況.,在點(diǎn)M處的切向量,空間光滑曲面,在點(diǎn),1) 隱式情況 .,處的法向量,2. 曲面的切平面與法線,空間光滑曲面,2) 顯式情況.,法向量,或,向上的方向,向下的方向,曲面 在點(diǎn) P0 處的法向量,法線方程,切平面方程,第九章,一、方向?qū)?shù)定義及計算,二、梯度的概念,9.7 方向?qū)?shù)與梯度,三、方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系,基本要求：會求方向?qū)?shù)和梯度,一、方向?qū)?shù),定義: 若函數(shù),則稱,為函數(shù)在點(diǎn) P 處沿方向 l 的方向?qū)?shù).,在點(diǎn),處,沿方向

2、 l (方向角為,) 存在下列極限:,記作,定理:,則函數(shù)在該點(diǎn)沿任意方向 l 的方向?qū)?shù)存在 ,證明: 由函數(shù),且有,在點(diǎn) P 可微 ,得,故,對于二元函數(shù)f(x,y),在點(diǎn)P(x,y)處沿方向l,為, ) 的方向?qū)?shù)為,特別:, 當(dāng) l 與 x 軸同向, 當(dāng) l 與 x 軸反向,(方向角, 當(dāng) l 與 x 軸同向, 當(dāng) l 與 x 軸反向,偏導(dǎo)數(shù)存在保證沿坐標(biāo)軸的方向?qū)?shù)存在,反之不真.,在點(diǎn)(0,0)處沿x軸正向的方向?qū)?shù),(不存在).,沿x軸反向的方向?qū)?shù)為-1.,但不能保證其他方向的方向?qū)?shù)存在!,例1. 求函數(shù),在點(diǎn) P(1, 1, 1) 沿向量,3) 的方向?qū)?shù) .,例2. 設(shè),

3、是曲面,在點(diǎn) P(1, 1, 1 )處,指向外側(cè)的法向量,解:,方向余弦為,而,同理得,方向,的方向?qū)?shù).,在點(diǎn)P 處沿,求函數(shù),二、梯度,向量,同樣可定義二元函數(shù)及一般多元函數(shù)梯度的概念.,稱為三元函數(shù)u=f(x,y,z),在點(diǎn)(x,y,z)處的梯度.,記為:gradf (x,y,z)或gradf,在點(diǎn)(x0,y0,z0)處的梯度.,記為:gradf (x0,y0,z0),即以函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)為分量的向量稱為梯度,二元函數(shù)的梯度,這說明,方向：f 變化率最大的方向,模 : f 的最大變化率之值,方向?qū)?shù)取最大值：,記與 同向的單位向量為,三、方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系,(為的夾角),梯度的基本運(yùn)算公式

4、,由梯度的計算公式不難驗(yàn)證以上公式,P51 9 (1)(2),不妨設(shè)u,v為可微的二元函數(shù),記公式按微分 符號理解,函數(shù)在一點(diǎn)的梯度垂直于該點(diǎn)等值面(或等值線) ,稱為函數(shù) f 的等值線 .,則L*上點(diǎn)P 處的法向量為,同樣, 對應(yīng)函數(shù),有等值面(等量面),當(dāng)各偏導(dǎo)數(shù)不同時為零時,其上,點(diǎn)P處的法向量為,指向函數(shù)增大的方向.,3*. 梯度的幾何意義,4*、物理意義,函數(shù),數(shù)量場 (數(shù)性函數(shù)),場,向量場(矢性函數(shù)),可微函數(shù),梯度場,( 勢 ),如: 溫度場, 電位場等,如: 力場,速度場等,(向量場),注意: 任意一個向量場不一定是梯度場.,內(nèi)容小結(jié),1. 方向?qū)?shù), 三元函數(shù),在點(diǎn),沿方向

5、 l (方向角,的方向?qū)?shù)為, 二元函數(shù),在點(diǎn),的方向?qū)?shù)為,沿方向 l (方向角為,2. 梯度, 三元函數(shù),在點(diǎn),處的梯度為, 二元函數(shù),在點(diǎn),處的梯度為,3. 關(guān)系,方向?qū)?shù)存在,偏導(dǎo)數(shù)存在, 可微,沿坐標(biāo)軸的方向?qū)?shù)存在,例3.,函數(shù),在點(diǎn),處的梯度,解:,(92考研),指向 B( 3, 2 , 2) 方向的方向?qū)?shù)是 .,在點(diǎn)A( 1 , 0 , 1) 處沿點(diǎn)A,例4. 函數(shù),解:,則,(96考研),=,第九章,一、多元函數(shù)的極值,二、最值應(yīng)用問題,三、條件極值,9.8 多元函數(shù)的極值及其求法,一、 多元函數(shù)的極值,定義: 若函數(shù),則稱函數(shù)在該點(diǎn)取得極大值(極小值).,例如 :,在點(diǎn)

6、(0,0) 有極小值;,在點(diǎn) (0,0) 有極大值;,在點(diǎn) (0,0) 無極值.,極大值和極小值,統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).,的某去心鄰域內(nèi)有,說明: 使偏導(dǎo)數(shù)都為 0 的點(diǎn)稱為駐點(diǎn) .,例如,定理1 (必要條件),函數(shù),偏導(dǎo)數(shù),證:,據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件可知定理結(jié)論成立.,取得極值 ,取得極值,取得極值,但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).,有駐點(diǎn)( 0, 0 ),但在該點(diǎn)不取極值.,且在該點(diǎn)取得極值 ,則有,存在,故,時, 具有極值,定理2 (充分條件),的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 且,令,則: 1) 當(dāng),A0 時取極大值;,A0 時取極小值.,2) 當(dāng),3) 當(dāng),證明 (略) .,時, 沒有極值.,時, 不能確定 , 需另行討論.,若函數(shù),注意:判別式是,例1.,求函數(shù),解: 第一步 求駐點(diǎn).,駐點(diǎn)為:(1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .,第二步 列表考查,的極值.,=0,=0,例2.討論函數(shù),及,是否取得極值.,解: 顯然 (0,0) 都是它們的駐點(diǎn) ,在(0,0)點(diǎn)鄰域內(nèi)的取值, 因此 z(0,0) 不是極值.,因此,為極小值.,正,負(fù),0,在點(diǎn)(0,0),并且在 (0,0) 都有,可能為,作業(yè) 5-