量子力學(xué)QMCh2.ppt

1、1,第 二 章 波函數(shù)與薛定諤方程,The wave function and Schrdinger Equation,2,2.1 波函數(shù)的統(tǒng)計解釋 The Wave function and its statistic explanation 2.2 態(tài)疊加原理 The principle of superposition 2.3 薛定諤方程 The Schrdinger equation 2.4 粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律 The current density of particles and conservation laws 2.5 定態(tài)薛定諤方程 Time independent

2、Schrdinger equation 2.6 一維無限深勢阱 The infinite potential well 2.7 線性諧振子 The linear harmonic oscillator 2.8 勢壘貫穿 The transmission of potential barrier,學(xué)習(xí)內(nèi)容,3,學(xué)習(xí)要求,4,微觀粒子因具有波粒二象性，其運動狀態(tài)的描述必有別于經(jīng)典力學(xué)對粒子運動狀態(tài)的描述，即微觀粒子的運動狀態(tài)不能用坐標(biāo)、速度等物理量來描述。這就要求在描述微觀粒子的運動時，要有創(chuàng)新的概念和思想來統(tǒng)一波和粒子這樣兩個在經(jīng)典物理中截然不同的物理圖像。,2.1 波函數(shù)的統(tǒng)計解釋,1微觀粒子

3、狀態(tài)的描述,微觀粒子的運動狀態(tài)可用一個復(fù)函數(shù) 來描述， 函數(shù) 稱為波函數(shù)。, 描述自由粒子的波是具有確定能量和動量的平面波,如果粒子處于隨時間和位置變化的力場 中運動，它的動量和能量不再是常量（或不同時為常量）粒子的狀態(tài)就不能用平面波描寫，而必須用較復(fù)雜的波描寫，一般記為：,5,三個問題？,(1) 是怎樣描述粒子的狀態(tài)呢？,(2) 如何體現(xiàn)波粒二象性的？,(3) 描寫的是什么樣的波呢？,2.1 波函數(shù)的統(tǒng)計解釋（續(xù)1）,電子單縫衍射實驗,2波函數(shù)的統(tǒng)計解釋,電子小孔衍射實驗,6, 兩種錯誤的看法,（1） 波由粒子組成,如水波，聲波，由物質(zhì)的分子密度疏密變化而形成的一種分布。,這種看法與實驗矛盾

4、，它不能解釋長時間單個電子衍射實驗。,電子一個一個的通過小孔，但只要時間足夠長，底片上仍可呈現(xiàn)出衍射花紋。這說明電子的波動性并不是許多電子在空間聚集在一起時才有的現(xiàn)象，單個電子就具有波動性。,事實上，正是由于單個電子具有波動性，才能理解氫原子（只含一個電子?。┲须娮舆\動的穩(wěn)定性以及能量量子化這樣一些量子現(xiàn)象。,2.1 波函數(shù)的統(tǒng)計解釋（續(xù)2）,波由粒子組成的看法僅注意到了粒子性的一面，而抹殺了粒子的波動性的一面，具有片面性。,（2） 粒子由波組成,電子是波包。把電子波看成是電子的某種實際結(jié)構(gòu)，是三維空間中連續(xù)分布的某種物質(zhì)波包。因此呈現(xiàn)出干涉和衍射等波動現(xiàn)象。波包的大小即電子的大小，波包的群速

5、度即電子的運動速度。,7,2.1 波函數(shù)的統(tǒng)計解釋（續(xù)3）,什么是波包？波包是各種波數(shù)（長）平面波的迭加。平面波描寫自由粒子，其特點是充滿整個空間，這是因為平面波振幅與位置無關(guān)。如果粒子由波組成，那么自由粒子將充滿整個空間，這是沒有意義的，與實驗事實相矛盾。,實驗上觀測到的電子，總是處于一個小區(qū)域內(nèi)。例如一個原子內(nèi)的電子，其廣延不會超過原子大小1 。,電子究竟是什么東西呢？是粒子？還是波？ “ 電子既不是粒子也不是波 ”，既不是經(jīng)典的粒子也不是經(jīng)典的波，但是我們也可以說，“ 電子既是粒子也是波，它是粒子和波動二重性矛盾的統(tǒng)一?！?這個波不再是經(jīng)典概念的波，粒子也不是經(jīng)典概念中的粒子。,8,1.

6、實在的物理量的空間分布作周期性的變化; 2干涉、衍射現(xiàn)象，即相干疊加性。,經(jīng)典概念中波意味著,（1）入射電子流強度小，開始顯示電子的微粒性，長時間亦顯示衍射圖樣;, 玻恩的解釋：,衍射實驗事實：,2.1 波函數(shù)的統(tǒng)計解釋（續(xù)4）,（2） 入射電子流強度大，很快顯示衍射圖樣.,9,1926年,玻恩(M.Born)首先提出了波函數(shù)的統(tǒng)計解釋：,波函數(shù)在空間中某一點的強度（波函數(shù)模的平方）與粒子在該點出現(xiàn)的概率密度成比例。,可見，波函數(shù)模的平方 與粒子 時刻在 處附近出現(xiàn)的概率成正比。,2.1 波函數(shù)的統(tǒng)計解釋（續(xù)5）,設(shè)粒子狀態(tài)由波函數(shù) 描述，波的強度是,則微觀粒子在t 時刻出現(xiàn)在 處體積元d內(nèi)的

7、概率,這表明描寫粒子的波是幾率波(概率波),反映微觀客體運動的一種統(tǒng)計規(guī)律性，波函數(shù) 有時也稱為概率幅。,按Born提出的波函數(shù)的統(tǒng)計解釋,粒子在空間中某一點 處出現(xiàn)的概率與粒子的波函數(shù)在該點模的平方成比例,10,（1）“微觀粒子的運動狀態(tài)用波函數(shù)描述，描寫粒子的波是概概波”，這是量子力學(xué)的一個基本假設(shè)（基本原理）。 知道了描述微觀粒子狀態(tài)的波函數(shù)，就可知道粒子在空間各點處出現(xiàn)的概率，以后的討論進一步知道，波函數(shù)給出體系的一切性質(zhì)，因此說波函數(shù)描寫體系的量子狀態(tài)（簡稱狀態(tài)或態(tài)） （2）波函數(shù)一般用復(fù)函數(shù)表示。 （3）波函數(shù)一般滿足連續(xù)性、有限性、單值性。,必須注意,2.1 波函數(shù)的統(tǒng)計解釋（續(xù)

8、6）,令,3波函數(shù)的歸一化條件,11,和 所描寫狀態(tài)的相對概率是相同的，這里的 是常數(shù)。,時刻，在空間任意兩點 和 處找到粒子的相對概率是：,可見， 和 描述的是同一概率波，所以波函數(shù)有一常數(shù)因子不定性。,2.1 波函數(shù)的統(tǒng)計解釋（續(xù)7）,非相對論量子力學(xué)僅研究低能粒子，實物粒子不會產(chǎn)生與湮滅。這樣，對一個粒子而言，它在全空間出現(xiàn)的概率等于一，所以粒子在空間各點出現(xiàn)的概率只取決于波函數(shù)在空間各點強度的相對比例，而不取決于強度的絕對大小，因而，將波函數(shù)乘上一個常數(shù)后，所描寫的粒子狀態(tài)不變，即,和 描述同一狀態(tài),這與經(jīng)典波截然不同。對于經(jīng)典波，當(dāng)波幅增大一倍（原來的 2 倍）時，則相應(yīng)的波動能量將

9、為原來的 4 倍，因而代表完全不同的波動狀態(tài)。經(jīng)典波無歸一化問題。,12,為消除波函數(shù)有任一常數(shù)因子的這種不確定性，利用粒子在全空間出現(xiàn)的概率等于一的特性，提出波函數(shù)的歸一化條件：,2.1 波函數(shù)的統(tǒng)計解釋（續(xù)8）,又因,于是,歸一化條件消除了波函數(shù)常數(shù)因子的一種不確定性。,滿足此條件的波函數(shù) 稱為歸一化波函數(shù)。,13,Ex.1 已知一維粒子狀態(tài)波函數(shù)為,求歸一化的波函數(shù)，粒子的概率分布，粒子在何處出現(xiàn)的概率最大。,歸一化常數(shù),歸一化的波函數(shù),解：(1).求歸一化的波函數(shù),2.1 波函數(shù)的統(tǒng)計解釋（續(xù)9）,（2）概率分布：,（3）由概率密度的極值條件,由于,故 處，粒子出現(xiàn)概率最大。,14,注

10、 意,（1）歸一化后的波函數(shù) 仍有一個模為一的因子 不定性（ 為實函數(shù)）。 若 是歸一化波函數(shù)，那么 也是歸一化波函數(shù)，與前者描述同一概率波。,若 對空間非絕對可積時，需用所謂函數(shù)歸一化方法進行歸一化。,（2）只有當(dāng)概率密度 對空間絕對可積時，才能按歸一化條件 進行歸一化。,2.1 波函數(shù)的統(tǒng)計解釋（續(xù)10）,15,Solve：,歸一化常數(shù), 例如 平面波的歸一化問題,ex.2 已知平面波 , 求歸一化常數(shù),2.1 波函數(shù)的統(tǒng)計解釋（續(xù)11）,歸一化的平面波：,歸一化條件,16,補充作業(yè)題,1. 下列一組波函數(shù)共描寫粒子的幾個不同狀態(tài)? 并指出每個狀態(tài)由哪幾個波函數(shù)描寫。,17,開1閉2，衍射

11、花樣（蘭曲線）,開2閉1，衍射花樣（紫紅曲線）,同時開1，2，衍射花樣（黑曲線）,實 驗 事 實,顯然,2.2 態(tài)疊加原理,1.電子雙縫衍射實驗,表明概率不遵守迭加原則，而波函數(shù)（概率幅）遵守迭加原則：,18,物理意義,當(dāng)兩個縫都開著時，電子既可能處在 態(tài)，也可能處在 態(tài)，也可處在 和 的線性迭加態(tài) ?？梢?， 若 和 是電子的可能狀態(tài)，則 也是電子的可能狀態(tài)。,反言之，電子經(jīng)雙縫衍射后處于 態(tài)，則電子部分地既可處于 態(tài)，也可部分地處在 態(tài)。,2.2 態(tài)迭加原理（續(xù)1）,迭加態(tài)的概率:,電子穿過狹縫出現(xiàn)在點的概率密度,電子穿過狹縫出現(xiàn)在點的概率密度,當(dāng)兩個縫的幾何參數(shù)或電子束相對位置不完全對稱時

12、，迭加態(tài) ,其概率為,19,態(tài)的迭加原理是量子力學(xué)的一個基本假設(shè)，它的正確性也依賴于實驗的證實。,1. 若 是粒子的可能狀態(tài)，則粒子也可處在它們的線性迭加態(tài),2態(tài)迭加原理,2.2 態(tài)迭加原理（續(xù)2）,2.當(dāng)體系處于 態(tài)時，發(fā)現(xiàn)體系處于 態(tài)的概率是 ，并且,3電子在晶體表面的衍射，動量空間的波函數(shù),電子沿垂直方向射到單晶表面，出射后將以各種不同的動量運動，出射后的電子為自由電子，其狀態(tài)波函數(shù)為平面波。,20,電子從晶體表面出射后，既可能處在 態(tài)，也可能處在 、 等狀態(tài)，按態(tài)迭加原理，在晶體表面反射后，電子的狀態(tài) 可表示成 取各種可能值的平面波的線性疊加，即,2.2 態(tài)迭加原理（續(xù)3）,考慮到電子

13、的動量可以連續(xù)變化,21,2.2 態(tài)迭加原理（續(xù)4）,顯然,二式互為Fourer變換式,所以 與 一一對應(yīng),是同一量子態(tài)的兩種不同描述方式。,若 歸一化，則 也是歸一化的,22,2.2 態(tài)迭加原理（續(xù)5）,Prove:,此顯示出把平面波歸一化為 函數(shù)的目的,一維情況下， 與 的Fourer變換關(guān)系：,若取t=0,23,2.3 薛定諤方程,1微觀粒子運動方程應(yīng)具有的特點,（1）含有波函數(shù)對時間的一階導(dǎo)數(shù) （2）方程必為線性的 （3）質(zhì)量為 的非相對性粒子(即低速運動的粒子), 其總能為,本節(jié)研究量子力學(xué)的動力學(xué)問題，建立量子力學(xué)的動力學(xué)方程 Schrdinger方程,2自由粒子的運動方程,24,

14、又,將（1）和（2）式代入（3）式，得,2.3 薛定諤方程（續(xù)1）,（4）,滿足運動方程應(yīng)具有的三個特點，此即為自由粒子的基本運動方程自由粒子的Schrdinger方程。,討論,通過引出自由粒子波動方程的過程可以看出，如果將能量關(guān)系式E = p2/2寫成如下方程形式：,即得自由粒子的Schrdinger方程（4）。,25,3勢場中運動粒子的Schrdinger方程,設(shè)勢場 中運動粒子的狀態(tài)波函數(shù)為,（6）,2.3 薛定諤方程（續(xù)2）,用能量關(guān)系式 乘以波函數(shù),按（5）式，將能量 和動量 分別用能量算符 和動量算符 替代，即得Schrdinger方程,粒子的哈密頓函數(shù),作動量算符替代,26,哈密

15、頓函數(shù),4多粒子體系的Schrdinger方程,2.3 薛定諤方程（續(xù)3）,則,利用哈密頓算符，可將Schrdinger方程（6）寫成另一形式,（7）,Schrdinger方程,（9）,27,（1）Schrdinger作為一個基本假設(shè)提出來，它的正確性已為非相對論量子力學(xué)在各方面的應(yīng)用而得到證實。,注意,（2）Schrdinger方程在非相對論量子力學(xué)中的地位與牛頓方程在經(jīng)典力學(xué)中的地位相仿,只要給出粒子在初始時刻的波函數(shù)，由方程即可求得粒子在以后任一時刻的波函數(shù)。,2.3 薛定諤方程（續(xù)4）,28,2.4粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律,1概率守恒定律,由Schrdinger方程,（1）,則,設(shè)

16、是粒子狀態(tài)的歸一化波函數(shù),討論粒子在一定空間區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)的概率將怎樣隨時間變化,代入（1）式后，有,（2）,29,概率連續(xù)性方程與經(jīng)典電動力學(xué)中的電荷守恒方程 具有相同的形式。,（3）式對空間V作體積分,2.粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律（續(xù)1）,(4)式表明:粒子單位時間在內(nèi)出現(xiàn)的概率的增量等于單位時間內(nèi)流入內(nèi)的概率(負(fù)號表示流入) 。(3)式是概率守恒守律的積分形式。,30,當(dāng) 時,即,2.粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律（續(xù)）,(4),2電荷守恒定律，粒子數(shù)守恒,電荷密度,設(shè)粒子的電荷為，質(zhì)量為,質(zhì)量密度,電流密度,質(zhì)量流密度,電荷守恒律,物質(zhì)守恒律,31,3波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件,（1）根據(jù)Born統(tǒng)計

17、解釋， 是粒子在時刻出現(xiàn)在 點的概率密度，這是一個確定的數(shù)，所以要求應(yīng)是 的單值函數(shù)且有限。,（2）根據(jù)粒子數(shù)守恒定律 :,此式右邊含有及其對坐標(biāo)一階導(dǎo)數(shù)的積分，由于積分區(qū)域是任意選取的，所以是任意閉合面。要使積分有意義，必須在變數(shù)的全部范圍，即空間任何一點都應(yīng)是有限、連續(xù)且其一階導(dǎo)數(shù)亦連續(xù)。,概括之，波函數(shù)在全空間每一點應(yīng)滿足單值、有限、連續(xù)三個條件，該條件稱為波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件。,2.粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律（續(xù)3）,32,2.5 定態(tài)薛定諤方程,1定態(tài)，定態(tài)波函數(shù),（1）,（2）,若 與 無關(guān)，則可以分離變量，令,(2)代入(1) 式，兩邊同除 ，得到,（3）,（4）,33,（6）,(5

18、)代入(2) 式，得到,令,可見分離變量中引入的常數(shù) 為粒子的能量，當(dāng)粒子處在由波函數(shù)（6）所描述的狀態(tài)時，粒子的能量 有確定的值，這種狀態(tài)稱為定態(tài)；描述定態(tài)的波函數(shù)（6）稱為定態(tài)波函數(shù)。,2.5 定態(tài)薛定諤方程（續(xù)1）,2定態(tài)Schrdinger方程,當(dāng)粒子處在定態(tài)中時，具有確定的能量，其空間波函數(shù) 由方程（3），即由,在給定的定解條件下求出，方程（7）稱為定態(tài)Schrdinger方程。,（7）,34,2.5 定態(tài)薛定諤方程（續(xù)2）,3.Hamilton算符和能量本征值方程,（8）,（9）,這兩個方程都是以一個算符作用在定態(tài)波函數(shù) 上，得出定態(tài)能量乘以該定態(tài)波函數(shù)，因此算符,（10）,（11

19、）,利用哈密頓算符(能量算符),可將方程(9)和定態(tài)Schrdinger方程(7)和分別寫成,35,2.5 定態(tài)薛定諤方程（續(xù)3）,當(dāng)體系處在能量本征波函數(shù)所描寫的狀態(tài)(又稱本征態(tài))中時，粒子的能量有確定的值。,討論定態(tài)問題就是要求出體系可能有的定態(tài)波函數(shù)及這些態(tài)中的能量 ；解能量算符本征方程（12）求定態(tài)波函數(shù)的問題又歸結(jié)為解定態(tài)Schrdinger方程+定解條件構(gòu)成的本征值問題:,36,2.5 定態(tài)薛定諤方程（續(xù)4）,本征波函數(shù),任意狀態(tài),4.求解定態(tài)問題的步驟,（1）列出定態(tài)Schrodinger方程,（2）根據(jù)波函數(shù)三個標(biāo)準(zhǔn)條件求解能量 的本征值問題，得：,（4）通過歸一化確定歸一化系

20、數(shù),（3）寫出定態(tài)波函數(shù)即得到對應(yīng)第 個本征值 的定態(tài)波函數(shù),37,與 無關(guān),5定態(tài)的性質(zhì),（2）概率流密度與時間無關(guān),（1）粒子在空間概率密度與時間無關(guān),與 無關(guān),判別定態(tài)的方法：,2.5 定態(tài)薛定諤方程（續(xù)5）,（1）能量是否為確定值 （2）概率與時間無關(guān) （3）概率流密度與時間無關(guān),38,1.下列波函數(shù)所描述的狀態(tài)是否為定態(tài)？為什么？,（1）,（2）,（3）,思考題,2.如果一個粒子只有兩個可能位置,在量子力學(xué)中其波函數(shù)怎樣? 意義又如何?,39,2.6 一維無限深勢阱,在繼續(xù)闡述量子力學(xué)基本原理之前，先用Schrodinger 方程來處理一類簡單的問題 一維定態(tài)問題（一維無限深勢阱，線

21、性諧振子，勢壘貫穿）。,（1）有助于具體理解已學(xué)過的基本原理； （2）有助于進一步闡明其他基本原理； （3）處理一維問題，數(shù)學(xué)簡單，從而能對結(jié)果進行細(xì)致討論，量子體系的許多特征都可以在這些一維問題中展現(xiàn)出來； （4）一維問題還是處理各種復(fù)雜問題的基礎(chǔ)。,其好處主要有四：,考慮一維粒子的運動，其勢能為:,40,1定態(tài)Schrdinger方程,哈密頓算符,2.6 一維無限深勢阱（續(xù)1）,2定態(tài)Schrdinger方程的解,41,2.6 一維無限深勢阱（續(xù)2）,利用 的連續(xù)性，由（3）和（5）得,當(dāng) ，有,當(dāng) ，有,(6)和(7)兩式統(tǒng)一寫成,（8）,本征能量： （9）,42,本征函數(shù),2.6 一維

22、無限深勢阱（續(xù)3）,(10)和(11)兩式統(tǒng)一寫成,由歸一化條件求得歸一化常數(shù),43,推導(dǎo):,（取實數(shù)）,2.6 一維無限深勢阱（續(xù)4）,or,由此可見：粒子的每個定態(tài)波函數(shù) 是由兩個沿相反方向傳播的平面波疊加而成的駐波。,3粒子的定態(tài)波函數(shù),44,4概率幅與概率密度曲線圖,2.6 一維無限深勢阱（續(xù)5）,對于不同的量子數(shù)，在阱內(nèi)某一特定的點，粒子出現(xiàn)的概率是不同的。波函數(shù)與橫軸相交次數(shù)（不含兩端）稱為節(jié)點數(shù)，顯然為n-1,45,5.宇稱,空間反射：空間矢量反向的操作。,稱波函數(shù)具有正宇稱（或偶宇稱）,稱波函數(shù)具有負(fù)宇稱（或奇宇稱）,2.6 一維無限深勢阱（續(xù)6）,46,討論,基態(tài)能量,2.6

23、 一維無限深勢阱（續(xù)7）,（2）能量 取分離譜，即能量是量子化的。,(3)粒子能量最低的態(tài) 稱為基態(tài),與經(jīng)典最低能量為零不同，這是微觀粒子波動性的表現(xiàn)，因為“靜止的波”是沒有意義的，亦即 的態(tài)不存在，無意義。,（1）束縛態(tài)通常將在無窮遠處為零的波函數(shù)所描寫的狀態(tài)稱為束縛態(tài)。,（4）當(dāng) 為偶數(shù)時， ，即 具有負(fù)宇稱（奇宇稱）。 當(dāng) 為奇數(shù)時， ，即 具有正宇稱（偶宇稱)。,本征函數(shù)具有確定宇稱是由勢能對原點對稱： 而導(dǎo)致的。,47,2.7 線性諧振子,在經(jīng)典力學(xué)中，當(dāng)質(zhì)量為 的粒子，受彈性力 作用，由牛頓第二定律可以寫出運動方程為：,其解為 。這種運動稱為簡諧振動，作這種運動的粒子稱為（線性）諧

24、振子。,經(jīng)典允許的振動范圍,諧振子在運動中能量守恒。 其能量是振幅的連續(xù)函數(shù)。,1.經(jīng)典諧振子,諧振子哈密頓量：,引言,諧振子能量：,48,量子力學(xué)中的線性諧振子是指在勢場 中運動的質(zhì)量為 的粒子,2.量子諧振子,例如雙原子分子，兩原子間的勢 是二者相對距離 的函數(shù)，如圖所示。,自然界廣泛碰到簡諧振動，任何體系在平衡位置附近的小振動，例如分子振動、晶格振動、原子核表面振動以及輻射場的振動等往往都可以分解成若干彼此獨立的一維簡諧振動。簡諧振動往往還作為復(fù)雜運動的初步近似，所以簡諧振動的研究，無論在理論上還是在應(yīng)用上都是很重要的。,2.7 線性諧振子（續(xù)1）,49,在 處，有一極小值 。在 附近，

25、勢可以展開成泰勒級數(shù)：,若取 ，即平衡位置處于勢 點；并記 ，則,2.7 線性諧振子（續(xù)2）,50,Hamilton operator,定態(tài)Schrdinger方程：,1. Schrdinger方程,（3）,2.7 線性諧振子（續(xù)3）,51,2. 方程的求解,當(dāng) 時，方程（4）的漸近形式為,（5）,方程（5）在 處的有限解為,代入方程（4）可得 滿足的微分方程,2.7 線性諧振子（續(xù)4）,(8),用常微分方程的冪級數(shù)解法求厄密方程（7）滿足有限性條件（8）的有限解，可得厄密方程本征值問題的本征值：,(9),52,2.7 線性諧振子（續(xù)4）,53,本征函數(shù):,2.7 線性諧振子（續(xù)5）,厄密多項

26、式的微分形式,幾個厄密多項式：,滿足遞推公式,54,由歸一化條件,(10),并運用積分公式：,3. 線性諧振子的能量本征函數(shù),2.7 線性諧振子（續(xù)6）,55,本征波函數(shù),(13),4. 線性諧振子的本征能量,由(2)和(9)式,即由 和,2.7 線性諧振子（續(xù)7）,56,1 能量的本征值：,（1）能量譜為分離譜，兩能級的間隔為,（2）對應(yīng)一個諧振子能級只有一個本征函數(shù)，即一個狀態(tài)，所以能級是非簡并的，每個能級的簡并度為1（一能級對應(yīng)的量子態(tài)數(shù)稱為該能級的簡并度）,（3）基態(tài)能量： （又稱零點能）,零點能不等于零是量子力學(xué)中特有的，是微觀粒子波粒二相性的表現(xiàn)，能量為零的“靜止的” 波是沒有意義

27、的，零點能是量子效應(yīng)，已被絕對零點情況下電子的晶體散射實驗所證實 。,討論,2.7 線性諧振子（續(xù)8）,57,基態(tài)能量：,基態(tài)本征函數(shù)：,2. 基態(tài),在 處的勢能：,在 范圍內(nèi)動能,由概率密度,看出,粒子在 處出現(xiàn)的概率最大；在 范圍內(nèi)，粒子出現(xiàn)的幾率不為零。對其它各能級狀態(tài)下的波函數(shù)可作類似的分析。,2.7 線性諧振子（續(xù)9）,58,在經(jīng)典情形下，粒子將被限制在 范圍中運動。這是因為振子在 處，其勢能 ，即勢能等于總能量，動能為零，經(jīng)典的粒子動能不可以小于零，因此粒子被限制在,可見，量子與經(jīng)典情況完全不同。,3. 具有 宇稱,2.7 線性諧振子（續(xù)10）,上式諧振子波函數(shù)所包含的 是 的偶函

28、數(shù)，所以 的宇稱由厄密多項式 的宇稱決定。 由于 的最高次項是 。當(dāng) 偶數(shù)，則厄密多項式只含的偶次項(偶宇稱)； 當(dāng) 奇數(shù)，則厄密多項式只含的奇次項(奇宇稱) 。所以, 具有 宇稱,59,4本征函數(shù)與概率密度,2.7 線性諧振子（續(xù)11）,線性諧振子波函數(shù),線性諧振子位置概率密度,60,2.7 線性諧振子（續(xù)12）,線性諧振子 n=11 時的概率密度分布,虛線代表經(jīng)典結(jié)果： 經(jīng)典諧振子在原點速度最大，停留時間短 粒子出現(xiàn)的概率??； 在兩端速度為零，出現(xiàn)的概率最大。,從以上本征函數(shù)與概率密度曲線圖看出，量子力學(xué)的諧振子波函數(shù)n有 n 個節(jié)點，在節(jié)點處找到粒子的概率為零。而經(jīng)典力學(xué)的諧振子在 -a

29、, a 區(qū)間每一點上都能找到粒子，沒有節(jié)點。,61,2.7 線性諧振子（續(xù)13）,概率分布特點:,E V 區(qū)有隧道效應(yīng),62,勢壘貫穿是能量為E的粒子入射被勢場散射的問題,2.8 勢壘貫穿,其結(jié)果是：,部分波反射（Reflecting）,部分波透射（Transmitting）,1. 定態(tài)薛定諤方程,63,（1）EU0 情形,令,2.8 勢壘貫穿續(xù)1,則有,分區(qū)取解,2. 方程的求解,由左向右的透射波,三式均為兩個左右傳播的平面波的疊加,64,可得透射波振幅 及反射波振幅 與入射波振幅 間的關(guān)系,聯(lián)立這四個方程式，消除 與,（4）,2.8 勢壘貫穿續(xù)2,65,通過前兩式可得,通過后兩式可得,聯(lián)合

30、上兩組式子可得,兩式左右兩端分別相比,66,整理得,將,代入,67,68,（5）,利用概率流密度公式:,求得入射波 的概率流密度,透射波 的概率流密度,反射波 的概率流密度,2.8 勢壘貫穿續(xù)3,69,為了定量描述入射粒子透射勢壘的概率和被勢壘反射的概率，定義透射系數(shù)和反射系數(shù)。,3. 透射系數(shù)和反射系數(shù),透射系數(shù),（6）,反射系數(shù),（7）,以上二式說明入射粒子一部分貫穿勢壘到 的III區(qū)域，另一部分則被勢壘反射回來。,表明粒子數(shù)守恒,2.8 勢壘貫穿續(xù)4,70,（2）EU0情形,是虛數(shù),令,在(4)和(6)式中，把 換為 ，得到,透射波振幅:,（8）,2.8 勢壘貫穿續(xù)5,71,隧道效應(yīng) （

31、tunnel effect）,粒子能夠穿透比它動能更高的勢壘的現(xiàn)象稱為隧道效應(yīng).它是粒子具有波動性的生動表現(xiàn)。當(dāng)然，這種現(xiàn)象只在一定條件下才比較顯著。右圖給出了勢壘穿透的波動圖象。,此結(jié)果表明，即使 ，透射系數(shù) 一般不等于零。,2.8 勢壘貫穿續(xù)6,72,當(dāng) 很小，或 ，而 又不太小時，有 ，則,討論,式(9)化成,1.低能粒子穿透,2.8 勢壘貫穿續(xù)7,73,2.任意形狀的勢壘,可把任意形狀的勢壘分割成 許 多小勢壘，這些小勢壘可 以近 似用方勢壘處理。,對每一小方勢壘透射系數(shù),2.8 勢壘貫穿續(xù)8,則貫穿整個勢壘的 透射系數(shù)等于貫穿這些小方勢壘透射系數(shù)之積，即,74,4.應(yīng)用實例,1962年,Josephson發(fā)現(xiàn)了Josephson節(jié)。