高中數(shù)學 第一章 導數(shù)及其應用 1.6 微積分基本定理學案(含解析)新人教A版選修

1、1.6微積分基本定理學習目標1直觀了解并掌握微積分基本定理的含義2會利用微積分基本定理求函數(shù)的定積分知識鏈接1導數(shù)與定積分有怎樣的聯(lián)系？答導數(shù)與定積分都是微積分學中兩個最基本、最重要的概念，運用它們之間的聯(lián)系，我們可以找出求定積分的方法，求導數(shù)與定積分是互為逆運算2在下面圖(1)、圖(2)、圖(3)中的三個圖形陰影部分的面積分別怎樣表示？答根據(jù)定積分與曲邊梯形的面積的關(guān)系知：圖(1)中Sf(x)dx，圖(2)中Sf(x)dx，圖(3)中Sf(x)dxf(x)dx.預習導引1微積分基本定理如果f(x)是區(qū)間a，b上的連續(xù)函數(shù)，并且F(x)f(x)，那么f(x)dxF(b)F(a)2函數(shù)f(x)與

2、其一個原函數(shù)的關(guān)系(1)若f(x)c(c為常數(shù))，則F(x)cx；(2)若f(x)xn(n1)，則F(x)xn1；(3)若f(x)，則F(x)ln_x(x0)；(4)若f(x)ex，則F(x)ex；(5)若f(x)ax，則F(x)(a0且a1)；(6)若f(x)sin x，則F(x)cos_x；(7)若f(x)cos x，則F(x)sin_x.要點一求簡單函數(shù)的定積分例1計算下列定積分(1)3dx；(2)(2x3)dx；(3)1(4xx2)dx；(4)(x1)5dx.解(1)因為(3x)3，所以3dx(3x)32313.(2)因為(x23x)2x3，所以(2x3)dx(x23x)2232(02

3、30)10.(3)因為4xx2，所以1(4xx2)dx.(4)因為(x1)5，所以1(x1)5dx(x1)6(21)6(11)6.規(guī)律方法(1)用微積分基本定理求定積分的步驟：求f(x)的一個原函數(shù)F(x)；計算F(b)F(a)(2)注意事項：有時需先化簡，再求積分；f(x)的原函數(shù)有無窮多個，如F(x)c，計算時，一般只寫一個最簡單的，不再加任意常數(shù)c.跟蹤演練1求下列定積分：(1)0(3xsin x)dx；(2)1dx.解(1)3xsin x，0(3xsin x)dx1；(2)(exln x)ex，1(ex)dx(e2ln 2)(e0)e2eln 2.要點二求較復雜函數(shù)的定積分例2求下列定

4、積分：(1)1(1)dx；(2)02cos2dx；(3)1(2x)dx.解(1)(1)x，又x.1(1)dx.(2)2cos21cos x，(xsin x)1cos x，原式0(1cos x)dx(xsin x)1.(3)2x，1(2x)dx2.規(guī)律方法求較復雜函數(shù)的定積分的方法：(1)掌握基本初等函數(shù)的導數(shù)以及導數(shù)的運算法則，正確求解被積函數(shù)的原函數(shù)，當原函數(shù)不易求時，可將被積函數(shù)適當變形后求解，具體方法是能化簡的化簡，不能化簡的變?yōu)閮绾瘮?shù)、正、余弦函數(shù)、指數(shù)、對數(shù)函數(shù)與常數(shù)的和與差(2)確定積分區(qū)間，分清積分下限與積分上限跟蹤演練2計算下列定積分：(1)0(sin xsin 2x)dx；(

5、2)ex(1ex)dx.解(1)sin xsin 2x的一個原函數(shù)是cos xcos 2x，所以0(sin xsin 2x)dx.(2)ex(1ex)exe2x，exe2x，ex(1ex)dxdxeln 2e2ln 2e0e0241.要點三定積分的簡單應用例3已知f(a)0(2ax2a2x)dx，求f(a)的最大值解2ax2a2x，0(2ax2a2x)dxaa2，即f(a)aa22，當a時，f(a)有最大值.規(guī)律方法定積分的應用體現(xiàn)了積分與函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，可以通過積分構(gòu)造新的函數(shù)，進而對這一函數(shù)進行性質(zhì)、最值等方面的考查，解題過程中注意體會轉(zhuǎn)化思想的應用跟蹤演練3已知f(x)ax2bxc(a0

6、)，且f(1)2，f(0)0，0f(x)dx2，求a、b、c的值解由f(1)2，得abc2.又f(x)2axb，f(0)b0，而0f(x)dx0(ax2bxc)dxabc，abc2，由式得a6，b0，c4.要點四求分段函數(shù)的定積分例4計算下列定積分：(1)若f(x)，求1f(x)dx；(2)0|x24|dx.解(1)1f(x)dx1x2dx0(cos x1)dx，又x2，(sin xx)cos x1原式x3(sin xx)(sin 00).(2)|x24|又x24，4x2，0|x24|dx0(4x2)dx2(x24)dx0(912).規(guī)律方法(1)求分段函數(shù)的定積分時，可利用積分性質(zhì)將其表示為

7、幾段積分和的形式；(2)帶絕對值的解析式，先根據(jù)絕對值的意義找到分界點，去掉絕對值號，化為分段函數(shù)；(3)含有字母參數(shù)的絕對值問題要注意分類討論跟蹤演練4求3(|2x3|32x|)dx.解|2x3|32x|3(|2x3|32x|)dx3(4x)dx6dx34xdx2x26x2x245.1(1cos x)dx等于()A B2 C2 D2答案D解析(xsin x)1cos x，sin2.2若dx3ln 2，則a的值是()A5 B4 C3 D2答案D解析dx2xdxdxx2|ln xa21ln a3ln 2，解得a2.3dx_.答案解析dxx2dxxdx.4已知f(x)，計算f(x)dx.解f(x)

8、dx0f(x)dxf(x)dx0(4x2)dxcos xdx，取F1(x)2x22x，則F1(x)4x2；取F2(x)sin x，則F2(x)cos x.所以0(4x2)dxcos xdx(2x22x)sin x，即f(x)dx21.1求定積分的一些常用技巧(1)對被積函數(shù)，要先化簡，再求積分(2)若被積函數(shù)是分段函數(shù)，依據(jù)定積分“對區(qū)間的可加性”，分段積分再求和(3)對于含有絕對值符號的被積函數(shù)，要去掉絕對值符號才能積分2由于定積分的值可取正值，也可取負值，還可以取0，而面積是正值，因此不要把面積理解為被積函數(shù)對應圖形在某幾個區(qū)間上的定積分之和，而是在x軸下方的圖形面積要取定積分的相反數(shù).一

9、、基礎(chǔ)達標1已知物體做變速直線運動的位移函數(shù)ss(t)，那么下列命題正確的是()它在時間段a，b內(nèi)的位移是ss(t)；它在某一時刻tt0時，瞬時速度是vs(t0)；它在時間段a，b內(nèi)的位移是slis(i)；它在時間段a，b內(nèi)的位移是ss(t)dt.A B C D答案D2若F(x)x2，則F(x)的解析式不正確的是()AF(x)x3BF(x)x3CF(x)x31DF(x)x3c(c為常數(shù))答案B解析若F(x)x3，則F(x)3x2，這與F(x)x2不一致，故選B.3(ex2x)dx等于()A1 Be1 Ce De1答案C解析(ex2x)dx(exx2)|(e112)(e002)e.4已知f(x)

10、，則1f(x)dx的值為()A. B C D答案B解析1f(x)dx1x2dx1dx11，故選B.5設函數(shù)f(x)ax2c(a0)，若f(x)dxf(x0)，0x01，則x0的值為_答案解析由已知得acaxc，x，又0x01，x0.6(2013湖南)若x2dx9，則常數(shù)T的值為_答案3解析x2dxT39，即T327，解得T3.7已知1(x3ax3ab)dx2a6且f(t)(x3ax3ab)dx為偶函數(shù)，求a，b的值解f(x)x3ax為奇函數(shù)，1(x3ax)dx0，1(x3ax3ab)dx1(x3ax)dx1(3ab)dx0(3ab)1(1)6a2b.6a2b2a6，即2ab3，又f(t)(3a

11、b)t為偶函數(shù)，3ab0，由得a3，b9.二、能力提升80sin2dx等于()A. B1C2 D答案D解析0sin2dx0dx0，故選D.9(2013江西)若S1x2dx，S2dx，S3exdx，則S1，S2，S3的大小關(guān)系為()AS1S2S3 BS2S1S3CS2S3S1 D S3S2S1答案B解析S1x2dxx3S2ln 21，S3exdxex|e2ee(e1)，所以S2S1S3，選B.10設f(x)若ff(1)1，則a_.答案1解析因為x10，所以f(1)lg 10.又x0時，f(x)x3t2dtxt3|xa3，所以f(0)a3.因為ff(1)1，所以a31，解得a1.11設f(x)是一次函數(shù)，且f(x)dx5，xf(x)dx，求f(x)的解析式解f(x)是一次函數(shù)，設f(x)axb(a0)，則f(x)dx(axb)dxaxdxbdxab5，xf(x)dxx(axb)dx(ax2)dxbxdxab.由，得.即f(x)4x