高中數(shù)學 2.2.2 向量減法及其幾何意義教案 新人教A版必修

1、2.2.2 向量減法運算及其幾何意義一、教學分析向量減法運算是加法的逆運算.學生在理解相反向量的基礎上結合向量的加法運算掌握向量的減法運算.因此,類比數(shù)的減法(減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)),首先引進相反向量的概念,然后引入向量的減法(減去一個向量,等于加上這個向量的相反向量),通過向量減法的三角形法則和平行四邊形法則,結合一定數(shù)量的例題,深刻理解向量的減法運算.通過闡述向量的減法運算,可以轉(zhuǎn)化為向量加法運算,滲透化歸的數(shù)學思想,使學生理解事物之間的相互轉(zhuǎn)化、相互聯(lián)系的辨證思想,同時由于向量的運算能反映出一些物理規(guī)律,從而加強了數(shù)學學科與物理學科之間的聯(lián)系,提高學生的應用意識.二、教學目標

2、：1、知識與技能：了解相反向量的概念；掌握向量的減法，會作兩個向量的減向量，并理解其幾何意義。2、過程與方法：通過將向量運算與熟悉的數(shù)的運算進行類比，使學生掌握向量減法運算及其幾何意義，并會用它們進行向量計算，滲透類比的數(shù)學方法。3、情感態(tài)度與價值觀：通過闡述向量的減法運算可以轉(zhuǎn)化成向量的加法運算，使學生理解事物之間可以相互轉(zhuǎn)化的辯證思想。三、重點難點教學重點:向量的減法運算及其幾何意義.教學難點:對向量減法定義的理解.四、學法指導減法運算是加法運算的逆運算，學生在理解相反向量的基礎上結合向量的加法運算掌握向量的減法運算；并利用三角形做出減向量。五、教學設想（一）導入新課思路1.(問題導入)上

3、節(jié)課,我們定義了向量的加法概念,并給出了求作和向量的兩種方法.由向量的加法運算自然聯(lián)想到向量的減法運算:減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù).向量的減法是否也有類似的法則呢?引導學生進一步探究,由此展開新課.思路2.(直接導入)數(shù)的減法運算是加法運算的逆運算.本節(jié)課,我們繼續(xù)學習向量加法的逆運算減法.引導學生去探究、發(fā)現(xiàn).（二）推進新課、新知探究、提出問題向量是否有減法？向量進行減法運算,必須先引進一個什么樣的新概念？如何理解向量的減法？向量的加法運算有平行四邊形法則和三角形法則,那么,向量的減法是否也有類似的法則？活動:數(shù)的減法運算是數(shù)的加法運算的逆運算,數(shù)的減法定義即減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的

4、相反數(shù),因此定義數(shù)的減法運算,必須先引進一個相反數(shù)的概念.類似地,向量的減法運算也可定義為向量加法運算的逆運算.可類比數(shù)的減法運算,我們定義向量的減法運算,也應引進一個新的概念,這個概念又該如何定義?引導學生思考,相反向量有哪些性質(zhì)?由于方向反轉(zhuǎn)兩次仍回到原來的方向,因此a和-a互為相反向量.于是-(-a)=a.我們規(guī)定,零向量的相反向量仍是零向量.任一向量與其相反向量的和是零向量,即a+(-a)=(-a)+a=0.所以,如果a、b是互為相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.(1)平行四邊形法則圖1如圖1,設向量=b,=a,則=-b,由向量減法的定義,知=a+(-b)=a-b.又b+

5、=a,所以=a-b.由此,我們得到a-b的作圖方法.圖2(2)三角形法則如圖2,已知a、b,在平面內(nèi)任取一點O,作=a,=b,則=a-b,即a-b可以表示為從b的終點指向a的終點的向量,這是向量減法的幾何意義.討論結果:向量也有減法運算.定義向量減法運算之前,應先引進相反向量.與數(shù)x的相反數(shù)是-x類似,我們規(guī)定,與a長度相等,方向相反的量,叫做a的相反向量,記作-a.向量減法的定義.我們定義a-b=a+(-b),即減去一個向量相當于加上這個向量的相反向量.規(guī)定:零向量的相反向量是零向量.向量的減法運算也有平行四邊形法則和三角形法則,這也正是向量的運算的幾何意義所在,是數(shù)形結合思想的重要體現(xiàn).提

6、出問題上圖中,如果從a的終點到b的終點作向量,那么所得向量是什么?改變上圖中向量a、b的方向使ab,怎樣作出a-b呢?討論結果:=b-a.略.（三）應用示例如圖3(1),已知向量a、b、c、d,求作向量a-b,c-d.圖3活動:教師讓學生親自動手操作,引導學生注意規(guī)范操作,為以后解題打下良好基礎;點撥學生根據(jù)向量減法的三角形法則,需要選點平移作出兩個同起點的向量.作法:如圖3(2),在平面內(nèi)任取一點O,作=a,=b,=c,=d.則=a-b,=c-d.變式訓練 (2006上海高考) 在ABCD中,下列結論中錯誤的是( )A.=B.AD+=C.-AD=BDD.AD+=0分析:A顯然正確,由平行四邊

7、形法則可知B正確,C中,-=錯誤,D中,+=+=0正確.答案:C例2 如圖4,ABCD中, =a,=b,你能用a、b表示向量、嗎?圖4活動:本例是用兩個向量表示幾何圖形中的其他向量,這是用向量證明幾何問題的基礎.要多注意這方面的訓練,特別要掌握用向量表示平行四邊形的四條邊與兩條對角線的關系.解:由向量加法的平行四邊形法則,我們知道=a+b,同樣,由向量的減法,知=-=a-b.變式訓練1.(2005高考模擬) 已知一點O到ABCD的3個頂點A、B、C的向量分別是a、b、c,則向量等于( )A.a+b+cB.a-b+cC.a+b-cD.a-b-c圖5解析:如圖5,點O到平行四邊形的三個頂點A、B、

8、C的向量分別是a、b、c,結合圖形有=+=+=+-=a-b+c.答案:B2.若=a+b,=a-b.當a、b滿足什么條件時,a+b與a-b垂直？當a、b滿足什么條件時,|a+b|=|a-b|？當a、b滿足什么條件時,a+b平分a與b所夾的角？a+b與a-b可能是相等向量嗎？圖6解析:如圖6,用向量構建平行四邊形,其中向量、恰為平行四邊形的對角線.由平行四邊形法則,得=a+b,=-=a-b.由此問題就可轉(zhuǎn)換為:當邊AB、AD滿足什么條件時,對角線互相垂直？(|a|=|b|)當邊AB、AD滿足什么條件時,對角線相等？(a、b互相垂直)當邊AB、AD滿足什么條件時,對角線平分內(nèi)角？(a、b相等)a+b

9、與a-b可能是相等向量嗎？(不可能,因為對角線方向不同)點評:靈活的構想,獨特巧妙,數(shù)形結合思想得到充分體現(xiàn).由此我們可以想到在解決向量問題時,可以利用向量的幾何意義構造幾何圖形,轉(zhuǎn)化為平面幾何問題,這就是數(shù)形結合解題的威力與魅力,教師引導學生注意領悟.例3 判斷題:(1)若非零向量a與b的方向相同或相反,則a+b的方向必與a、b之一的方向相同.(2)ABC中,必有+=0.(3)若+=0,則A、B、C三點是一個三角形的三頂點.(4)|a+b|a-b|.活動:根據(jù)向量的加、減法及其幾何意義.解:(1)a與b方向相同,則a+b的方向與a和b方向都相同;若a與b方向相反,則有可能a與b互為相反向量,

10、此時a+b=0的方向不確定,說與a、b之一方向相同不妥.(2)由向量加法法則+=,與CA是互為相反向量,所以有上述結論.(3)因為當A、B、C三點共線時也有+=0,而此時構不成三角形.(4)當a與b不共線時,|a+b|與|a-b|分別表示以a和b為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長,其大小不定.當a、b為非零向量共線時,同向則有|a+b|a-b|,異向則有|a+b|a-b|;當a、b中有零向量時,|a+b|=|a-b|.綜上所述,只有(2)正確.例4 若|=8,|=5,則|的取值范圍是( )A.3,8B.(3,8)C.3,13D.(3,13)解析:=-.(1)當、同向時,|=8-5=3;(2)當、反向時,|=8+5=13;(3)當、不共線時,3|13.綜上,可知3|13.答案:C點評:此題可直接應用重要性質(zhì)|a|-|b|a+b|a|+|b|求解.變式訓練已知a、b、c是三個非零向量,且兩兩不共線,順次將它們的終點和始點相連接而成一三角形的充要條件為a+b+c=0.證明:已知a0,b0,c0,且ab,bc,ca,(1)必要性:作=a,=b,則由假設=c,另一方面a+b=+=.由于與是一對相反向量,有+=0,故有a+b+c=0.(2)充分性:作=a