空間向量的正交分解課件(人教A版選修2-1).ppt

1、3.1.4 空間向量的正交分解 及其坐標表示,x,y,o,x,y,o,z,p,A,B,i,j,p,A,B,C,Q,P=x i+y j,P=x i+y j+z k,p=(x,y,z),p=(x,y),在空間中，如果用任意三個不共面 的向量a,b,c代替兩兩垂直的向量i,j,k, 你能得到類似的結(jié)論嗎？,x,y,o,p,A,B,C,Q,z,定理 如果三個向量 ，那么對空間任 一向量p,存在有序?qū)崝?shù)組x,y,z使得 p=x a+y b+z c,a,b,c,基底,基向量,a,b,c,不共面,判斷：(正確的打“”，錯誤的打“”) (1)若三個非零向量a,b,c不能構(gòu)成空間的一個基底，則a,b,c 共面.

2、( ) (2)若a,b為空間兩個不共線的向量，c=a+b(,R且 0)，則a,b,c構(gòu)成空間的一個基底.( ) (3)若a,b,c為空間一個基底，則-a,-b,-c也可構(gòu)成空間 一個基底.( ),二、空間向量的正交分解及坐標表示 1.單位正交基底：由三個_的有公共起點的 _組成的基底稱為單位正交基底.,兩兩垂直,單位向量,2.空間向量的正交分解,i,j,k,正交基底,P=xi+yj+zk,p=(x,y,z),類型 一 判斷三個向量能否成為基底 【典型例題】 1.已知e1,e2,e3是空間向量的一個基底，下列向量中，能夠 與向量a=e1+e2,b=e1-e2構(gòu)成基底的向量的序號是_. e1;e2

3、;e1+2e2;e1+2e3. 2.已知e1,e2,e3是空間向量的一個基底，向量a=3e1+2e2+e3, 若a,b,c能作為空間向量的一個基 底，則實數(shù)滿足的條件是什么？請說明理由.,0,類型 二 空間向量的分解用基底表示向量 【典型例題】 1.(2013聊城高二檢測)如圖所示，點M為OA的中點， 以 為基底的向量 則(x,y,z)=_.,類型 三 空間向量(點)的坐標表示 【典型例題】 1.已知在如圖所示的長方體ABCD-A1B1C1D1中，E,F分別為 D1C1,B1C1的中點，若以 為基底，則向量 的 坐標為_,向量 的坐標為_，向量 的坐標 為_.,(1/2,1,1),(1,1/2

4、,1),(1,1,1),2.如圖所示，在三棱錐O-ABC中，OA，OB，OC兩兩垂直， OA=1，OB=2，OC=3，E，F(xiàn)分別為AC，BC的中點，建立以 方向上的單位向量為正交基底的空間坐標系 Oxyz，求EF中點P的坐標.,4.向量在不同基底下的坐標 1.已知向量a,b,c是空間的一個基底，向量a+b,a-b,c是 空間的另一個基底，一個向量p在基底a,b,c下的坐標為 (1,2,3)，則p在基底a+b,a-b,c下的坐標為_. 2.向量p在基底a，b，c下的坐標是(3，2，-1).試求p在基 底 下的坐標.,【易錯誤區(qū)】求向量的坐標時建系不當致誤 【典例】在正三棱柱ABC-A1B1C1中

5、，已知ABC 的邊長為1，三棱柱的高為2，建立如圖所示的 空間直角坐標系，則 的坐標為_, 的坐標為_, 的坐標為_.,1.下列各組向量能構(gòu)成一個基底的是( ) A.長方體ABCD-A1B1C1D1中的向量 B.三棱錐A-BCD中的向量 C.三棱柱ABC-A1B1C1中(E是A1C1的中點)的向量 D.四棱錐S-ABCD中的向量 【解析】選B.根據(jù)題意可知，A，C，D中的向量都共面，只 有B中的三個向量不共面，可構(gòu)成一個基底.,2.已知i,j,k是空間直角坐標系Oxyz中x軸，y軸,z軸正方向上 的單位向量，且向量 則p的坐標為_. 【解析】根據(jù)題意,i,j,k是空間直角坐標系中的單位正交基 底，又 答案：,3.已知四面體ABCD中， 棱AC，BD的 中點分別為E，F(xiàn)，則 【解析】如圖所示，取BC的中點G，連接EG，F(xiàn)G， 則 答案：3a+3b-5c,4.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，設 與 B1D1的交點為E，則 【解析】如圖所示， 答案：,5.在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=4,點E是AB的中 點，點F是A1D1的中點，在如圖所示