數(shù)列拔高難題訓練

1、2017數(shù)列拔高訓練1、已知數(shù)列an滿足a1=2，an+1=2an+4 (1)證明數(shù)列an+4是等比數(shù)列并求出an通項公式； (2)若 ，求數(shù)列bn的前n項和Sn 2、已知數(shù)列an是等差數(shù)列，bn是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，滿足a1=b1=1，b2a3=2b3 ， a32b2=1 (1)求數(shù)列an和bn的通項公式 (2)設cn=an+bn ， nN* ， 求數(shù)列cn的前n項和Sn 3、（理科答）已知數(shù)列an及等差數(shù)列bn，若a1=3，an= an1+1（n2），a1=b2 ， 2a3+a2=b4 ， (1)證明數(shù)列an2為等比數(shù)列； (2)求數(shù)列an及數(shù)列bn的通項公式； (3)設數(shù)列anbn的

2、前n項和為Tn ， 求Tn 4、已知正項數(shù)列an的前n項和為Sn ， 數(shù)列an滿足，2Sn=an（an+1） (1)求數(shù)列an的通項公式； (2)設數(shù)列 的前n項和為An ， 求證：對任意正整數(shù)n，都有An 成立； (3)數(shù)列bn滿足bn=（ ）nan ， 它的前n項和為Tn ， 若存在正整數(shù)n，使得不等式（2）n1Tn+ 2n1成立，求實數(shù)的取值范圍 5、設正項數(shù)列an的前n項和為Sn ， 且滿足 (1)計算a1 ， a2 ， a3的值，并猜想an的通項公式； (2)用數(shù)學歸納法證明an的通項公式 6、數(shù)列an的前n項和是Sn ， a1=5，且an=Sn1（n=2，3，4，） (1)求Sn；

3、 (2)求數(shù)列an的通項公式； (3)求證： + + + 7、已知各項為正的等比數(shù)列an的前n項和為Sn ， S4=30，過點P（n，log2an）和Q（n+2，log2an+1）（nN*）的直線的一個方向向量為（1，1） (1)求數(shù)列an的通項公式； (2)設bn= ，數(shù)列bn的前n項和為Tn ， 證明：對于任意nN* ， 都有Tn 8、已知函數(shù) ，數(shù)列an滿足 (1)求證：數(shù)列 是等差數(shù)列； (2)求數(shù)列an的通項公式； (3)記Sn=a1a2+a2a3+anan+1 ， 求Sn 9、各項均為正數(shù)的數(shù)列an中，a1=1，Sn是數(shù)列an的前n項和，對任意nN* ， 有2Sn=2pan2+pa

4、np（pR） (1)求常數(shù)p的值； (2)求數(shù)列an的通項公式； (3)記bn= ，求數(shù)列bn的前n項和T 10、已知數(shù)列an滿足：a1= ，a2= ，2an=an+1+an1（n2，nN），數(shù)列bn滿足：b10，3bnbn1=n（n2，nR），數(shù)列bn的前n項和為Sn (1)求證：數(shù)列bnan為等比數(shù)列； (2)求證：數(shù)列bn為遞增數(shù)列； (3)若當且僅當n=3時，Sn取得最小值，求b1的取值范圍 11、已知遞增等比數(shù)列an的第三項、第五項、第七項的積為512，且這三項 分別減去1，3，9后成等差數(shù)列 (1)求an的首項和公比； (2)設Sn=a12+a22+an2 ， 求Sn 12、已知f

5、（x）=3x22x，數(shù)列an的前n項和為Sn ， 點（n，Sn）（nN*）均在函數(shù)y=f（x）的圖像上 (1)求數(shù)列an的通項公式； (2)設bn= ，Tn是數(shù)列bn的前n項和，求使得Tn 對所有nN*都成立的最小正整數(shù)m 13、已知數(shù)列an的前n項和為Sn ， 對任意的nN* ， 點（n，Sn）恒在函數(shù)y= x的圖象上 (1)求數(shù)列an的通項公式； (2)記Tn= ，若對于一切的正整數(shù)n，總有Tnm成立，求實數(shù)m的取值范圍； (3)設Kn為數(shù)列bn的前n項和，其中bn=2an ， 問是否存在正整數(shù)n，t，使 成立？若存在，求出正整數(shù)n，t；若不存在，請說明理由 14、已知等差數(shù)列an的各項均

6、為正數(shù)，且Sn= + + ，S2= ，S3= 設x表示不大于x的最大整數(shù)（如2.10=2，0.9=0） (1)試求數(shù)列an的通項； (2)求T=log21+log22+log23+log2（ 1）+log2（ ）關于n的表達式 15、已知數(shù)列an中，a1=3，a2=5，其前n項和為Sn滿足Sn+Sn2=2Sn1+2n1（n3，nN*） (1)試求數(shù)列an的通項公式 (2)令bn= ，Tn是數(shù)列bn的前n項和證明：對任意給定的m（0， ），均存在n0N*，使得當nn0時，Tnm恒成立 16、已知數(shù)列an滿足a1=1，an+1=2an3（1）n（nN*） (1)若bn=a2n1，求證：bn+1=4

7、bn； (2)求數(shù)列an的通項公式； (3)若a1+2a2+3a3+nan2n對一切正整數(shù)n恒成立，求實數(shù)的取值范圍 17、已知等差數(shù)列an，a2=8，前9項和為153 (1)求a5和an； (2)若 ，證明數(shù)列bn為等比數(shù)列； 18、一列火車從重慶駛往北京，沿途有n個車站（包括起點站重慶和終點站北京）車上有一郵政車廂，每?？恳徽颈阋断禄疖囈呀涍^的各站發(fā)往該站的郵袋各1個，同時又要裝上該站發(fā)往以后各站的郵袋各1個，設從第k站出發(fā)時，郵政車廂內共有郵袋ak個（k=1，2，n） (1)求數(shù)列ak的通項公式； (2) 當k為何值時，ak的值最大，求出ak的最大值 19、已知an是遞增的等差數(shù)列，a

8、2 ， a4是方程x25x+6=0的根 （I）求an的通項公式；（II）求數(shù)列 的前n項和 20、 數(shù)列an滿足a1=1，nan+1=（n+1）an+n（n+1），nN* （）證明：數(shù)列 是等差數(shù)列；（）設bn=3n ，求數(shù)列bn的前n項和Sn 21、已知數(shù)列an滿足a1=1，an+1= （）求證：an+1an；（）求證： an 22、已知數(shù)列an的前n項和為Sn ， a1=1，且nan+1=2Sn（nN*），數(shù)列bn滿足b1= ，b2= ，對任意nN+ ， 都有bn+12=bnbn+2（I）求數(shù)列an，bn的通項公式；（II）設anbn的前n項和為Tn ， 若Tn 對任意的nN+恒成立，求得

9、取值范圍 23、已知數(shù)列an是非常值數(shù)列，且滿足an+2=2an+1an（nN*），其前n項和為sn ， 若s5=70，a2 ， a7 ， a22成等比數(shù)列（ I）求數(shù)列an的通項公式；（ II）設數(shù)列 的前n項和為Tn ， 求證： 24、數(shù)列an中， （）求a1 ， a2 ， a3 ， a4；（）猜想an的表達式，并用數(shù)學歸納法加以證明 25、 設數(shù)列an滿足a1=a，an+1=can+1c（nN*），其中a，c為實數(shù)，且c0 （）求數(shù)列an的通項公式；（）設 ，求數(shù)列bn的前n項和Sn 26、已知A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）是函數(shù)的圖象上的任意兩點（可以重合），點M在直線x=

10、上，且= （）求x1+x2的值及y1+y2的值（）已知S1=0，當n2時，Sn=+， 求Sn；（）在（）的條件下，設an=， Tn為數(shù)列an的前n項和，若存在正整數(shù)c、m，使得不等式成立，求c和m的值 答案解析部分一、綜合題1、【答案】（1）證明：a1=2，a1+4=2， an+1=2an+4，an+1+4=2an+8=2（an+4）， ，an+4是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，由上知 ， （2）解： ，得： = =2+2n+12（n+1）2n+1=n2n+1 【考點】數(shù)列的求和，數(shù)列遞推式 【解析】【分析】（1）利用已知條件轉化求解數(shù)列an+4是等比數(shù)列，然后求出an通項公式（2）化簡數(shù)列

11、通項公式bn ， 利用錯位相減法求和求解即可 2、【答案】（1）解：設數(shù)列an是公差為d的等差數(shù)列， bn是各項均為正數(shù)且公比為q的等比數(shù)列，由a1=b1=1，b2a3=2b3 ， a32b2=1，可得q（1+2d）=2q2 ， 1+2d2q=1，解得d= ，q= ，可得an=a1+（n1）d=1 （n1）= （3n）；bn=b1qn1=（ ）n1 ， nN*（2）解：cn=an+bn= （3n）+（ ）n1 ， 可得數(shù)列cn的前n項和Sn= n（1+ ）+ = n2+ n +2 【考點】數(shù)列的求和，數(shù)列遞推式 【解析】【分析】（1）設數(shù)列an是公差為d的等差數(shù)列，bn是各項均為正數(shù)且公比為q

12、的等比數(shù)列，運用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式，解方程可得公差和公比，即可得到所求通項公式；（2）求出cn=an+bn= （3n）+（ ）n1 ， 運用數(shù)列的求和方法：分組求和，結合等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，化簡整理即可得到所求和 3、【答案】（1）證明：a1=3，an= an1+1（n2）， an2= （an12），則數(shù)列an2為首項為1，公比為 的等比數(shù)列（2）解：（由（1）可得an2=（ ）n1 ， 即為an=2+（ ）n1 ， a1=b2=3，2a3+a2=b4=2（2+ ）+2+ =7，可得等差數(shù)列bn的公差d= =2，則bn=b2+（n2）d=3+2（n2）=2n1（3）證明：數(shù)

13、列anbn的前n項和為Tn ， anbn=2+（ ）n1（2n1）=2（2n1）+（2n1）（ ）n1 ， 設Sn=1（ ）0+3（ ）+5（ ）2+（2n1）（ ）n1 ， Sn=1（ ）+3（ ）2+5（ ）3+（2n1）（ ）n ， 相減可得， Sn=1+2（ ）+（ ）2+（ ）3+（ ）n1（2n1）（ ）n=1+2 （2n1）（ ）n ， 化簡可得Sn=6 ，則Tn=2 n（1+2n1）+6 =2n2+6 【考點】等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合 【解析】【分析】（1）an= an1+1的兩邊減2，再由等比數(shù)列的定義即可得證；（2）運用等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項公式，計算即可得到；（3）求得

14、anbn=2+（ ）n1（2n1）=2（2n1）+（2n1）（ ）n1 ， 再由數(shù)列的求和方法：分組求和和錯位相減法，結合等比數(shù)列的求和公式，化簡整理即可得到所求和 4、【答案】（1）解： ，當n2時， ， 兩式相減得： ，所以（an+an1）（anan11）=0因為數(shù)列an為正項數(shù)列，故an+an10，也即anan1=1，所以數(shù)列an為以1為首項1為公差的等差數(shù)列，故通項公式為an=n，nN*（2）解： = ，所以對任意正整數(shù)n，都有 成立（3）解：易知 ，則 ， ，可得： 故 ，所以不等式 成立，若n為偶數(shù)，則 ，所以 設 ，則y=2t+t2+1=（t1）2在 單調遞減，故當 時， ，所以

15、 ；若n為奇數(shù)，則 ，所以 設 ，則y=2tt21=（t1）2在（0，1單調遞增，故當t=1時，ymax=0，所以0綜上所述，的取值范圍0或 【考點】數(shù)列的求和，數(shù)列遞推式 【解析】【分析】（1）根據(jù)數(shù)列的遞推公式即可求出數(shù)列an的通項公式，（2） = = ，利用放縮法即可證明，（3）先利用錯位相減法求出數(shù)列bn的前n項和為Tn ， 不等式（2）n1Tn+ 2n1成立，轉化為 成立，分n為偶數(shù)和奇數(shù)，根據(jù)函數(shù)的性質即可求出實數(shù)的取值范圍 5、【答案】（1）解：當n=1時， ， 得a1=1； ，得a2=2，得a3=3，猜想an=n（2）解：證明：（）當n=1時，顯然成立， （）假設當n=k時，a

16、k=k，則當n=k+1時， = ，整理得： ，即ak+1（k+1）ak+1+（k1）=0，結合an0，解得ak+1=k+1，于是對于一切的自然數(shù)nN* ， 都有an=n 【考點】數(shù)列遞推式，數(shù)學歸納法，數(shù)學歸納法 【解析】【分析】（1）利用遞推關系式求解數(shù)列a1 ， a2 ， a3的值，猜想an的通項公式；（2）利用數(shù)學歸納法的證明步驟，逐步證明即可 6、【答案】（1）解：由an=Sn1 ， ，得：an+1=Sn ， 得：an+1an=SnSn1=an ， 即an+1=2an ， （n2且nN*），a2=S1=a1=5，故數(shù)列從第二項起，各項成等比數(shù)列且公比為2 ，nN*（2）解：當n=1時，

17、a1=5， 當n2，且nN*時， =52n2 故數(shù)列an的通項公式為 （3）證明：當n=1時， = ，成立， 當n2且nN*時， = = = = + + + 【考點】數(shù)列與不等式的綜合 【解析】【分析】（1）由an=Sn1 ， 得an+1=2an ， （n2且nN*），由此能求出Sn （2）當n=1時，a1=5，當n2，且nN*時， =52n2 由此能求出數(shù)列an的通項公式（3）當n=1時， = ，成立，當n2且nN*時， = ，由此能證明 + + + 7、【答案】（1）解：各項為正的等比數(shù)列an的前n項和為Sn ， S4=30， 過點P（n，log2an）和Q（n+2，log2an+1）（n

18、N*）的直線的一個方向向量為（1，1）， ，解得 ，q=4，an= （2）解：bn= = = （ ）， 數(shù)列bn的前n項和：Tn= （ + + + + ）= （ ）= （ + ） 對于任意nN* ， 都有Tn【考點】數(shù)列的求和，數(shù)列遞推式 【解析】【分析】（1）利用等比數(shù)列前n項和公式及直線的方向向量性質列出方程組，由此能求出首項和公比，從而能求出數(shù)列an的通項公式（2）由bn= = （ ），利用裂項法能證明對于任意nN* ， 都有Tn 8、【答案】（1）證明：函數(shù) ，數(shù)列an滿足 ， ， =3+ ， =3， =1，數(shù)列 是首項為1，公差為3的等差數(shù)列（2）解：數(shù)列 是首項為1，公差為3的等差

19、數(shù)列， =1+（n1）3=3n2，an= （3）解：anan+1= = （ ）， Sn=a1a2+a2a3+anan+1= （1 + + + ）= = 【考點】數(shù)列的求和，數(shù)列遞推式 【解析】【分析】（1）由已知利用函數(shù)性質得 ，從而 =3+ ，由此能證明數(shù)列 是首項為1，公差為3的等差數(shù)列（2）由 =1+（n1）3=3n2，能求出an （3）anan+1= = （ ），利用裂項求和法能求出Sn 9、【答案】（1）解：a1=1，對任意的nN*，有2Sn=2pan2+panp 2a1=2pa12+pa1p，即2=2p+pp，解得p=1（2）解：2Sn=2an2+an1， 2Sn1=2an12+a

20、n11，（n2）， 即得（anan1 ）（an+an1）=0，因為an+an10，所以anan1 =0， （3）解：2Sn=2an2+an1=2 ， Sn= ， =n2nTn=121+222+n2n又2Tn=122+223+（n1）2n+n2n+1 Tn=121（22+23+2n）+n2n+1=（n1）2n+1+2Tn=（n1）2n+1+2 【考點】數(shù)列的求和，數(shù)列遞推式 【解析】【分析】（1）根據(jù)a1=1，對任意的nN*，有2Sn=2pan2+panp，令n=1，解方程即可求得結果；（2）由2Sn=2an2+an1，知2Sn1=2an12+an11，（n2），所以（anan11）（an+an

21、1）=0，由此能求出數(shù)列an的通項公式（3）根據(jù) 求出數(shù)列bn的通項公式，利用錯位相減法即可求得結果 10、【答案】（1）解：2an=an+1+an1（n2，nN），an是等差數(shù)列又a1= ，a2= ， ， ，（n2，nN*），bn+1an+1= = = = 又 ，bnan是以 為首項，以 為公比的等比數(shù)列（2）證明：bnan=（b1 ）（ ）n1 ， 當n2時，bnbn1= 又b10，bnbn10bn是單調遞增數(shù)列（3）解：當且僅當n=3時，Sn取最小值 ，即 ，b1（47，11） 【考點】數(shù)列的求和，數(shù)列遞推式 【解析】【分析】（1）由已知得an是等差數(shù)列， ，bn+1an+1= = 由此

22、能證明bnan是以 為首項，以 為公比的等比數(shù)列（2）由 得當n2時，bnbn1= 由此能證明bn是單調遞增數(shù)列（3）由已知得 ，由此能求出b1的取值范圍 11、【答案】（1）解：根據(jù)等比數(shù)列的性質，可得a3a5a7=a53=512，解之得a5=8 設數(shù)列an的公比為q，則a3= ，a7=8q2 ， 由題設可得（ 1）+（8q29）=2（83）=10解之得q2=2或 an是遞增數(shù)列，可得q1，q2=2，得q= 因此a5=a1q4=4a1=8，解得a1=2（2）解：由（1）得an的通項公式為an=a1qn1=2 = ， an2= 2=2n+1 ， 可得an2是以4為首項，公比等于2的等比數(shù)列因此

23、Sn=a12+a22+an2= =2n+24 【考點】數(shù)列的求和，等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合 【解析】【分析】（1）根據(jù)題意利用等比數(shù)列的性質，可得a53=512，解出a5=8設公比為q，得a3= 且a7=8q2 ， 由等差中項的定義建立關于q的方程，解出q的值，進而可得an的首項；（2）由（1）得an=a1qn1= ，從而得到an2= 2=2n+1 ， 再利用等比數(shù)列的求和公式加以計算，可得求Sn的表達式 12、【答案】（1）解：f（x）=3x22x，數(shù)列an的前n項和為Sn ， 點（n，Sn）（nN*）均在函數(shù)y=f（x）的圖像上， ，當n2時，an=SnSn1=（3n22n）3（n1）22

24、（n1）=6n5，當n=1時，a1=S1=32=1，滿足上式，an=6n5，nN*（2）解：由（1）得 = = ， Tn= = ，使得Tn 對所有nN*都成立的最小正整數(shù)m必須且僅須滿足 ，即m10，滿足要求的最小整數(shù)m=10 【考點】數(shù)列的求和 【解析】【分析】（1）由已知條件推導出 ，由此能求出an=6n5，nN* （2）由 = = ，利用裂項求和法求出Tn= ，由此能求出滿足要求的最小整數(shù)m=10 13、【答案】（1）解：由已知，得 當n2時，an=SnSn1= =3n當n=1時，a1=S1=3an=3n（2）解： 當n=1時，Tn+1Tn ， 即T2T1；當n=2時，Tn+1=Tn ，

25、 即T3=T2；當n3時，Tn+1Tn ， 即TnTn1T4T3Tn中的最大值為 ，要使Tnm對于一切的正整數(shù)n恒成立，只需 解法二： 當n=1，2時，Tn+1Tn；當n3時，n+22nTn+1Tnn=1時，T1=9；n=2，3時， n4時，TnT3Tn中的最大值為 ，要使Tnm對于一切的正整數(shù)n恒成立，只需 （3）解： 將Kn代入 ，化簡得， （）若t=1時， ，顯然n=1時成立；若t1時， （）式化簡為 不可能成立綜上，存在正整數(shù)n=1，t=1使 成立 【考點】數(shù)列的應用，數(shù)列與函數(shù)的綜合 【解析】【分析】（1）利用an=SnSn1求解；（2）要使Tnm對于一切的正整數(shù)n恒成立，只需mTn

26、中的最大值即可；（3）求解有關正整數(shù)n的不等式 14、【答案】（1）解：Sn= + + = （ ）， S2= ，S3= ， （ ）= ， （ ）= ，a1=1，d=1，an=n（2）解：T=log21+log22+log23+log2（ 1）+log2（ ） =log21+log22+log23+log2（2n1）+log2（2n）log21=0，log22=log23=1，log22m=log2（m+1）=log2（m+11）=mlog21+log22+log23+log2（2n1）+log2（2n）=0+12+222+（n1）2n1+n，由S=12+222+（n1）2n1 ， 則2S=12

27、2+223+（n1）2n ， S=12+122+2n1（n1）2n= （n1）2n ， S=（2n）2n2T=（2n）2n2+n 【考點】數(shù)列的應用 【解析】【分析】（1）利用裂項法求和，結合S2= ，S3= ，即可求數(shù)列an的通項；（2）先化簡，再利用錯位相減法，即可得出結論 15、【答案】（1）解：由Sn+Sn2=2Sn1+2n1（n3，nN*），整理得：SnSn1=Sn1Sn2+2n1 ， an=an1=2n1 ， 即anan1=2n1 ， n3，a2a1=2，a3a2=4，a4a3=23 ， anan1=2n1 ， 將上式累加整理得：ana1=2+4+23+2n1 ， an= +3=2

28、n+1，數(shù)列an的通項公式an=2n+1；（2）證明： bn= = = （ ）， 數(shù)列bn的前n項和Tn=b1+b2+b3+bn ， = （ ）+（ ）+（ ），= （ ），Tn+1Tn= 0，Tn隨著n的增大而增大，若Tnm，則 （ ）m，化簡整理得： ，m（0， ），16m0，2n+1 1，nlog2（ 1）1，當log2（ 1）11時，即0m ，取n0=1，當log2（ 1）11時，解得： m ，記log2（ 1）1的整數(shù)部分為p，取n0=p+1即可，綜上可知，對任意m（0， ），均存在n0N*，使得當nn0時，Tnm恒成立 【考點】數(shù)列的求和，數(shù)列遞推式 【解析】【分析】（1）由題意可

29、知SnSn1=Sn1Sn2+2n1 ， 即anan1=2n1 ， n3，采用“累加法”即可求得數(shù)列an的通項公式；（2）由（1）可知，bn= = = （ ），采用“裂項法”即可求得數(shù)列bn的前n項和Tn ， 由函數(shù)的單調性可知，Tn隨著n的增大而增大，分離參數(shù)nlog2（ 1）1，分類log2（ 1）11及l(fā)og2（ 1）11時，求得m的取值范圍，求得n0的值，即可證明存在n0N*，使得當nn0時，Tnm恒成立 16、【答案】（1）解： = （2）解：a2=2a13（1）=5，b1=a21=4，因為bn+1=4bn所以 ，所以bn是等比數(shù)列，所以bn=4n=a2n1 ， ， ， 所以 ，即 （

30、3）解：由（2） ， 令S=121+222+n2n則2S=122+223+（n1）2n+n2n+1，S=（n1）2n+1+2n為奇數(shù)時， ，n為偶數(shù)時， 所以n為奇數(shù)時 ，即 恒成立，易證 遞增，n=1時 取最小值 ，所以 n為偶數(shù)時，即 ，易證 遞增，n=2時 取最小值 ，所以 綜上可得 【考點】數(shù)列的求和，數(shù)列遞推式 【解析】【分析】（1）根據(jù)數(shù)列遞推公式即可證明，（2）先求出數(shù)列bn的通項公式，再分類求出an的通項公式，（3）令S=121+222+n2n根據(jù)錯位相減法求出Sn ， 分離參數(shù)，根據(jù)數(shù)列的函數(shù)特征即可求出的取值范圍 17、【答案】（1）設數(shù)列an的公差為d，首項 ，則 a5=

31、17 ， an=3n+2（2），數(shù)列bn是首項為32，公比為8的等比數(shù)列 【考點】等差數(shù)列的通項公式，等差關系的確定 【解析】知識點：等差數(shù)列的通項公式 等比關系的確定解析 【分析】（1）根據(jù)前9項和為153和第五項是前9項的等差中項，得到第五項的值，根據(jù)第二項和第五項的值列出方程求得首項和公差，寫出通項公式（2）要證明數(shù)列是等比數(shù)列，只要相鄰兩項之比是常數(shù)即可，兩項之比是一個常數(shù)得到結論 18、【答案】（1）解：a1=n1，考察相鄰兩站ak ， ak1之間的關系，由題意知 k= k1（k1）+（nk）， k k1=（n+1）2k（k2）依次讓k取2，3，4，k得k1個等式，將這k1個等式相加

32、，得k=nkk2（n，kN+ ， 1kn）（2）解： ，當n為偶數(shù)時，取k= ，ak取得最大值 ；當n為奇數(shù)時，取k= 或 ， ak取得最大值 【考點】數(shù)列的函數(shù)特性 【解析】【分析】本題考查二次函數(shù)的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意數(shù)列的性質和應用 二、解答題19、【答案】解：（I）由x25x+6=0，解得x=2，3 又an是遞增的等差數(shù)列，a2 ， a4是方程x25x+6=0的根a2=2，a4=3a1+d=2，a1+3d=3，解得a1= ，d= an= + （n1）= （II） = 數(shù)列 的前n項和Sn= + + = + + + = + + = =1 Sn=2 【考點】數(shù)列的求

33、和 【解析】【分析】（I）由x25x+6=0，解得x=2，3又an是遞增的等差數(shù)列，a2 ， a4是方程x25x+6=0的根可得a2=2，a4=3再利用等差數(shù)列的通項公式即可得出（II） = 利用錯位相減法、等比數(shù)列的求和公式即可得出 20、【答案】證明（）nan+1=（n+1）an+n（n+1）， ， ，數(shù)列 是以1為首項，以1為公差的等差數(shù)列；（）由（）知， ， ，bn=3n =n3n ， 3n1+n3n3n+n3n+1 得 3nn3n+1= = 【考點】等比關系的確定，數(shù)列的求和 【解析】【分析】（）將nan+1=（n+1）an+n（n+1）的兩邊同除以n（n+1）得 ，由等差數(shù)列的定義

34、得證（）由（）求出bn=3n =n3n ， 利用錯位相減求出數(shù)列bn的前n項和Sn 21、【答案】解：（）證明：由a1=1，an+1= ，得an0，（nN）， 則an+1an= an= 0，an+1an；（）證明：由（）知0an1，又an+1= ， = ，即an+1 an ， an an1（ ）2an1（ ）2an1（ ）n1a1= ，即an 由an+1= ，則 =an+ ， =an ， =a1=1， =a2= ， =a3=（ ）2 =an1（ ）n2 ， 累加得 =1+ +（ ）2+（ ）n2= =2（ ）n2 ， 而a1=1， 3（ ）n2= = ，an 綜上得 an 【考點】數(shù)列與不等式

35、的綜合 【解析】【分析】（）由an0，則做差an+1an= an= 0，即可證明an+1an；（）由an+1 an ， an an1（ ）2an1（ ）2an1（ ）n1a1= ，則an 由 =an ， 采用“累加法”即可求得 3（ ）n2= = ，即可求得 an 22、【答案】解：（）nan+1=2Sn ， （n1）an=2Sn1（n2），兩式相減得，nan+1（n1）an=2an ， nan+1=（n+1）an ， 即 = （n2），又因為a1=1，a2=2，從而 =2，an=1 =n（n2），故數(shù)列an的通項公式an=n（nN*）在數(shù)列bn中，由bn+12=bnbn+2 ， 知數(shù)列bn是

36、等比數(shù)列，首項、公比均為 ，數(shù)列bn的通項公式bn= ；（）Tn=a1b1+a2b2+anbn= +2（ ）2+n Tn=（ ）2+2（ ）3+（n1） +n（ ）n+1由，得 Tn= +（ ）2+（ ）3+ （ ）n+1=1 ，Tn=2 ，Tn 對任意的nN+恒成立， 對任意的nN+恒成立，設f（n）= ，f（n）f（n1）= - 0，則f（n）在1，+）上單調遞減，f（n）f（1）=3恒成立，則3滿足條件綜上所述，實數(shù)的取值范圍是（3，+） 【考點】數(shù)列的求和，數(shù)列遞推式，數(shù)列與不等式的綜合 【解析】【分析】（）利用nan+1=2Sn ， 再寫一式，兩式相減，再疊乘，即可求數(shù)列an的通項公式；在等比數(shù)列bn滿足b1= ，b2= ，公比為 ，由此可得數(shù)列bn的通項公式；（）利用錯位相減法求數(shù)列的和，再將不等式轉化為 對任意的nN+恒成立，構造函數(shù)，利用函數(shù)的性質，即可確定實數(shù)的取值范圍 23、【答案】解：（ I）因為數(shù)列滿足an+2=2an+1an（nN*），所以an是等差數(shù)列且s5=70，5a1+10d=70a2 ， a7 ， a22成等比數(shù)列， ，即 由，解得a1=6，d=4或a1=14，d=0（舍去），an=4n+2（ II）證明：由（ I）可得 ，所以 所以 = = ， ，數(shù)列Tn是遞增數(shù)列， 【考點】數(shù)列的求和，數(shù)列遞推式，數(shù)列與不等式的綜合