高中函數(shù)值域方法匯總 張杰.ppt

1、函數(shù)值域方法匯總,上海華師大二附中 特級教師： 張杰,上課,求函數(shù)值域方法很多，常用配方法、換元法、判別式法、不等式法、反函數(shù)法、圖像法（數(shù)形結(jié)合法）、函數(shù)的單調(diào)性法以及均值不等式法等。這些方法分別具有極強(qiáng)的針對性，每一種方法又不是萬能的。要順利解答求函數(shù)值域的問題，必須熟練掌握各種技能技巧，根據(jù)特點(diǎn)選擇求值域的方法，下面就常見問題進(jìn)行總結(jié)。,例1 求函數(shù),如圖， y-3/4,3/2.,分析：本題是求二次函數(shù)在區(qū)間上的值域問題，可用配方法或圖像法求解。,例2 求函數(shù),分析：函數(shù)是分式函數(shù)且都含有二次項(xiàng)，可用判別式和單調(diào)性法求解。,解法1：由函數(shù)知定義域?yàn)镽,則變形可得： (2y-1)x2-(2

2、y-1)x+(3y1)=0. 當(dāng)2y-1=0即y=1/2時(shí)，代入方程左邊1/23-10,故1/2. 當(dāng)2y-10,即y 1/2時(shí)，因xR,必有=(2y-1)2-4(2y-1)(3y-1) 0得3/10y1/2, 綜上所得，原函數(shù)的值域?yàn)閥3/10,1/2.,解法2：（函數(shù)的單調(diào)性法）,是增函數(shù)，u取最小值時(shí)，y也取最小值。,原函數(shù)的值域?yàn)閥3/10,12）,例3 求函數(shù) 的反函數(shù)的定義域.,分析：函數(shù)f(x)的反函數(shù)的定義域就是原函數(shù)的 值域，可用不等式法求解。,解：變形可得,反函數(shù)的定義域?yàn)?-1,1)。,例4 求下列函數(shù)的值域： (1) y=6x2-2x3, (0x3); (2) 若正數(shù)a

3、、b滿足ab=a+b+3,求ab的取值范圍（99年高考題）。,分析：均值不等式可以解決諸多特殊條件的函數(shù)值域問題，變形恰當(dāng)，柳暗花明。,(1)解：原函數(shù)可變形為：,當(dāng)且僅當(dāng)x/2=3-x時(shí)，即x=2時(shí)取等號。故在0x3時(shí)函數(shù)y的值域?yàn)閥9，+）。,（2）解法1(均值不等式),當(dāng)且僅當(dāng)a=3時(shí)取等號。 故ab9，+）,解法2：（不等式法）,當(dāng)a=3,b=3時(shí)取等號，故ab 9，+）.,例5 求下列函數(shù)的值域： （1） y=5-x+3x-1；（2）y=x-2+4-x2.,分析：帶有根式的函數(shù)，本身求值域較難，可考慮用換元法將其變形，換元適當(dāng)，事半功倍。,例6 求下列函數(shù)的值域：,分析：求復(fù)合函數(shù)的

4、值域，利用函數(shù)的單調(diào)性采用換元法先求出外層函數(shù)的值域作為內(nèi)層函數(shù)的定義域，然后求原函數(shù)的值域，要特別注意內(nèi)層函數(shù)的定義域的取值范圍。,解（1）令u=x2+2x=(x+1)2-1,得u-1,+),則y=2u2-1=1/2；故值域是y 1/2,+).,(2)令u=-x2+2x+1=-(x-1)2+22,且u0,故y=log1/2u的定義域?yàn)椋?，2上的減函數(shù)，即原函數(shù)值域的為y -1,+)。,分析：本題求值域看似簡單，其實(shí)有其技巧性，變形適當(dāng)事半功倍。(1)可用配方法或判別式法求解;（2）可用單調(diào)有界性解之。,解法1：不難看出y0,且可得定義域?yàn)?x5,原函數(shù)變形為：,解法2：(判別式法).,例8

5、 已知圓C：x2-4x+y2+1=0上任意一點(diǎn)P（x,y),求 的最大值與最小值。,分析： 即求圓上的點(diǎn)P(x,y)到原點(diǎn)(0,0)的斜率的最值，可利用數(shù)形結(jié)合法求解。,例9 已知圓C：x2+y2-4x+6y+11=0,求x+y+4的最值。,分析：本題可轉(zhuǎn)化采用圓的參數(shù)方程表達(dá)，利用三角函數(shù)的有界性解決或在二元二次方程的約束條件下，求x+y+4的線性規(guī)劃。,解法1：條件可化為(x-2)2+(y+3)2=2 把此圓化為參數(shù)方程,(x+y+4)max=5 (x+y+4)min=1,解法2（線性規(guī)劃） x,y是圓C:(x-2)2+(y+3)2=2上的點(diǎn)，設(shè)x+y+4=z,則y=-x+(z-4),z-

6、4可看作為直線L:x+y+4-z=0在y軸上的截距，作直線y=-x并平移，當(dāng)直線L:x+y+4-z=0和圓C相切時(shí)，z-4有最大值和最小值。,(x+y+4)max=5 (x+y+4)min=1,x,y,o,例10 求函數(shù) 的值域。,分析：利用三角函數(shù)的有界性較數(shù)形結(jié)合 為點(diǎn)(2,0)與點(diǎn)(cosx,-sinx)連線的斜率的過程要簡單。,解：將原函數(shù)化為sinx+ycosx=2y,例11 求函數(shù)y=x2-2x+10+x2+6x+13的值域。,分析：本題求函數(shù)的值域可用解析幾何與數(shù)形結(jié)合法解之。,A1(1,-3),y,P,將上式可看成為x軸上點(diǎn)P(x,0)與A(1,3),B(-3,2)的距離之和。即在x軸上求作一點(diǎn)P與兩定點(diǎn)A,B的