高中數(shù)學(xué) 第3章 不等式 3.4.2 基本不等式的應(yīng)用學(xué)案 蘇教版必修

1、3.4.2基本不等式的應(yīng)用1掌握基本不等式及變形的應(yīng)用2會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題3能應(yīng)用基本不等式解決生活中的應(yīng)用問題基礎(chǔ)初探教材整理基本不等式與最值閱讀教材P99P101，完成下列問題已知a0，b0，在運用基本不等式時，要注意：(1)和ab一定時，積ab有最大值；(2)積ab一定時，和ab有最小值；(3)取等號的條件.1設(shè)x，y滿足xy40，且x，y都是正數(shù)，則xy的最大值為_【解析】x，y(0，)，xy2400，當(dāng)且僅當(dāng)xy20時等號成立【答案】4002把總長為16 m的籬笆圍成一個矩形場地，則矩形場地的最大面積是_ m2.【解析】設(shè)一邊長為x m，則另一邊長為(8x)m，

2、則面積Sx(8x)216，當(dāng)且僅當(dāng)x8x，即x4時等號成立【答案】16質(zhì)疑手記預(yù)習(xí)完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：_解惑：_疑問2：_解惑：_疑問3：_解惑：_小組合作型利用基本不等式求條件最值(1)已知x0，y0，且1，則xy的最小值是_(2)若x2y1，且x0，y0，則的最小值為_. 【導(dǎo)學(xué)號：】【精彩點撥】注意條件“1”及“x2y1”的作用【自主解答】(1)1，x0，y0，xy(xy)1010216.當(dāng)且僅當(dāng)，即x4，y12時等號成立(2)x2y1，x0，y0，(x2y)8210218.當(dāng)且僅當(dāng)，即x，y時等號成立【答案】(1)16(2)18解決含有兩個變量的

3、代數(shù)式的最值時，常用“變量”替換，“1”的替換，構(gòu)造不等式求解再練一題1(1)已知正數(shù)a，b滿足abab3，則ab的取值范圍是_(2)已知點M(a，b)在直線xy1上，則的最小值為_【解析】(1)法一由abab3，得b.由b0，得0.a0，a1.aba(a1)5259.當(dāng)且僅當(dāng)a1，即a3時，取等號，此時b3.ab的取值范圍是9，)法二由于a，b為正數(shù)，ab2，abab323，即()2230，3，故ab9，當(dāng)且僅當(dāng)ab3時，取等號ab的取值范圍是9，)(2)因為點M(a，b)在直線xy1上，所以ab1，因為a2b2，當(dāng)且僅當(dāng)ab時等號成立，所以，所以的最小值為.【答案】(1)9，)(2)利用基

4、本不等式解實際應(yīng)用題某單位用2 160萬元購得一塊空地，計劃在該地塊上建造一棟至少10層、每層2 000平方米的樓房經(jīng)測算，如果將樓房建為x(x10)層，則每平方米的平均建筑費用為56048x(單位：元)為了使樓房每平方米的平均綜合費用最少，該樓房應(yīng)建為多少層？(注：平均綜合費用平均建筑費用平均購地費用，平均購地費用)【精彩點撥】根據(jù)題目列函數(shù)關(guān)系式，利用基本不等式求最值并確定取得最值的條件，得出結(jié)論【自主解答】設(shè)將樓房建為x層，則每平方米的平均購地費用為.每平方米的平均綜合費用y56048x56048.當(dāng)x取最小值時，y有最小值x0，x230，當(dāng)且僅當(dāng)x，即x15時，上式等號成立所以當(dāng)x15

5、時，y有最小值2 000元因此該樓房建為15層時，每平方米的平均綜合費用最少在應(yīng)用基本不等式解決實際問題時，應(yīng)注意如下的思路和方法：(1)先理解題意，設(shè)出變量，一般把要求最值的量定為函數(shù)；(2)建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，把實際問題抽象成函數(shù)的最大值或最小值問題；(3)在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值；(4)根據(jù)實際背景寫出答案再練一題2某汽車公司購買了4輛大客車，每輛200萬元，用于長途客運，預(yù)計每輛車每年收入約100萬元，每輛車第一年各種費用約為16萬元且從第二年開始每年比上一年所需費用要增加16萬元(1)寫出4輛車運營的總利潤y(萬元)與運營年數(shù)x(xN*)的函數(shù)關(guān)系式；(2)這4輛車運營多

6、少年，可使年平均運營利潤最大？【解】(1)依題意，每輛車x年總收入為100x萬元，總支出為20016(12x)200x(x1)16(萬元)y416(2x223x50)(2)年平均利潤為1616.又xN*，x210，當(dāng)且僅當(dāng)x5時，等號成立，此時16(2320)48.運營5年可使年平均運營利潤最大，最大利潤為48萬元探究共研型形如yx的最值問題探究可以用基本不等式求函數(shù)yx(x4)的最小值嗎？為什么？【提示】x4，yx24，當(dāng)且僅當(dāng)x，即x2時等號成立，又x4，故不可以用基本不等式求其最小值由于yx在4，)上單調(diào)遞增，故當(dāng)x4時，ymin45.已知a0，求函數(shù)y的最小值【精彩點撥】分“a1”和“

7、0a1”兩類分別求函數(shù)的最值【自主解答】y.(1)當(dāng)01時，令t，則t，yf(t)t，利用單調(diào)性可知f(t)在，)上是增函數(shù)，yf()，當(dāng)且僅當(dāng)t，即x0時等號成立ymin.綜上所述，當(dāng)01時，ymin.1利用基本不等式求最值的前提條件是：一正、二定、三相等2在等號不成立時，常借助函數(shù)的單調(diào)性求其最值再練一題3已知兩正數(shù)x，y滿足xy1，求z的最小值【解】由xy1知x2y22xy1，x2y212xy.從而有z(x2y2x2y21)(2x2y22xy)，令xyt，則zt2，再令f(t)t，可以證明f(t)t在上單調(diào)遞減，故當(dāng)t時，f(t)t取最小值，當(dāng)xy時，z取最小值.1已知x，y都是正數(shù)，(

8、1)如果xy15，則xy的最小值是_；(2)如果xy15，則xy的最大值是_【解析】(1)xy22，即xy的最小值是2，當(dāng)且僅當(dāng)xy時取最小值(2)xy22，即xy的最大值是.當(dāng)且僅當(dāng)xy時，xy取最大值【答案】(1)2(2)2已知x0，則2x的最大值是_【解析】x0，x4，2x2242，當(dāng)且僅當(dāng)x，即x2時取等號2x的最大值為2.【答案】23已知a0，b0，ab1，則的取值范圍是_. 【導(dǎo)學(xué)號：】【解析】ab1，a0，b0，2224.當(dāng)且僅當(dāng)，即ab時等號成立【答案】44建造一個容積為8 m3，深為2 m的長方體無蓋水池，如果池底和池壁的造價每平方米分別為120元和80元，那么水池的最低總造

9、價為_元【解析】設(shè)水池的造價為y元，長方形底的一邊長為x m，由于底面積為4 m2，所以另一邊長為 m.那么y1204280480320 48032021 760(元)當(dāng)x2，即底為邊長為2 m的正方形時，水池的造價最低，為1 760元【答案】1 7605設(shè)x，y0，且xy4，若不等式m恒成立，求實數(shù)m的最大值【解】(xy)(54).當(dāng)且僅當(dāng)，且xy4，即x，y時，上式取“”故min.m恒成立，m，mmax.我還有這些不足：(1)_(2)_我的課下提升方案：(1)_(2)_學(xué)業(yè)分層測評(二十)(建議用時：45分鐘)學(xué)業(yè)達標(biāo)一、填空題1設(shè)0x，則函數(shù)yx(32x)的最大值是_【解析】0x0，yx

10、(32x)2x22，當(dāng)且僅當(dāng)xx，即x時，取“”，函數(shù)yx(32x)的最大值為.【答案】2若實數(shù)x，y滿足x2y2xy1，則xy的最大值是_. 【導(dǎo)學(xué)號：】【解析】x2y2xy1，(xy)21xy12，(xy)2，xy.【答案】3設(shè)x，y滿足x4y40，且x，y(0，)，則lg xlg y的最大值是_【解析】x4y40，且x，y(0，)，4xy2(20)2400，當(dāng)且僅當(dāng)x4y時等號成立lg xlg ylg(xy)lg (x4y)lg 2.【答案】24已知x，則f(x)的最小值為_【解析】f(x)1.當(dāng)且僅當(dāng)x2，即x3時等號成立【答案】15已知點P(x，y)在經(jīng)過A(3,0)，B(1,1)兩

11、點的直線上，則2x4y的最小值為_【解析】點P(x，y)在直線AB上，x2y3，2x4y224.【答案】46某公司租地建倉庫，每月土地占用費y1與倉庫到車站的距離成反比，而每月庫存貨物的運費y2與倉庫到車站的距離成正比，如果在距離車站10千米處建倉庫，這兩項費用y1和y2分別為2萬元和8萬元，那么，要使這兩次費用之和最小，倉庫應(yīng)建在離車站_千米處【解析】設(shè)倉庫距離車站為x千米，則y1，y2k2x.由題意可知，2，8k210，k120，k2，yx.x28，當(dāng)且僅當(dāng)x，即x5時取等號x5千米時，y取得最小值【答案】57若對任意x0，a恒成立，則a的取值范圍是_. 【導(dǎo)學(xué)號：】【解析】因為x0，所以x2，當(dāng)且僅當(dāng)x1時取等號，所以有，即的最大值為，故a.【答案】8汽車在行駛過程中，汽油平均消耗率g(即每小時的汽油消耗量，單位：L/h)與汽車行駛的平均速度v(單位：km/h)之間有函數(shù)關(guān)系：g(v50)25(0v0，求的最小值【解】因為211，當(dāng)且僅當(dāng)，abc，且恒成立，則m的取值范圍是_. 【導(dǎo)學(xué)號：】【解析】由abc，知ab0，ac0，bc0，原不等式等價于m.要使原不等式恒成立，只需的最小值不小于m即可2224.當(dāng)且僅當(dāng)，即2bac時，等號成立m4，即m(，4【答案】(，4圖3424為了豎一塊廣告牌，要制造三角形支