高中數(shù)學(xué) 第三章 三角恒等變換 3.1 兩角和與差的三角函數(shù) 3.1.1 兩角和與差的余弦教案 蘇教版必修

1、31.1兩角和與差的余弦設(shè)計思路整堂課大致分兩部分，一是探究發(fā)現(xiàn)；二是知識應(yīng)用探究過程由物理情景出發(fā)，嘗試解決物理問題后抽象出數(shù)學(xué)模型向量，再轉(zhuǎn)化問題的表述，回歸數(shù)學(xué)本質(zhì)，探究“cos()能否用，的三角函數(shù)表示出來？如何表示？”這一問題經(jīng)歷“猜想驗證證明”的體驗過程，感受向量方法證明的簡潔美和數(shù)學(xué)探究的成功體驗以幾何畫板為探索平臺，完成公式推導(dǎo)，并體驗，的任意性證明過程由粗至精，在直觀形象的基礎(chǔ)上進(jìn)一步去體驗數(shù)學(xué)的科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)通過例1、例2和練習(xí)1學(xué)會運用公式進(jìn)行簡單三角函數(shù)的化簡、求值，例3有一定技巧，意在讓學(xué)生初步體會角的變換的靈活性教學(xué)目標(biāo)1經(jīng)歷用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式的過程，進(jìn)

2、一步體會向量方法的作用；2掌握兩角和與差的余弦公式，能正確運用這些公式進(jìn)行簡單三角函數(shù)的化簡、求值；3培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、研究問題、解決問題的能力及創(chuàng)新能力，掌握數(shù)形結(jié)合這一重要數(shù)學(xué)思想；4引導(dǎo)學(xué)生注意養(yǎng)成有條理地逐步解決問題的習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生普遍聯(lián)系、運動變化、數(shù)學(xué)來源于實踐又指導(dǎo)實踐的辯證唯物主義觀點及勇于探索的創(chuàng)新精神情景創(chuàng)設(shè)1物理情景如圖1所示，傾角為30的斜坡上，一物體在力F的作用下前進(jìn)了1 m，已知|F|1 N，力F的方向與水平方向成45角，求此過程中力F所做的功圖1設(shè)問1：力F與位移s的夾角不是我們熟知的那些特殊角，有辦法求此過程中力F所做的功W嗎？將力F正交分解，得水平方向和豎直方

3、向的兩個分力F1、F2，將位移s也按同樣的方向做正交分解為s1、s2，可以具體計算出W1、W2，再求出和功W.發(fā)現(xiàn)：由FsF1s1F2s2，有cos(4530)cos45cos30sin45sin30.設(shè)問2：一般地，斜坡傾角為，力F的方向與水平方向所成角為，還會有類似的結(jié)果嗎？2數(shù)學(xué)情境將上述問題中的數(shù)學(xué)模型抽象出來：我們知道，力、位移這些矢量在數(shù)學(xué)中抽象為向量，下面我們將前面的探索翻譯成數(shù)學(xué)語言、向量語言設(shè)問3：(設(shè)問2的轉(zhuǎn)化)cos()能否用，的三角函數(shù)表示出來？如何表示？猜猜看？學(xué)生活動：舉例驗證各自的猜想是否正確，然后班級交流(猜想cos()coscossinsin，誘導(dǎo)公式就是極好

4、的驗證例子)設(shè)問4：所猜想的等式有什么結(jié)構(gòu)特點？你能推導(dǎo)出這一猜想嗎？說說你的推導(dǎo)思路建構(gòu)數(shù)學(xué)探究1：cos()看成兩個向量的夾角的余弦，用向量的數(shù)量積來研究(嚴(yán)謹(jǐn)性不必一步到位，采用學(xué)生們的說法“為兩向量夾角”)師生活動：從“為兩向量夾角”這一不夠嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼f法出發(fā)，學(xué)生畫圖探索，嘗試證明老師用“幾何畫板”演示(如圖2)，寫出推導(dǎo)思路再用“幾何畫板”演示(如圖3)，引導(dǎo)大家對欠嚴(yán)謹(jǐn)處展開討論，體驗，的任意性圖2圖3前面的推導(dǎo)必須符合條件0才正確，、是任意的，也應(yīng)該是任意的猜想仍然正確嗎？利用誘導(dǎo)公式，存在0,2)使coscos()，若0，則abcoscos()；若，2)，則20，且abcos(2

5、)coscos()從而得出公式cos()coscossinsin.C()探究2：(旋轉(zhuǎn)變換的思想)如圖4，將角旋轉(zhuǎn)變換到以x軸正方向為始邊的位置，接著利用兩點間的距離公式建立等式.圖4引導(dǎo)體會該證法的優(yōu)點(任意角、的終邊位置不同不影響公式的證明)探究3：cos()能否用、的三角函數(shù)表示出來？如何表示？學(xué)生小組討論后很容易由()或依據(jù)、的任意性令得出公式：cos()coscossinsin.發(fā)散：模仿探究3你還能得出其他類似結(jié)果嗎？數(shù)學(xué)運用我們探索得到了兩角和與差的余弦公式，公式形式上有什么特點，如何記憶？這一公式的得出又有怎樣的價值？例1利用兩角和(差)的余弦公式，求cos75，cos15，s

6、in15，tan15.設(shè)問5：這里的75、15以前我們并不熟悉，現(xiàn)在要求它們的余弦值(三角函數(shù)值)，怎樣處理？學(xué)生很快會答出將75表示成4530，將15表示成4530，然后再利用兩角和(差)的余弦公式求值學(xué)生還會想出6045的處理辦法，要及時肯定教師板書解題過程，啟發(fā)學(xué)生總結(jié)出解決問題的關(guān)鍵點：“將所求角用熟知的特殊角表示出來”本題還涉及到誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)關(guān)系的運用，也需設(shè)問引導(dǎo)學(xué)生注意總結(jié)學(xué)生若能夠與探究部分的發(fā)散聯(lián)系起來，得出兩角和(差)的正弦公式，要多加贊許例2已知sin，(，)，cos，(，)，求cos()學(xué)生思考后師生共同分析，欲利用兩角和的余弦公式求三角函數(shù)值，要先準(zhǔn)備好公式

7、中所需要的相關(guān)角的正弦值、余弦值，教育學(xué)生做事情要有條理，一步一步把事情做好強(qiáng)調(diào)利用同角三角函數(shù)關(guān)系準(zhǔn)備相關(guān)三角函數(shù)值時，要依據(jù)角的范圍，判斷函數(shù)值的符號，進(jìn)而求出三角函數(shù)值例3已知、都是銳角，cos，cos()，求cos.探究4：學(xué)生往往抓住cos()用公式展開，將sin，cos的值代入，再結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系sin2cos21，用方程思想求解啟發(fā)學(xué)生把題目中所涉及的角分成兩類：已知角和所求角，能否用已知角把所求角表示出來？進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生抓住角的變換應(yīng)用公式求值()，coscos()cos()cossin()sin.老師板書解題過程，并引導(dǎo)學(xué)生比較兩種方法學(xué)生練習(xí)1利用兩角和(差)的余弦公式化

8、簡：(1)cos58cos37sin58sin37；(2)cos(60)cos(60)2已知cos，(，)，求cos()的值課堂小結(jié)先請兩位同學(xué)談?wù)勛约哼@堂課的收獲與體驗，然后老師小結(jié)熟記公式(化歸的思想)向量方法探索公式的簡潔美(其他探索方法)公式應(yīng)用(求值型，證明型，化簡型)注意公式的正用、逆用，注意根據(jù)角的范圍確定三角函數(shù)值的符號，要善于發(fā)現(xiàn)角之間的關(guān)系鞏固作業(yè)1已知sin，cos，且、都是第二象限角，求cos()的值2已知，且sin()，cos().(1)用，表示2；(2)求cos2的值教學(xué)反思1物理情景的引入幫助學(xué)生很快形成猜想，同時嘗試抽象出其中的數(shù)學(xué)本質(zhì)，一方面自然過渡到用向量法探究兩角差的余弦公式，另一方面也是對數(shù)學(xué)建模思想的又一次豐富2兩角差的余弦公式探索方法很多，教材中也留有許多思考讓學(xué)生從不同角度探索公式，這些探索證明方法的建構(gòu)都有著豐富的數(shù)學(xué)