離散系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型幻燈片.ppt

1、2020/9/17,1,第2章 線性離散系統(tǒng) 的數(shù)學(xué)描述和分析方法,信號(hào)變換理論 線性離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述方法 線性離散系統(tǒng)的Z變換分析法 脈沖傳遞函數(shù) 線性離散系統(tǒng)的性能分析,本章主要內(nèi)容,2020/9/17,2,21 信號(hào)變換理論,1. 連續(xù)信號(hào)的采樣和量化,圖1 采樣過程,采樣過程,2020/9/17,3,在計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)中，采樣信號(hào) 是一數(shù)字序列，可分解成一系列單脈沖之和。,式中， 為 時(shí)刻的單脈沖，脈沖的幅值為 ； 為 時(shí)刻的單脈沖，脈沖的幅值為 ； 為 時(shí)刻的單脈沖，脈沖的幅值為 。,則：,只有在 時(shí)刻，才有 ，而在的所有 時(shí)刻，都有 。,。,2020/9/17,4,圖2 對(duì)單位脈沖

2、序列的調(diào)制,可以解釋為連續(xù)時(shí)間信號(hào) 被理想單位脈沖 做了離散時(shí)間調(diào)制。,因此：,2020/9/17,5,量化過程,圖3 量化過程,所謂量化，就是采用一組數(shù)碼（如二進(jìn)制碼）來逼近離散模擬信號(hào)的幅值，將其轉(zhuǎn)換成數(shù)字信號(hào)。這個(gè)經(jīng)量化使采樣信號(hào)成為數(shù)字信號(hào)的過程稱為量化過程。,2020/9/17,6,2020/9/17,7,為保證采樣信號(hào)的頻譜是被采樣信號(hào)的頻譜無重疊的重復(fù)（沿頻率軸方向），以便采樣信號(hào)能反映被采樣信號(hào)的變化規(guī)律，采樣頻率 至少應(yīng)是 的頻譜 的最高頻率 的兩倍，即,采樣定理奠定了選擇采樣頻率的理論基礎(chǔ)，但對(duì)于連續(xù)對(duì)象的離散控制，不易確定連續(xù)信號(hào)的最高頻率。因此，采樣定理給出了選擇頻率的

3、準(zhǔn)則，在實(shí)際應(yīng)用中還要根據(jù)系統(tǒng)的實(shí)際情況綜合考慮。,采樣定理,2020/9/17,8,2020/9/17,9,22 線性離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述方法,1. 差分方程,線性離散系統(tǒng)的差分方程,圖6 連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng),（a）連續(xù)系統(tǒng) （b）離散系統(tǒng),2020/9/17,10,2 . 差分方程的求解,例1 已知一個(gè)數(shù)字系統(tǒng)的差分方程為,輸入信號(hào),初始條件,，試求解差分方程。,，代入差分方程，得,解：令：,2020/9/17,11,23 線性離散系統(tǒng)的Z變換分析法,1 . Z變換,對(duì)上式取拉氏變換：,令：,則：,2020/9/17,12,（1）只有采樣函數(shù) 才能定義Z變換；,注意：,（2）比較下面兩式,中

4、，,決定幅值，,決定時(shí)間。,（3）Z變換是由采樣函數(shù)決 定的，它反映不了非采樣時(shí) 刻的信息。,圖7 采樣值相同連續(xù)函數(shù)不同,2020/9/17,13,2020/9/17,14,例3 已知,，求F（z）。,解:,部分分式法,2020/9/17,15,已知，具有N個(gè)不同的極點(diǎn)，有 個(gè)重極點(diǎn)（ =1，為單極點(diǎn)），則,，求 。,例4 已知,解:,，,留數(shù)法,若,2020/9/17,16,2. Z反變換,長(zhǎng)除法,例5 用長(zhǎng)除法求函數(shù) 的Z反變換。,解：,2020/9/17,17,部分分式法,例6 用部分分式法求 的Z反變換。,解：,（查表21 ）,2020/9/17,18,留數(shù)計(jì)算法,例7 用留數(shù)計(jì)算法

5、求 的Z反變換。,根據(jù)留數(shù)定理,2020/9/17,19,3.用變換解差分方程,用變換求解差分方程主要用到變換的平移定理。,例8 用Z變換解下列差分方程：,初始條件為：,解：,對(duì)上式進(jìn)行Z變換得,由線性定理:,由超前定理:,2020/9/17,20,查表得,為了書寫方便，通常將 寫成 。,代入初始條件，解得,2020/9/17,21,24 脈沖傳遞函數(shù),圖8 單輸入單輸出離散系統(tǒng)的方框圖,為了應(yīng)用脈沖傳遞函數(shù)的概念，通?？稍谳敵龆颂撛O(shè)一采樣開關(guān)，對(duì)輸出的連續(xù)時(shí)間信號(hào)做假想采樣，來獲得輸出信號(hào)的采樣信號(hào)。,1. 脈沖傳遞函數(shù),2020/9/17,22,脈沖傳遞函數(shù)與差分方程的相互轉(zhuǎn)換,，,若已知

6、n 階離散系統(tǒng)的差分方程是,在零初始條件下，進(jìn)行Z變換,得脈沖傳遞函數(shù)為,2020/9/17,23,2. 離散系統(tǒng)方框圖的變換,開環(huán)脈沖傳遞函數(shù),圖9 串聯(lián)環(huán)節(jié)框圖的兩種形式,（a）兩環(huán)節(jié)間有采樣開關(guān),（b）兩環(huán)節(jié)間無采樣開關(guān),（a）,（b）,通常,2020/9/17,24,閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù),例9 求圖所示典型計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。,圖10 典型計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng),解：,2020/9/17,25,25 線性離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的所有極點(diǎn)位于Z平面的單位圓內(nèi)。 在單位圓上有重極點(diǎn)或者在單位圓外有一個(gè)以上的極點(diǎn)，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的； 在單位圓上有一對(duì)復(fù)數(shù)極點(diǎn)或一個(gè)實(shí)極點(diǎn)，系統(tǒng)

7、是臨界穩(wěn)定的。,線性定常離散系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的充分必要條件是：,2020/9/17,26,朱利（Jury）穩(wěn)定性判據(jù),朱利穩(wěn)定性判據(jù)可以根據(jù)系統(tǒng)的特征方程的系數(shù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,設(shè)離散系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式為,其中， 為實(shí)數(shù)，通常取 。,構(gòu)造朱利表,其中：,2020/9/17,27,朱利表,*直到表中的同一行中只有三個(gè)元素時(shí)為止。偶數(shù)行的元素是奇數(shù)行元素的倒置。,2020/9/17,28,多項(xiàng)式 所有根都在Z平面單位圓內(nèi)的充分必要條件是：,（1）,（2）,（3）,（4）,2020/9/17,29,例10 已知二階離散系統(tǒng)特征多項(xiàng)式為 試確定使系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的K值范圍。 解：系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的條件是,，,系

8、統(tǒng)漸近穩(wěn)定的K值是,2020/9/17,30,26 線性離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析,離散系統(tǒng)的采樣時(shí)刻的穩(wěn)態(tài)誤差,假設(shè)所有的極點(diǎn)都在平面單位圓內(nèi)，根據(jù)終值定理，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為,圖11 離散控制系統(tǒng),2020/9/17,31,當(dāng)離散系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)已知時(shí)，在輸入信號(hào)給定的情況下，得到輸出量的 變換 ，經(jīng)過 反變換，就能得到系統(tǒng)輸出的時(shí)間序列 。根據(jù)過渡過程曲線，可以分析系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性如 、 等。,27 線性離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析,1已知離散系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，分析系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性,2020/9/17,32,例11 如圖所示的線性離散系統(tǒng)，輸入為單位階躍序列。試分析系統(tǒng)的過渡過程。（其中： ）,解： 被控對(duì)象脈沖傳遞函數(shù),代入已知參數(shù)，可得系統(tǒng)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù),圖12 例11圖,202