




版權(quán)說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請(qǐng)進(jìn)行舉報(bào)或認(rèn)領(lǐng)
文檔簡介
1、4.2.2最大值、最小值問題學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解函數(shù)最值的概念,了解其與函數(shù)極值的區(qū)別與聯(lián)系.2.會(huì)求某閉區(qū)間上函數(shù)的最值.知識(shí)點(diǎn)函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)如圖為yf(x),xa,b的圖像.思考1觀察a,b上函數(shù)yf(x)的圖像,試找出它的極大值、極小值.答案極大值為f(x1),f(x3),極小值為f(x2),f(x4).思考2結(jié)合圖像判斷,函數(shù)yf(x)在區(qū)間a,b上是否存在最大值,最小值?若存在,分別為多少?答案存在,f(x)minf(a),f(x)maxf(x3).思考3函數(shù)yf(x)在a,b上的最大(小)值一定是某極值嗎?答案不一定,也可能是區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值.梳理(1)函數(shù)的最大(小)值的存
2、在性一般地,如果在區(qū)間a,b上函數(shù)yf(x)的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線,那么它必有最大值與最小值.(2)求函數(shù)yf(x)在閉區(qū)間a,b上的最值的步驟:求函數(shù)yf(x)在(a,b)內(nèi)的極值;將函數(shù)yf(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a),f(b)比較,其中最大的一個(gè)是最大值,最小的一個(gè)是最小值.類型一求函數(shù)的最值命題角度1不含參數(shù)的函數(shù)求最值例1求下列函數(shù)的最值:(1)f(x)2x312x,x2,3;(2)f(x)xsin x,x0,2.解(1)因?yàn)閒(x)2x312x,所以f(x)6x2126(x)(x),令f(x)0,解得x或x.因?yàn)閒(2)8,f(3)18,f()8,f()8;所以當(dāng)x時(shí)
3、,f(x)取得最小值8;當(dāng)x3時(shí),f(x)取得最大值18.(2)f(x)cos x,令f(x)0,又x0,2,解得x或x.因?yàn)閒(0)0,f(2),f(),f().所以當(dāng)x0時(shí),f(x)有最小值0;當(dāng)x2時(shí),f(x)有最大值.反思與感悟求解函數(shù)在固定區(qū)間上的最值,需注意以下幾點(diǎn)(1)對(duì)函數(shù)進(jìn)行準(zhǔn)確求導(dǎo),并檢驗(yàn)f(x)0的根是否在給定區(qū)間內(nèi).(2)研究函數(shù)的單調(diào)性,正確確定極值和端點(diǎn)函數(shù)值.(3)比較極值與端點(diǎn)函數(shù)值大小,確定最值.跟蹤訓(xùn)練1求函數(shù)f(x)ex(3x2),x2,5的最值.解f(x)3exexx2,f(x)3ex(exx22exx)ex(x22x3)ex(x3)(x1).在區(qū)間2,
4、5上,f(x)ex(x3)(x1)0,函數(shù)f(x)在區(qū)間2,5上是減少的,當(dāng)x2時(shí),函數(shù)f(x)取得最大值f(2)e2;當(dāng)x5時(shí),函數(shù)f(x)取得最小值f(5)22e5.命題角度2含參數(shù)的函數(shù)求最值例2已知a是實(shí)數(shù),函數(shù)f(x)x2(xa).(1)若f(1)3,求a的值及曲線yf(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線方程;(2)求f(x)在區(qū)間0,2上的最大值.解(1)f(x)3x22ax.因?yàn)閒(1)32a3,所以a0.又當(dāng)a0時(shí),f(1)1,f(1)3,所以曲線yf(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線方程為3xy20.(2)令f(x)0,解得x10,x2.當(dāng)0,即a0時(shí),f(x)在0,2上是增加的,
5、從而f(x)maxf(2)84a.當(dāng)2,即a3時(shí),f(x)在0,2上是減少的,從而f(x)maxf(0)0.當(dāng)02,即0a0,則令f(x)0,解得x.由x0,1,則只考慮x的情況.當(dāng)01,即0a1時(shí),當(dāng)x變化時(shí),f(x),f(x)隨x的變化情況如下表:x(0,)(,1)f(x)0f(x)2a故f(x)maxf()2a;當(dāng)1,即a1時(shí),f(x)0,函數(shù)f(x)在0,1上是增加的,當(dāng)x1時(shí),f(x)有最大值f(1)3a1.綜上,當(dāng)a0,x0時(shí),f(x)有最大值0;當(dāng)0a0,求f(x)的最小值為2時(shí)m的值.解因?yàn)閒(x)(x0),所以當(dāng)x(0,m)時(shí),f(x)0,f(x)在(m,)上是增加的,所以當(dāng)
6、xm時(shí),f(x)取得極小值,也是最小值,即極小值為2.即f(m)ln m2,所以me.反思與感悟已知函數(shù)在某區(qū)間上的最值求參數(shù)的值(范圍)是求函數(shù)最值的逆向思維,一般先求導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值點(diǎn),探索最值點(diǎn),根據(jù)已知最值列方程(不等式)解決問題.其中注意分類討論思想的應(yīng)用.跟蹤訓(xùn)練3設(shè)f(x)x3x22ax.當(dāng)0a2時(shí),f(x)在1,4上的最小值為,求f(x)在該區(qū)間上的最大值.解f(x)x2x2a,令f(x)0,得兩根x1,x2.當(dāng)x(,x1),(x2,)時(shí),f(x)0,所以f(x)在(,x1),(x2,)上是減少的,在(x1,x2)上是增加的.當(dāng)0a2時(shí),有x11x24,所以
7、f(x)在1,4上的最大值為f(x2).又f(4)f(1)6a0,即f(4)f(1),所以f(x)在1,4上的最小值為f(4)8a,故a1,x22,從而f(x)在1,4上的最大值為f(2).類型三與最值有關(guān)的恒成立問題例4已知函數(shù)f(x)(x1)ln xx1.若xf(x)x2ax1恒成立,求a的取值范圍.解f(x)ln x1ln x,xf(x)xln x1,而xf(x)x2ax1(x0)等價(jià)于ln xxa.令g(x)ln xx,則g(x)1.當(dāng)0x1時(shí),g(x)0;當(dāng)x1時(shí),g(x)0,x1是g(x)的最大值點(diǎn),g(x)g(1)1.綜上可知,a的取值范圍是.反思與感悟“恒成立”問題向最值問題轉(zhuǎn)
8、化是一種常見的題型,對(duì)于不能分離參數(shù)的恒成立問題,直接求含參函數(shù)的最值即可.一般地,可采用分離參數(shù)法.f(x)恒成立f(x)max;f(x)恒成立f(x)min.跟蹤訓(xùn)練4已知函數(shù)f(x)ax4ln xbx4c(x0)在x1處取得極值3c,其中a,b,c為常數(shù).若對(duì)任意x0,不等式f(x)2c2恒成立,求c的取值范圍.解由題意,知f(1)3c.因此bc3c,從而b3.所以對(duì)f(x)求導(dǎo),得f(x)4ax3ln xax412x3x3(4aln xa12).由題意,知f(1)0,即a120,得a12.所以f(x)48x3ln x(x0),令f(x)0,得x1.當(dāng)0x1時(shí),f(x)0,此時(shí)f(x)為
9、減函數(shù);當(dāng)x1時(shí),f(x)0,此時(shí)f(x)為增函數(shù).所以f(x)在x1處取得極小值f(1)3c,并且此極小值也是最小值.所以要使f(x)2c2(x0)恒成立,只需3c2c2即可.整理,得2c2c30,解得c或c1.所以c的取值范圍是(,1.1.函數(shù)f(x)x24x7,在x3,5上的最大值和最小值分別是()A.f(2),f(3) B.f(3),f(5)C.f(2),f(5) D.f(5),f(3)答案B解析f(x)2x4,當(dāng)x3,5時(shí),f(x)0,故f(x)在3,5上是減少的,故f(x)的最大值和最小值分別是f(3),f(5).2.函數(shù)f(x)x33x(|x|1)()A.有最大值,但無最小值B.
10、有最大值,也有最小值C.無最大值,但有最小值D.既無最大值,也無最小值答案D解析f(x)3x233(x1)(x1),當(dāng)x(1,1)時(shí),f(x)0,又x(0,1),0aC.m D.m答案A解析f(x)2x36x2,令f(x)0,得x0或x3,驗(yàn)證可知x3是函數(shù)的最小值點(diǎn),故f(x)minf(3)3m,由f(x)90恒成立,得f(x)9恒成立,即3m9,m.5.設(shè)函數(shù)f(x)2x39x212x8c,若對(duì)任意的x0,3,都有f(x)0;當(dāng)x(1,2)時(shí),f(x)0.當(dāng)x1時(shí),f(x)取極大值f(1)58c.又f(3)98cf(1),當(dāng)x0,3時(shí),f(x)的最大值為f(3)98c.對(duì)任意的x0,3,有
11、f(x)c2恒成立,98cc2,即c9.故c的取值范圍為(,1)(9,).1.求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,只需比較極值和端點(diǎn)處的函數(shù)值即可;若函數(shù)在一個(gè)開區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值,則這個(gè)極值就是最值.2.已知最值求參數(shù)時(shí),可先確定參數(shù)的值,用參數(shù)表示最值時(shí),應(yīng)分類討論.3.“恒成立”問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題.40分鐘課時(shí)作業(yè)一、選擇題1.函數(shù)yxsin x,x,的最大值是()A.1 B.1C. D.1答案C解析y1cos x0,故yxsin x在,上是增加的,所以當(dāng)x時(shí),ymax.2.已知函數(shù)f(x),g(x)均為a,b上的可導(dǎo)函數(shù),在a,b上連續(xù)且f(x)g(x),則f(x)g(x)的最大值為()A.
12、f(a)g(a) B.f(b)g(b)C.f(a)g(b) D.f(b)g(a)答案A解析令F(x)f(x)g(x),f(x)g(x),F(xiàn)(x)f(x)g(x)0,F(xiàn)(x)在a,b上單調(diào)遞減,F(xiàn)(x)maxF(a)f(a)g(a).3.已知函數(shù)yx22x3在區(qū)間a,2上的最大值為,則a等于()A. B.C. D.或答案C解析當(dāng)a1時(shí),最大值為4,不符合題意.當(dāng)1a1對(duì)x(1,)恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(,1) B.(,1C.(1,) D.1,)答案D解析f(x)1,即axln x1,a,令g(x),則g(x),x(1,),g(x)0,則g(x)g(1)1,a1.5.函數(shù)f(x)x3
13、mx21在2,1上的最大值就是f(x)的極大值,則m的取值范圍為()A.(6,3) B.6,3C. D.答案D解析f(x)3x22mx3x(x),令f(x)0,得x10,x2,由題意知m0).y2t.當(dāng)0t時(shí),y時(shí),y0,可知y在(,)上是增加的.故當(dāng)t時(shí),|MN|有最小值.二、填空題8.函數(shù)f(x)(x2,2)的最大值是_,最小值是_.答案22解析f(x),令f(x)0,得x11,x21.由f(2),f(1)2,f(1)2,f(2),得f(x)max2,f(x)min2.9.已知a0,若函數(shù)f(x)在1,1上的最大值為2,則實(shí)數(shù)a的值為_.答案1解析求導(dǎo)得f(x),令f(x)0,可得x1或x
14、a,又f(1)0,f(a)1,f(1),若12,則有a1;若2,則也有a1,因此a1.10.已知函數(shù)f(x)x3ax24在x2處取得極值,若m,n1,1,則f(m)f(n)的最小值是_.答案13解析f(x)3x22ax,由題意知f(2)0,得a3,f(x)x33x24,令f(x)3x26x3x(x2)0,解得x10,x22(舍去),f(1)0,f(0)4,f(1)2,f(x)min4,f(x)3x26x3(x1)23,f(x)minf(1)9,f(m)f(n)的最小值是4913.11.函數(shù)f(x)ax44ax2b(a0,1x2)的最大值為3,最小值為5,則a_,b_.答案23解析f(x)4ax
15、38ax4ax(x22),a0,x1,2,當(dāng)x(1,)時(shí),f(x)0,f(x)minf()b4a5,f(x)maxf(2)b3,由可得a2,b3.三、解答題12.已知函數(shù)f(x)x3ax23x.(1)若f(x)在1,)上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)若x3是f(x)的極值點(diǎn),求f(x)在1,a上的最大值和最小值.解(1)f(x)3x22ax3,x1,)時(shí)f(x)0恒成立,a(x)min3(當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)取最小值).a3.(2)由題意知f(3)0,即276a30,a5,f(x)x35x23x,f(x)3x210x3.令f(x)0,得x13,x2(舍去).當(dāng)1x3時(shí),f(x)0,當(dāng)3x0,即當(dāng)x3時(shí),f(x)取極小值f(3)9.又f(1)1,f(5)15,f(x)在1,5上的最小值是9,最大值是15.13.設(shè)f(x)ln x,g(x)f(x)f(
溫馨提示
- 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請(qǐng)下載最新的WinRAR軟件解壓。
- 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請(qǐng)聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
- 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內(nèi)容里面會(huì)有圖紙預(yù)覽,若沒有圖紙預(yù)覽就沒有圖紙。
- 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
- 5. 人人文庫網(wǎng)僅提供信息存儲(chǔ)空間,僅對(duì)用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對(duì)用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對(duì)任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
- 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請(qǐng)與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
- 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時(shí)也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對(duì)自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
最新文檔
- 技術(shù)創(chuàng)新對(duì)產(chǎn)業(yè)的影響與機(jī)遇分析
- 數(shù)據(jù)中心行業(yè)的PUE優(yōu)化實(shí)踐案例分享
- 2025至2030內(nèi)衣護(hù)理胸罩行業(yè)產(chǎn)業(yè)運(yùn)行態(tài)勢及投資規(guī)劃深度研究報(bào)告
- 2025至2030轉(zhuǎn)盤拋丸機(jī)行業(yè)項(xiàng)目調(diào)研及市場前景預(yù)測評(píng)估報(bào)告
- 2025至2030中國自行車花鼓行業(yè)發(fā)展趨勢分析與未來投資戰(zhàn)略咨詢研究報(bào)告
- 2025至2030中國自動(dòng)紙箱安裝機(jī)行業(yè)市場占有率及投資前景評(píng)估規(guī)劃報(bào)告
- 2025至2030中國自動(dòng)售貨機(jī)行業(yè)市場深度分析及發(fā)展預(yù)測與投資策略報(bào)告
- 2025至2030中國脫硫吸收劑行業(yè)市場占有率及投資前景評(píng)估規(guī)劃報(bào)告
- 2025至2030中國脊柱側(cè)彎支架行業(yè)產(chǎn)業(yè)運(yùn)行態(tài)勢及投資規(guī)劃深度研究報(bào)告
- 2025至2030中國胸腰椎脊柱器械行業(yè)發(fā)展趨勢分析與未來投資戰(zhàn)略咨詢研究報(bào)告
- 江蘇省南京市2024-2025學(xué)年高二(下)期末物理試卷
- 幼小銜接漢語拼音課件(合集)
- DZ∕T 0148-2014 水文水井地質(zhì)鉆探規(guī)程(正式版)
- 2022年干部基礎(chǔ)理論知識(shí)應(yīng)知必會(huì)試題-脫貧攻堅(jiān)與鄉(xiāng)村振興有效銜接專題100題
- 新生兒肺動(dòng)脈高壓
- 計(jì)算機(jī)硬件購銷合同
- 2019年GJB9001C-2017組織內(nèi)外部環(huán)境因素風(fēng)險(xiǎn)和機(jī)遇識(shí)別評(píng)價(jià)分析及應(yīng)對(duì)措施一覽表備用
- 氬氣安全周知卡
- 《印染行業(yè)定型機(jī)廢氣排放限量》DB330621T059-2022
- 太鋼不銹鋼產(chǎn)品介紹
- 幼兒專注力的個(gè)案培養(yǎng)
評(píng)論
0/150
提交評(píng)論