高中數(shù)學(xué)第四章導(dǎo)數(shù)應(yīng)用4.2導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用4.2.2最大值最小值問題導(dǎo)學(xué)案北師大版選修

1、4.2.2最大值、最小值問題學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解函數(shù)最值的概念，了解其與函數(shù)極值的區(qū)別與聯(lián)系.2.會(huì)求某閉區(qū)間上函數(shù)的最值.知識(shí)點(diǎn)函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)如圖為yf(x)，xa，b的圖像.思考1觀察a，b上函數(shù)yf(x)的圖像，試找出它的極大值、極小值.答案極大值為f(x1)，f(x3)，極小值為f(x2)，f(x4).思考2結(jié)合圖像判斷，函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上是否存在最大值，最小值？若存在，分別為多少？答案存在，f(x)minf(a)，f(x)maxf(x3).思考3函數(shù)yf(x)在a，b上的最大(小)值一定是某極值嗎？答案不一定，也可能是區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值.梳理(1)函數(shù)的最大(小)值的存

2、在性一般地，如果在區(qū)間a，b上函數(shù)yf(x)的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值與最小值.(2)求函數(shù)yf(x)在閉區(qū)間a，b上的最值的步驟：求函數(shù)yf(x)在(a，b)內(nèi)的極值；將函數(shù)yf(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值.類型一求函數(shù)的最值命題角度1不含參數(shù)的函數(shù)求最值例1求下列函數(shù)的最值：(1)f(x)2x312x，x2，3；(2)f(x)xsin x，x0，2.解(1)因?yàn)閒(x)2x312x，所以f(x)6x2126(x)(x)，令f(x)0，解得x或x.因?yàn)閒(2)8，f(3)18，f()8，f()8；所以當(dāng)x時(shí)

3、，f(x)取得最小值8；當(dāng)x3時(shí)，f(x)取得最大值18.(2)f(x)cos x，令f(x)0，又x0，2，解得x或x.因?yàn)閒(0)0，f(2)，f()，f().所以當(dāng)x0時(shí)，f(x)有最小值0；當(dāng)x2時(shí)，f(x)有最大值.反思與感悟求解函數(shù)在固定區(qū)間上的最值，需注意以下幾點(diǎn)(1)對(duì)函數(shù)進(jìn)行準(zhǔn)確求導(dǎo)，并檢驗(yàn)f(x)0的根是否在給定區(qū)間內(nèi).(2)研究函數(shù)的單調(diào)性，正確確定極值和端點(diǎn)函數(shù)值.(3)比較極值與端點(diǎn)函數(shù)值大小，確定最值.跟蹤訓(xùn)練1求函數(shù)f(x)ex(3x2)，x2，5的最值.解f(x)3exexx2，f(x)3ex(exx22exx)ex(x22x3)ex(x3)(x1).在區(qū)間2，

4、5上，f(x)ex(x3)(x1)0，函數(shù)f(x)在區(qū)間2，5上是減少的，當(dāng)x2時(shí)，函數(shù)f(x)取得最大值f(2)e2；當(dāng)x5時(shí)，函數(shù)f(x)取得最小值f(5)22e5.命題角度2含參數(shù)的函數(shù)求最值例2已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)x2(xa).(1)若f(1)3，求a的值及曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線方程；(2)求f(x)在區(qū)間0，2上的最大值.解(1)f(x)3x22ax.因?yàn)閒(1)32a3，所以a0.又當(dāng)a0時(shí)，f(1)1，f(1)3，所以曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線方程為3xy20.(2)令f(x)0，解得x10，x2.當(dāng)0，即a0時(shí)，f(x)在0，2上是增加的，

5、從而f(x)maxf(2)84a.當(dāng)2，即a3時(shí)，f(x)在0，2上是減少的，從而f(x)maxf(0)0.當(dāng)02，即0a0，則令f(x)0，解得x.由x0，1，則只考慮x的情況.當(dāng)01，即0a1時(shí)，當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)隨x的變化情況如下表：x(0，)(，1)f(x)0f(x)2a故f(x)maxf()2a；當(dāng)1，即a1時(shí)，f(x)0，函數(shù)f(x)在0，1上是增加的，當(dāng)x1時(shí)，f(x)有最大值f(1)3a1.綜上，當(dāng)a0，x0時(shí)，f(x)有最大值0；當(dāng)0a0，求f(x)的最小值為2時(shí)m的值.解因?yàn)閒(x)(x0)，所以當(dāng)x(0，m)時(shí)，f(x)0，f(x)在(m，)上是增加的，所以當(dāng)

6、xm時(shí)，f(x)取得極小值，也是最小值，即極小值為2.即f(m)ln m2，所以me.反思與感悟已知函數(shù)在某區(qū)間上的最值求參數(shù)的值(范圍)是求函數(shù)最值的逆向思維，一般先求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值點(diǎn)，探索最值點(diǎn)，根據(jù)已知最值列方程(不等式)解決問題.其中注意分類討論思想的應(yīng)用.跟蹤訓(xùn)練3設(shè)f(x)x3x22ax.當(dāng)0a2時(shí)，f(x)在1，4上的最小值為，求f(x)在該區(qū)間上的最大值.解f(x)x2x2a，令f(x)0，得兩根x1，x2.當(dāng)x(，x1)，(x2，)時(shí)，f(x)0，所以f(x)在(，x1)，(x2，)上是減少的，在(x1，x2)上是增加的.當(dāng)0a2時(shí)，有x11x24，所以

7、f(x)在1，4上的最大值為f(x2).又f(4)f(1)6a0，即f(4)f(1)，所以f(x)在1，4上的最小值為f(4)8a，故a1，x22，從而f(x)在1，4上的最大值為f(2).類型三與最值有關(guān)的恒成立問題例4已知函數(shù)f(x)(x1)ln xx1.若xf(x)x2ax1恒成立，求a的取值范圍.解f(x)ln x1ln x，xf(x)xln x1，而xf(x)x2ax1(x0)等價(jià)于ln xxa.令g(x)ln xx，則g(x)1.當(dāng)0x1時(shí)，g(x)0；當(dāng)x1時(shí)，g(x)0，x1是g(x)的最大值點(diǎn)，g(x)g(1)1.綜上可知，a的取值范圍是.反思與感悟“恒成立”問題向最值問題轉(zhuǎn)

8、化是一種常見的題型，對(duì)于不能分離參數(shù)的恒成立問題，直接求含參函數(shù)的最值即可.一般地，可采用分離參數(shù)法.f(x)恒成立f(x)max；f(x)恒成立f(x)min.跟蹤訓(xùn)練4已知函數(shù)f(x)ax4ln xbx4c(x0)在x1處取得極值3c，其中a，b，c為常數(shù).若對(duì)任意x0，不等式f(x)2c2恒成立，求c的取值范圍.解由題意，知f(1)3c.因此bc3c，從而b3.所以對(duì)f(x)求導(dǎo)，得f(x)4ax3ln xax412x3x3(4aln xa12).由題意，知f(1)0，即a120，得a12.所以f(x)48x3ln x(x0)，令f(x)0，得x1.當(dāng)0x1時(shí)，f(x)0，此時(shí)f(x)為

9、減函數(shù)；當(dāng)x1時(shí)，f(x)0，此時(shí)f(x)為增函數(shù).所以f(x)在x1處取得極小值f(1)3c，并且此極小值也是最小值.所以要使f(x)2c2(x0)恒成立，只需3c2c2即可.整理，得2c2c30，解得c或c1.所以c的取值范圍是(，1.1.函數(shù)f(x)x24x7，在x3，5上的最大值和最小值分別是()A.f(2)，f(3) B.f(3)，f(5)C.f(2)，f(5) D.f(5)，f(3)答案B解析f(x)2x4，當(dāng)x3，5時(shí)，f(x)0，故f(x)在3，5上是減少的，故f(x)的最大值和最小值分別是f(3)，f(5).2.函數(shù)f(x)x33x(|x|1)()A.有最大值，但無最小值B.

10、有最大值，也有最小值C.無最大值，但有最小值D.既無最大值，也無最小值答案D解析f(x)3x233(x1)(x1)，當(dāng)x(1，1)時(shí)，f(x)0，又x(0，1)，0aC.m D.m答案A解析f(x)2x36x2，令f(x)0，得x0或x3，驗(yàn)證可知x3是函數(shù)的最小值點(diǎn)，故f(x)minf(3)3m，由f(x)90恒成立，得f(x)9恒成立，即3m9，m.5.設(shè)函數(shù)f(x)2x39x212x8c，若對(duì)任意的x0，3，都有f(x)0；當(dāng)x(1，2)時(shí)，f(x)0.當(dāng)x1時(shí)，f(x)取極大值f(1)58c.又f(3)98cf(1)，當(dāng)x0，3時(shí)，f(x)的最大值為f(3)98c.對(duì)任意的x0，3，有

11、f(x)c2恒成立，98cc2，即c9.故c的取值范圍為(，1)(9，).1.求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，只需比較極值和端點(diǎn)處的函數(shù)值即可；若函數(shù)在一個(gè)開區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值，則這個(gè)極值就是最值.2.已知最值求參數(shù)時(shí)，可先確定參數(shù)的值，用參數(shù)表示最值時(shí)，應(yīng)分類討論.3.“恒成立”問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題.40分鐘課時(shí)作業(yè)一、選擇題1.函數(shù)yxsin x，x，的最大值是()A.1 B.1C. D.1答案C解析y1cos x0，故yxsin x在，上是增加的，所以當(dāng)x時(shí)，ymax.2.已知函數(shù)f(x)，g(x)均為a，b上的可導(dǎo)函數(shù)，在a，b上連續(xù)且f(x)g(x)，則f(x)g(x)的最大值為()A.

12、f(a)g(a) B.f(b)g(b)C.f(a)g(b) D.f(b)g(a)答案A解析令F(x)f(x)g(x)，f(x)g(x)，F(xiàn)(x)f(x)g(x)0，F(xiàn)(x)在a，b上單調(diào)遞減，F(xiàn)(x)maxF(a)f(a)g(a).3.已知函數(shù)yx22x3在區(qū)間a，2上的最大值為，則a等于()A. B.C. D.或答案C解析當(dāng)a1時(shí)，最大值為4，不符合題意.當(dāng)1a1對(duì)x(1，)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(，1) B.(，1C.(1，) D.1，)答案D解析f(x)1，即axln x1，a，令g(x)，則g(x)，x(1，)，g(x)0，則g(x)g(1)1，a1.5.函數(shù)f(x)x3

13、mx21在2，1上的最大值就是f(x)的極大值，則m的取值范圍為()A.(6，3) B.6，3C. D.答案D解析f(x)3x22mx3x(x)，令f(x)0，得x10，x2，由題意知m0).y2t.當(dāng)0t時(shí)，y時(shí)，y0，可知y在(，)上是增加的.故當(dāng)t時(shí)，|MN|有最小值.二、填空題8.函數(shù)f(x)(x2，2)的最大值是_，最小值是_.答案22解析f(x)，令f(x)0，得x11，x21.由f(2)，f(1)2，f(1)2，f(2)，得f(x)max2，f(x)min2.9.已知a0，若函數(shù)f(x)在1，1上的最大值為2，則實(shí)數(shù)a的值為_.答案1解析求導(dǎo)得f(x)，令f(x)0，可得x1或x

14、a，又f(1)0，f(a)1，f(1)，若12，則有a1；若2，則也有a1，因此a1.10.已知函數(shù)f(x)x3ax24在x2處取得極值，若m，n1，1，則f(m)f(n)的最小值是_.答案13解析f(x)3x22ax，由題意知f(2)0，得a3，f(x)x33x24，令f(x)3x26x3x(x2)0，解得x10，x22(舍去)，f(1)0，f(0)4，f(1)2，f(x)min4，f(x)3x26x3(x1)23，f(x)minf(1)9，f(m)f(n)的最小值是4913.11.函數(shù)f(x)ax44ax2b(a0，1x2)的最大值為3，最小值為5，則a_，b_.答案23解析f(x)4ax

15、38ax4ax(x22)，a0，x1，2，當(dāng)x(1，)時(shí)，f(x)0，f(x)minf()b4a5，f(x)maxf(2)b3，由可得a2，b3.三、解答題12.已知函數(shù)f(x)x3ax23x.(1)若f(x)在1，)上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若x3是f(x)的極值點(diǎn)，求f(x)在1，a上的最大值和最小值.解(1)f(x)3x22ax3，x1，)時(shí)f(x)0恒成立，a(x)min3(當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)取最小值).a3.(2)由題意知f(3)0，即276a30，a5，f(x)x35x23x，f(x)3x210x3.令f(x)0，得x13，x2(舍去).當(dāng)1x3時(shí)，f(x)0，當(dāng)3x0，即當(dāng)x3時(shí)，f(x)取極小值f(3)9.又f(1)1，f(5)15，f(x)在1，5上的最小值是9，最大值是15.13.設(shè)f(x)ln x，g(x)f(x)f(