高中數學 第二章 函數 2.4.2 求函數零點近似解的一種計算方法——二分法學案 新人教B版必修

1、2.4.2求函數零點近似解的一種計算方法二分法學習目標1.了解函數變號零點與不變號零點的概念，會判斷函數變號零點的存在.2.會用二分法求函數變號零點的近似值，并能對二分法的過程作出程序化的步驟.知識鏈接現有一款手機，目前知道它的價格在5001 000元之間，你能在最短的時間內猜出與它最近的價格嗎？(誤差不超過20元)，猜價格方案：(1)隨機；(2)每次增加20元；(3)每次取價格范圍內的中間價，采取哪一種方案好呢？預習導引1.二分法的概念對于在區(qū)間a，b上連續(xù)不斷且f(a)f(b)0的函數yf(x)，通過不斷地把函數f(x)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近為零點，進而得到零點

2、近似值的方法叫做二分法.由函數的零點與相應的方程根的關系，可用二分法來求方程的近似解.2.用二分法求函數f(x)零點近似值的步驟(1)在D內取一個閉區(qū)間a0，b0D，使f(a0)與f(b0)異號，即f(a0)f(b0)0.零點位于區(qū)間a0，b0中.(2)取區(qū)間a0，b0的中點(如圖)，則此中點對應的坐標為x0a0(b0a0)(a0b0).計算f(x0)和f(a0)，并判斷：如果f(x0)0，則x0就是f(x)的零點，計算終止；如果f(a0)f(x0)0，則零點位于區(qū)間x0，b0中，令a1x0，b1b0.(3)取區(qū)間a1，b1的中點，則此中點對應的坐標為x1a1(b1a1)(a1b1).計算f(

3、x1)和f(a1)，并判斷：如果f(x1)0，則x1就是f(x)的零點，計算終止；如果f(a1)f(x1)0，則零點位于區(qū)間x1，b1上，令a2x1，b2b1.(4)繼續(xù)實施上述步驟，直到區(qū)間an，bn，函數的零點總位于區(qū)間an，bn上，當an和bn按照給定的精確度所取的近似值相同時，這個相同的近似值就是函數yf(x)的近似零點，計算終止.這時函數yf(x)的近似零點滿足給定的精確度.要點一函數零點類型的判斷例1判斷下列函數是否有變號零點；(1)yx25x14；(2)yx2x1；(3)y4x24x1.解(1)yx25x14(x2)(x7)，有兩個零點2,7.由二次函數的圖象知，2,7都是變號零

4、點.(2)yx2x1(x)20恒成立，此函數沒有零點.(3)y4x24x1(2x1)2，有一個零點，但它是不變號零點.規(guī)律方法函數的零點分為變號零點和不變號零點，若函數零點左右兩側函數值符號相反，則此零點為函數的變號零點；從圖象來看，若圖象穿過x軸，則此零點為變號零點，否則為不變號零點.二分法只能求函數的變號零點.跟蹤演練1已知函數yf(x)的圖象如圖所示.下列結論正確的序號是()該函數有三個變號零點；所有零點之和為0；當x時，恰有一個零點；當0x1時，恰有一個零點.A. B.C. D.答案D解析函數yf(x)的三個變號零點分別是1,0,1.所以正確.要點二二分法求函數零點近似解例2求函數f(

5、x)x32x23x6的一個為正數的零點(精確到0.1).解由于f(1)60，f(2)40，可取區(qū)間1,2作為計算的初始區(qū)間.用二分法逐次計算，列表如下：端點或中點橫坐標計算端點或中點的函數值定區(qū)間a01，b02f(1)6，f(2)41,2x11.5f(x1)2.62501.5,2x21.75f(x2)0.234 401.5,1.75x31.625f(x3)1.302 701.625，1.75x41.687 5f(x4)0.561 801.687 5，1.75x51.718 75f(x5)0.17101.718 75，1.75x61.734 375f(x6)0.0301.718 75，1.734

6、 375至此可以看出，區(qū)間1.718 75,1.734 375內的所有值精確到0.1都為1.7，所以1.7就是所求函數零點精確到0.1的實數解，即為函數的一個正數零點.規(guī)律方法1.在選擇區(qū)間a，b時要使其長度盡可能小，以減少運算次數.在沒有特別要求的情況下，為了便于計算和操作，可以嘗試取相鄰的兩個整數作為初始值區(qū)間的端點.2.切記最后分得的區(qū)間兩端點共同的近似值才是零點的近似值，若無共同近似值則需繼續(xù)運算，直到符合要求為止.跟蹤演練2求函數f(x)x3x1在區(qū)間1,1.5內的一個零點(精確到0.1).解由于f(1)11110，f(1.5)3.3751.510.8750，f(x)在區(qū)間1,1.5

7、內存在零點，取區(qū)間1,1.5作為計算的初始區(qū)間，用二分法逐次計算列表如下：端點或中點橫坐標計算端點或中點的函數值定區(qū)間a01，b01.5f(1)1，f(1.5)0.8751,1.5x01.25f(x0)01.25,1.5x11.375f(x1)01.25,1.375x21.312 5f(x2)01.312 5，1.375x31.343 75f(x3)01.312 5，1.343 75區(qū)間1.312 5,1.343 75兩個端點精確到0.1的近似值都是1.3，所以原函數精確到0.1的近似零點為1.3.1.設函數f(x)用二分法求方程f(x)0在x(1,2)內近似解的過程中得f(1)0，f(1.5

8、)0，f(1.25)0，則方程的根落在區(qū)間()A.(1,1.25) B.(1.25,1.5)C.(1.5,2) D.不能確定答案B解析f(1.5)f(1.25)0，方程的根落在區(qū)間(1.25,1.5).2.函數f(x)的圖象如圖所示，則函數f(x)的變號零點的個數為()A.0 B.1C.2 D.3答案D解析函數f(x)的圖象通過零點時穿過x軸，則必存在變號零點，根據圖象得函數f(x)有3個變號零點.3.在用二分法求函數f(x)的一個正實數零點時，經計算，f(0.64)0，f(0.72)0，f(0.68)0，則函數的一個精確到0.1的正實數零點的近似值為()A.0.68 B.0.72C.0.7

9、D.0.6答案C解析已知f(0.64)0，f(0.72)0，則函數f(x)的零點的初始區(qū)間為0.64,0.72，又0.68(0.640.72)/2，且f(0.68)0，所以零點在區(qū)間0.68,0.72上，且該區(qū)間的左、右端點精確到0.1所取的近似值都是0.7，因此0.7就是所求函數的一個正實數零點的近似值.4.下列函數圖象均與x軸有交點，其中能用二分法求函數零點的是_(填序號).答案解析圖中所示函數的零點都不是變號零點，因此不能用二分法求解；圖中所示函數的零點是變號零點，能用二分法求解.5.用二分法求方程x32x50在區(qū)間2,3內的實根，取區(qū)間中點x02.5，那么下一個有根區(qū)間是_.答案2,2.5解析令f(x)x32x5，f(x)圖象在2,3上連續(xù)不斷，f(2)10，f(3)160，f(x0)f(2.5)5.6250，f(2)f(2.5)0，故下一個有根區(qū)間是2,2.5.1.判斷一個函數能否用二分法求其零點的依據