第二章幾何元素間的相對(duì)位置及綜合問題解題方法.ppt

1、第2章續(xù) 幾何元素間的相對(duì)位置 及綜合問題解題方法,1 平行問題 2 相交問題 3 垂直問題 4 綜合問題分析及解法,直線與平面平行,兩平面平行,1 平行問題, 直線與平面平行,D,B,C,A,P,若：ABCD 則：ABP,若平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與該平面平行。這是解決直線與平面平行作圖問題的依據(jù)。,幾何條件：,有關(guān)線、面平行的作圖問題有： 判別已知線面是否平行； 作直線與已知平面平行； 包含已知直線作平面與另一已知直線平行。,結(jié)論：直線AB不平行于定平面,例1 試判斷直線AB是否平行于定平面,a,c,b,m,a,b,c,m,n,例2 過M點(diǎn)作直線MN平行于平面ABC

2、。,有無數(shù)解,d,d,X,正平線,例3 過M點(diǎn)作直線MN平行于V面和 平面 ABC。,唯一解,c,b,a,m,a,b,c,m,n,d,d,X,例4 試過點(diǎn)K作水平線AB平行于CDE平面,直線與特殊位置平面平行,當(dāng)平面為投影面的垂直面時(shí)，只要平面有積聚性的投影和直線的同面投影平行，或直線也為該投影面的垂線，則直線與平面必定平行。, 兩平面平行,若一個(gè)平面內(nèi)的相交二直線與另一個(gè)平面內(nèi)的相交二直線對(duì)應(yīng)平行，則此兩平面平行。這是兩平面平行的作圖依據(jù)。 判別兩已知平面是否相互平行； 過一點(diǎn)作一平面與已知平面平行； 已知兩平面平行，完成其中一平面的所缺投影。,幾何條件：,兩平面平行的作圖問題有：,兩平面平

3、行, 若一平面上的兩相交直線分別平行于另一平面上的兩相交直線，則這兩平面相互平行。,AB；AC； 則：PQ, 若兩投影面垂直面相互平行，則它們具有積聚性的那組投影必相互平行。,兩特殊位置平面平行,兩特殊位置平面平行,兩一般位置平面平行,a,c,e,b,b,a,d,d,f,c,f,e,k,h,k,h,O,X,m,m,由于ek不平行于ac,故兩平面不平行。,例1 判斷平面ABDC與平面EFHM是否平行， 已知ABCDEFMH,例2 試判斷兩平面是否平行,結(jié)論：兩平面平行,例3 已知定平面由平行兩直線AB和CD給定。試過 點(diǎn)K作一平面平行于已知平面 。,例4 試判斷兩平面是否平行。,結(jié)論：因?yàn)镻H平

4、行SH，所以兩平面平行,直線與平面相交,兩平面相交,2 相交問題,直線與平面相交，其交點(diǎn)是直線與平面的共有點(diǎn)。,1. 直線與平面相交,要討論的問題：,(1) 求直線與平面的交點(diǎn)。,(2) 判別兩者之間的相互遮 擋關(guān)系，即判別可見性。,我們將分別討論一般位置的直線與平面或至少有一個(gè)處于特殊位置的情況。,2. 兩平面相交,兩平面相交其交線為直線，交線是兩平面的共有線，同時(shí)交線上的點(diǎn)都是兩平面的共有點(diǎn)。,要討論的問題：, 求兩平面的交線,方法：, 確定兩平面的兩個(gè)共有點(diǎn)。, 確定一個(gè)共有點(diǎn)及交線的方向。, 判別兩平面之間的相互遮擋關(guān)系，即： 判別可見性。,2.1 特殊位置線面相交,直線與特殊位置平面

5、相交 判斷直線的可見性 特殊位置直線與一般位置平面相交,1. 直線與特殊位置平面相交,由于特殊位置平面的某個(gè)投影有積聚性，交點(diǎn)可直接求出。,2. 判斷直線的可見性,特殊位置線面相交，根據(jù)平面的積聚性投影，能直接判別直線的可見性。,例1 求直線MN與平面ABC的交點(diǎn)K并判別可見性。,空間及投影分析:,平面ABC是一鉛垂面，其水平投影積聚成一條直線，該直線與mn的交點(diǎn)即為K點(diǎn)的水平投影。, 求交點(diǎn), 判別可見性,由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上kn為可見。,還可通過重影點(diǎn)判別可見性。,1(2),X,k,m(n),b,m,n,c,b,a,a,c, 直線為特殊位置,空間及投影分析:,直線M

6、N為鉛垂線，其水平投影積聚成一個(gè)點(diǎn)，故交點(diǎn)K的水平投影也積聚在該點(diǎn)上。, 求交點(diǎn), 判別可見性,點(diǎn)位于平面上，在前，點(diǎn)位于MN上，在后，故k1為不可見。,X,( ),k,例2 求鉛垂線EF與一般位置平面ABC的交點(diǎn)并判別 其可見性。,2.2 一般位置平面與特殊位置 平面相交,求兩平面交線的問題可以看作是求兩個(gè)共有點(diǎn)的問題，由于特殊位置平面的某個(gè)投影有積聚性，交線可直接求出。 1.求交線 2.判斷平面的可見性,1. 求交線,2. 判斷平面的可見性,2. 判斷平面的可見性,a,b,c,d,e,f,c,f,d,b,e,a,m(n),例3 求兩平面的交線 MN并判別可見性。,空間及投影分析：, 求交線

7、, 判別可見性,從正面投影上可看出，在交線左側(cè)，平面ABC在上，其水平投影可見。,平面ABC與DEF都為 正垂面，它們的交線為一條正垂線，兩平面正面投影的交點(diǎn)即為交線的正面投影，交線的水平投影垂直于OX軸。,還可通過重影點(diǎn) 判別可見性,a ,a,b,d(e),e,b,d,h(f),c,f,c,h,空間及投影分析：,平面DEFH是一鉛垂面，它的水平投影有積聚性，其與ac、bc的交點(diǎn)m 、n 即為兩個(gè)共有點(diǎn)的水平投影，故mn即為交線MN的水平投影。, 求交線, 判別可見性,點(diǎn)在MC上，點(diǎn)在FH上，點(diǎn)在前，點(diǎn)在后，故mc 可見。,作圖,X,2,1,1(2),b,投影分析,N點(diǎn)的水平投影n位于def

8、的外面，說明點(diǎn)N位于DEF所確定的平面內(nèi)，但不位于DEF這個(gè)圖形內(nèi)。 所以ABC和DEF的交線應(yīng)為MK。,n, 求交線, 判別可見性,作圖,DEF的正面投影積聚,2.3 直線與一般位置平面相交,以正垂面為輔助平面求線面交點(diǎn) 示意圖 以鉛垂面為輔助平面求線面交點(diǎn) 示意圖 判別可見性 示意圖,1,2,QV,步驟： 1過EF作正垂平面Q。,2求Q平面與ABC的交線。,3求交線與EF的交點(diǎn)K。,示意圖,以正垂面為輔助平面求直線EF與ABC平面的交點(diǎn),過EF作正垂面Q,E,以正垂面為輔助平面求線面交點(diǎn) 示意圖,2,PH,步驟： 1過EF作鉛垂平面P。,2求P平面與ABC的交線。,3求交線與EF的交點(diǎn)K。

9、,示意圖,以鉛垂面為輔助平面求直線EF與ABC平面的交點(diǎn),1,過EF作鉛垂面P,以鉛垂面為輔助平面求線面交點(diǎn) 示意圖,F,f,e,e,直線EF與平面 ABC相交，判別可見性。,利用重影點(diǎn)判別可見性,1,2,4,3,（ ）,示意圖,( ),2.4 兩一般位置平面相交,求兩平面交線的問題可以看作是求兩個(gè)共有點(diǎn)的問題, 因而可利用求一般位置線面交點(diǎn)的方法找出交線上的兩個(gè)點(diǎn)，將其連線即為兩平面的交線。 兩一般位置平面相交求交線 判別可見性,兩一般位置平面相交，求交線步驟： 1用求直線與平面交點(diǎn)的方法，作出兩平面的兩個(gè)共有點(diǎn)K、E。,2連接兩個(gè)共有點(diǎn)，畫出交線KE。,示意圖,例4,求兩平面的交線,兩一般

10、位置平面相交求交線的方法 示意圖,利用求一般位置線面交點(diǎn)的方法找出交線上的兩個(gè)點(diǎn)，將其連線即為兩平面的交線。,利用重影點(diǎn)判別可見性,兩平面相交，判別可見性,( ),( ),2.5 綜合性問題解法,試過K點(diǎn)作一直線平行于已知平面ABC，并與直線EF相交 。,綜合性問題解法,綜合性問題解法,綜合性問題解法,例5,過已知點(diǎn)K作平面P平行于 ABC；直線EF與平面P交于H；連接KH，KH即為所求。,分析,PV,1,2,1過點(diǎn)K作平面KMN/ ABC平面。,2求直線EF與平面KMN的交點(diǎn)H 。,3連接KH，KH即為所求。,作圖,直線與平面垂直,兩平面互相垂直,3 垂直問題,3.1 直線與平面垂直,幾何條

11、件：若一直線垂直于一平面，則必垂直于屬于該平面 的一切直線。,定理1：若一直線垂直于一平面、則直線的水平投影必垂直于屬 于該平面的水平線的水平投影；直線的正面投影必垂直 于屬于該平面的正平線的正面投影。,定理2：若一直線垂直于屬于平面的水平線的水平投影；直線 （逆） 的正面投影垂直于屬于平面的正平線的正面投影、則 直線必垂直于該平面。,a,例6 平面由 BDF給定，試過定點(diǎn)M作平面的垂線。,h,例7 試過定點(diǎn)K作特殊位置平面的法線。,X,O,例8 平面由兩平行線AB、CD給定，試判斷直線MN 是否垂直于定平面。,幾何條件：若一直線垂直于一定平面，則包含這條直線的所 有平面都垂直于該平面。,3.

12、2 兩平面垂直,反之，兩平面相互垂直，則由屬于第一個(gè)平面的任意一點(diǎn)向第二個(gè)平面作的垂線必屬于第一個(gè)平面。,兩平面垂直,兩平面不垂直,X,O,例9平面由 BDF給定，試過定點(diǎn)K作已知平面的垂面,結(jié)論：兩平面不垂直,X,O,例10 試判斷 ABC與相交兩直線KG和KH所給定的平面 是否垂直。,4.1 空間幾何元素定位問題,4.2 空間幾何元素度量問題,4 綜合問題分析及解法,4.3 綜合問題解題舉例,4.1 空間幾何元素定位問題,例11 已知三條直線CD、EF和GH，求作一直線AB與 CD平行，并且與EF、GH均相交。,分析,所求得直線AB一定在平行于CD的平面上，并且與交叉直線EF、GH相交。,作圖過程,k,k,1,1,2,2,a,a,b,b,例12 試過定點(diǎn)A作直線與已知直線EF正交。,分析,過已知點(diǎn)A作平面垂直于已知直線EF，并交于點(diǎn)K，連接AK，AK即為所求。,作圖,例13 求點(diǎn)C到直線AB的距離。,分析,過C點(diǎn)作直線AB的垂線CK一定在過C點(diǎn)并且與AB垂直的平面P內(nèi)，過C點(diǎn)作一平面與直線AB垂直，求出該平面與AB的交點(diǎn)K，最后求出垂線CK的實(shí)長(zhǎng)即為所求。,作圖過程,1,2,1,2,所求距離,PV,例14 求兩平行直線AB 和CD的距離。,1,2,1,2,所求距離,PV,d,d,例15 求點(diǎn)到ABC平面的距離。,作出垂線后，用輔助平面法求出垂線與平面