二次函數(shù)應(yīng)用題之最值問(wèn)題

1、.二次函數(shù)應(yīng)用題之最值問(wèn)題（講義）一、知識(shí)點(diǎn)睛1. 理解題意，辨識(shí)類(lèi)型二次函數(shù)應(yīng)用題常見(jiàn)類(lèi)型有：實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，最值問(wèn)題2. 梳理信息，確定_及_，建立函數(shù)模型梳理信息時(shí)需要借助_函數(shù)模型：確定自變量和因變量；根據(jù)題意確定題目中各個(gè)量之間的等量關(guān)系，用自變量表達(dá)對(duì)應(yīng)的量從而確定函數(shù)表達(dá)式例如：?jiǎn)枴爱?dāng)售價(jià)為多少元時(shí)，年利潤(rùn)最大？”確定售價(jià)為自變量x，年利潤(rùn)為因變量y，年利潤(rùn)=(售價(jià)-進(jìn)價(jià))年銷(xiāo)量，用x表達(dá)年銷(xiāo)量，從而確定y與x之間的函數(shù)關(guān)系3. 根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求解，_驗(yàn)證結(jié)果是否符合實(shí)際背景及自變量取值范圍要求二、精講精練1. 某汽車(chē)租賃公司擁有20輛汽車(chē)據(jù)統(tǒng)計(jì)，當(dāng)每輛車(chē)的日租金為400元時(shí)，可

2、全部租出，且每輛車(chē)的日租金每增加50元，未租出的車(chē)將增加1輛，公司平均每日的各項(xiàng)支出共4 800元設(shè)公司每日租出x輛車(chē)時(shí)，日收益為y元（日收益=日租金收入-平均每日各項(xiàng)支出）（1）公司每日租出x輛車(chē)時(shí)，每輛車(chē)的日租金為_(kāi)元（用含x的代數(shù)式表示）；（2）當(dāng)每日租出多少輛時(shí)，租賃公司的日收益最大？最大是多少元？（3）當(dāng)每日租出多少輛時(shí)，租賃公司的日收益不盈也不虧？【分析】日租金租出車(chē)輛每日成本解：2. 某商品的進(jìn)價(jià)為每件40元，售價(jià)為每件50元，每個(gè)月可賣(mài)出210件如果每件商品的售價(jià)每上漲1元，則每個(gè)月少賣(mài)10件（每件售價(jià)不能高于65元）設(shè)每件商品的售價(jià)上漲x元（x為正整數(shù)），每個(gè)月的銷(xiāo)售利潤(rùn)為y

3、元（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫(xiě)出自變量x的取值范圍；（2）每件商品的售價(jià)定為多少元時(shí)，每個(gè)月可獲得最大利潤(rùn)？最大的月利潤(rùn)是多少元？（3）每件商品的售價(jià)定為多少元時(shí)，每個(gè)月的利潤(rùn)恰為2 200元？根據(jù)以上結(jié)論，請(qǐng)你直接寫(xiě)出售價(jià)在什么范圍時(shí)，每個(gè)月的利潤(rùn)不低于2 200元【分析】售價(jià)進(jìn)價(jià)利潤(rùn)銷(xiāo)量解：3. 某中學(xué)課外活動(dòng)小組準(zhǔn)備圍建一個(gè)矩形生物苗圃園其中一邊靠墻，另外三邊用長(zhǎng)為30米的籬笆圍成已知墻長(zhǎng)為18米（如圖所示），設(shè)這個(gè)苗圃園垂直于墻的一邊的長(zhǎng)為x米（1）若平行于墻的一邊的長(zhǎng)為y米，直接寫(xiě)出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍（2）垂直于墻的一邊的長(zhǎng)為多少米時(shí)，這個(gè)苗圃園的面積

4、最大？最大面積是多少？（3）當(dāng)這個(gè)苗圃園的面積不小于88平方米時(shí)，試結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫(xiě)出x的取值范圍4. 某工廠生產(chǎn)一種合金薄板（其厚度忽略不計(jì)），這些薄板的形狀均為正方形，邊長(zhǎng)在550（單位：cm）之間每張薄板的成本價(jià)（單位：元）與它的面積（單位：cm2）成正比例；每張薄板的出廠價(jià)（單位：元）由基礎(chǔ)價(jià)和浮動(dòng)價(jià)兩部分組成，其中基礎(chǔ)價(jià)與薄板的大小無(wú)關(guān)，是固定不變的，浮動(dòng)價(jià)與薄板的邊長(zhǎng)成正比例在營(yíng)銷(xiāo)過(guò)程中得到了表格中的數(shù)據(jù)：薄板的邊長(zhǎng)（cm）2030出廠價(jià)（元/張）5070（1）求一張薄板的出廠價(jià)與邊長(zhǎng)之間滿(mǎn)足的函數(shù)關(guān)系式（2）已知出廠一張邊長(zhǎng)為40cm的薄板，獲得的利潤(rùn)為26元（利潤(rùn)=出廠價(jià)-

5、成本價(jià)）求一張薄板的利潤(rùn)與邊長(zhǎng)之間滿(mǎn)足的函數(shù)關(guān)系式當(dāng)邊長(zhǎng)為多少時(shí)，出廠一張薄板所獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？【分析】邊長(zhǎng)出廠價(jià)成本價(jià)解：5. 我市高新技術(shù)開(kāi)發(fā)區(qū)的某公司，用480萬(wàn)元購(gòu)得某種產(chǎn)品的生產(chǎn)技術(shù)后，并進(jìn)一步投入資金1 520萬(wàn)元購(gòu)買(mǎi)生產(chǎn)設(shè)備，進(jìn)行該產(chǎn)品的生產(chǎn)加工已知生產(chǎn)這種產(chǎn)品每件還需成本費(fèi)40元經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該產(chǎn)品的銷(xiāo)售單價(jià)定在150元到300元之間較為合理，銷(xiāo)售單價(jià)x（元）與年銷(xiāo)售量y（萬(wàn)件）之間的變化可近似的看作是如下表所反映的一次函數(shù)：銷(xiāo)售單價(jià)x（元）200230250年銷(xiāo)售量y（萬(wàn)件）1075（1）請(qǐng)求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫(xiě)出自變量x的取值范圍（2）請(qǐng)說(shuō)

6、明投資的第一年，該公司是盈利還是虧損？若盈利，最大利潤(rùn)是多少？若虧損，最少虧損多少？（3）在（2）的前提下，即在第一年盈利最大或虧損最小時(shí)，第二年公司重新確定產(chǎn)品售價(jià)，能否使兩年共盈利1 790萬(wàn)元？若能，求出第二年的產(chǎn)品售價(jià)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由【分析】售價(jià)成本利潤(rùn)年銷(xiāo)量其他成本解：三、回顧與思考 【參考答案】知識(shí)點(diǎn)睛2函數(shù)表達(dá)式，自變量取值范圍列表、圖形3驗(yàn)證取舍精講精練1（1）；（2）當(dāng)每日租出14輛時(shí)，租賃公司的日收益最大，最大是5 000元（3）當(dāng)每日租出4輛時(shí)，租賃公司的日收益不盈也不虧2（1）（，且x為正整數(shù)）；（2）每件商品的售價(jià)定為5元或6元時(shí)，每個(gè)月可獲得最大利潤(rùn)，最大的月利

7、潤(rùn)是2 400元；（3）每件商品的售價(jià)定為51元或60元時(shí)，每個(gè)月的利潤(rùn)恰為2 200元，每件商品的售價(jià)m滿(mǎn)足時(shí)，每個(gè)月的利潤(rùn)不低于2 200元3（1）（）；（2）垂直于墻的一邊的長(zhǎng)為米時(shí)，這個(gè)苗圃園的面積最大，最大面積是平方米；（3）4設(shè)一張薄板的邊長(zhǎng)為x cm，出廠價(jià)為y元，利潤(rùn)為w元（1）；（2）；當(dāng)邊長(zhǎng)為25cm時(shí)，出廠一張薄板所獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是35元5（1）（）；（2）投資的第一年該公司虧損，最少虧損310萬(wàn)元；（3）不能，理由略二次函數(shù)應(yīng)用題之最值問(wèn)題（隨堂測(cè)試）1. 某商場(chǎng)將進(jìn)貨單價(jià)為2 000元的冰箱以2 400元售出，平均每天能售出8臺(tái)，為了配合國(guó)家“家電下鄉(xiāng)”政策

8、的實(shí)施，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施調(diào)查表明：這種冰箱的銷(xiāo)售單價(jià)每降低50元，平均每天就能多售出4臺(tái)（1）設(shè)每臺(tái)冰箱降價(jià)x元，商場(chǎng)每天銷(xiāo)售這種冰箱的利潤(rùn)是y元，請(qǐng)求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式（2）商場(chǎng)要想在這種冰箱銷(xiāo)售中每天盈利4 800元，同時(shí)又要使百姓得到實(shí)惠，每臺(tái)冰箱應(yīng)降價(jià)多少元？（3）每臺(tái)冰箱降價(jià)多少元時(shí)，商場(chǎng)每天銷(xiāo)售這種冰箱的利潤(rùn)最高？最高利潤(rùn)是多少？【分析】售價(jià)進(jìn)價(jià)利潤(rùn)銷(xiāo)量【參考答案】1（1）（2）每臺(tái)冰箱應(yīng)降價(jià)200元（3）每臺(tái)冰箱降價(jià)150元時(shí)，商場(chǎng)每天銷(xiāo)售這種冰箱的利潤(rùn)最高，最高利潤(rùn)是5 000元二次函數(shù)應(yīng)用題之最值問(wèn)題（作業(yè)）1. 某商店經(jīng)營(yíng)兒童益智玩具，已知成批購(gòu)進(jìn)時(shí)的單價(jià)是

9、20元調(diào)查發(fā)現(xiàn)：銷(xiāo)售單價(jià)是30元時(shí)，月銷(xiāo)售量是230件，而銷(xiāo)售單價(jià)每上漲1元，月銷(xiāo)售量就減少10件，但每件玩具售價(jià)不能高于40元設(shè)每件玩具的銷(xiāo)售單價(jià)上漲了x元時(shí)（x為正整數(shù)），月銷(xiāo)售利潤(rùn)為y元（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫(xiě)出自變量x的取值范圍（2）當(dāng)每件玩具的售價(jià)定為多少元時(shí)，月銷(xiāo)售利潤(rùn)恰好為2 520元？（3）每件玩具的售價(jià)定為多少元時(shí)，可使月銷(xiāo)售利潤(rùn)最大？最大的月銷(xiāo)售利潤(rùn)是多少？【分析】售價(jià)進(jìn)價(jià)利潤(rùn)月銷(xiāo)量解：2. 在RtABC的內(nèi)部作一個(gè)矩形DEFG，按如圖所示的位置放置，其中A=90，AB=40 m，AC=30m（1）如果設(shè)矩形的一邊DE=x m，那么DG邊的長(zhǎng)度如何表示？（2

10、）在（1）的條件下，設(shè)矩形的面積為y m2，則當(dāng)x取何值時(shí)，y的值最大？最大值是多少？3. 某商家經(jīng)銷(xiāo)一種綠茶，用于裝修門(mén)面已投資3 000元，已知綠茶每千克的成本為50元，在第一個(gè)月的試銷(xiāo)時(shí)間內(nèi)發(fā)現(xiàn)，銷(xiāo)量w（kg）隨銷(xiāo)售單價(jià)x（元/kg）的變化而變化，具體變化規(guī)律如下表所示：銷(xiāo)售單價(jià)x（元/kg）7075808590銷(xiāo)售量w（kg）10090807060設(shè)該綠茶的月銷(xiāo)售利潤(rùn)為y（元）（銷(xiāo)售利潤(rùn)=單價(jià)銷(xiāo)售量-成本-投資）（1）請(qǐng)根據(jù)上表，寫(xiě)出w與x之間的函數(shù)關(guān)系式（不必寫(xiě)出自變量x的取值范圍）；（2）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式（不必寫(xiě)出自變量x的取值范圍），并求出當(dāng)x為何值時(shí)，y的值最大；（3）

11、若在第一個(gè)月里，按使y獲得最大值的銷(xiāo)售單價(jià)進(jìn)行銷(xiāo)售后，在第二個(gè)月里受物價(jià)部門(mén)的干預(yù)，銷(xiāo)售單價(jià)不得高于90元/kg，要想在全部收回投資的基礎(chǔ)上使第二個(gè)月的利潤(rùn)達(dá)到1 700元，那么第二個(gè)月里應(yīng)該確定銷(xiāo)售單價(jià)為多少元？【分析】售價(jià)成本利潤(rùn)銷(xiāo)量其他成本解：4. 已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，-1)，且圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，-3)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式5. 二次函數(shù)的圖象如圖所示，若一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則m的最大值為（ ）A-3B3C-5D96. 拋物線(xiàn)上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y的對(duì)應(yīng)值如下表：x-1235y00-6根據(jù)上表判斷下列五種說(shuō)法：拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x=1；當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減??；拋物

12、線(xiàn)有最高點(diǎn)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2，)；拋物線(xiàn)的解析式為；以?huà)佄锞€(xiàn)的頂點(diǎn)以及與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積為4其中正確結(jié)論的序號(hào)是_7. 二次函數(shù)（a0）的圖象如圖所示，有下列結(jié)論：；（m1）其中正確結(jié)論的序號(hào)是_【參考答案】1（1）（，且x為正整數(shù)）；（2）當(dāng)每件玩具的售價(jià)定為32元時(shí)，月銷(xiāo)售利潤(rùn)恰好為2 520元；（3）每件玩具的售價(jià)定為6元或7元時(shí)，可使月銷(xiāo)售利潤(rùn)最大，最大的月銷(xiāo)售利潤(rùn)是2 720元2（1）；（2）當(dāng)x=12時(shí)，y的值最大，最大值是3003（1）；（2），當(dāng)x=85時(shí)，y的值最大；（3）第2個(gè)月里應(yīng)該確定銷(xiāo)售單價(jià)為75元45B67每周一練（二）1. ABC中，A，B均為銳角

13、，且，則ABC一定是（ ）A等腰三角形B等邊三角形C直角三角形D有一個(gè)角是60的三角形2. 已知，那么的值為（ ）ABC1D3. 對(duì)于二次函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（ ）A圖象開(kāi)口向下B當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小C函數(shù)有最小值-8D與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，-8)4. 在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，將函數(shù)的圖象沿軸向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后再沿軸向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（ ）A(-1，1)B(1，-2)C(2，-2)D(1，-1)5. 將拋物線(xiàn)的圖象向左平移2個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位，所得圖象的解析式為，則有（ ）Ab=2，c=6Bb=2，c=-6Cb=-6，c=14Db=-6，c=06.

14、二次函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)（ ）A一、二、三象限B一、二、四象限C二、三、四象限D(zhuǎn)一、三、四象限7. 反比例函數(shù)與二次函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系中的大致圖象如圖所示，則它們的解析式可能分別是（ ）A，B，C，D， 第7題圖 第8題圖8. 已知二次函數(shù)（）的圖象如圖所示，當(dāng)時(shí)，下列說(shuō)法正確的是（ ）A有最小值-5，最大值0B有最小值-3，最大值6C有最小值0，最大值6D有最小值2，最大值9. 已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)A(1，2)，B(3，2)，C(0，-1)，D(2，3)四點(diǎn)，且點(diǎn)P(，)，Q(，)也在該函數(shù)的圖象上，則當(dāng)，時(shí)，與的大小關(guān)系正確的是（ ）ABCD10. 若等腰三角形

15、的面積為10，腰長(zhǎng)為5，則此等腰三角形的底角的正切值為_(kāi)11. 若拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-1，-2)，則b與c的值分別是_、_12. 已知兩數(shù)之和為-10，則它們乘積的最大值是_，此時(shí)兩數(shù)分別為_(kāi)13. 如圖，已知函數(shù)與（，）的圖象交于點(diǎn)P，且點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為1，則關(guān)于的方程的解為_(kāi)14. 若不論x取何值，拋物線(xiàn)的函數(shù)值總為正數(shù)，則拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在第_象限，的取值范圍是_15. 已知二次函數(shù)（）的圖象與x軸交于A(x1，0)，B(x2，0)兩點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)x1，x2，m，n的大小關(guān)系為_(kāi)16. 二次函數(shù)（a0）的部分圖象如圖所示，已知其對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=1，則下列說(shuō)法正確的有_（填寫(xiě)序號(hào)）；當(dāng)時(shí)，；（

16、1）17. 已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)A(0，3)，B(2，3)，C(-1，0)三點(diǎn)（1）求此二次函數(shù)的解析式；（2）求此二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（3）若P(n，y1)，Q(4，y2)是該二次函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_18. 已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3，-2)，且與軸交于點(diǎn)(0，)（1）求函數(shù)的解析式，并畫(huà)出它的圖象；（2）當(dāng)y6時(shí)，求自變量x的取值范圍19. 如圖，二次函數(shù)的圖象與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)該二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)A(1，0)及點(diǎn)B（1）求二次函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)圖象，寫(xiě)出滿(mǎn)足的x的取值范圍20.

17、學(xué)校計(jì)劃用地面磚鋪設(shè)教學(xué)樓前矩形廣場(chǎng)的地面ABCD，已知矩形廣場(chǎng)地面的長(zhǎng)為100米，寬為80米圖案設(shè)計(jì)如圖所示，廣場(chǎng)的四角均為小正方形，陰影部分為四個(gè)矩形，且四個(gè)矩形的寬都與小正方形的邊長(zhǎng)相等陰影部分鋪綠色地面磚，其余部分鋪白色地面磚（1）要使鋪白色地面磚的面積為5 200平方米，那么矩形廣場(chǎng)四角的小正方形的邊長(zhǎng)應(yīng)為多少米？（2）如果鋪白色地面磚的費(fèi)用為每平方米30元，鋪綠色地面磚的費(fèi)用為每平方米20元，則當(dāng)廣場(chǎng)四角小正方形的邊長(zhǎng)為多少米時(shí)，鋪廣場(chǎng)地面的總費(fèi)用最少？最少總費(fèi)用是多少元？21. 如圖，排球運(yùn)動(dòng)員站在點(diǎn)O處練習(xí)發(fā)球，將球從O點(diǎn)正上方2m的A處發(fā)出，把球看成點(diǎn)，其運(yùn)行的高度y（m）與

18、運(yùn)行的水平距離x（m）滿(mǎn)足關(guān)系式已知球網(wǎng)與O點(diǎn)的水平距離為9m，高度為2.43m，球場(chǎng)的邊界距O點(diǎn)的水平距離為18m（1）求y與x的關(guān)系式（不要求寫(xiě)出自變量x的取值范圍）；（2）球能否越過(guò)球網(wǎng)？球會(huì)不會(huì)出界？請(qǐng)說(shuō)明理由22. 如圖所示，一條小河的兩岸，河兩岸各有一座建筑物A和B為測(cè)量A，B間的距離，小明從點(diǎn)B出發(fā)，在垂直河岸的方向上選取一點(diǎn)C，然后沿垂直于BC的直線(xiàn)行進(jìn)24米到達(dá)點(diǎn)D，測(cè)得CDA=90取CD的中點(diǎn)E，測(cè)得BEC=56，AED=67，求A，B間的距離（參考數(shù)據(jù)：sin56，tan56，sin67，tan67，=676，=729）23. 如圖，自來(lái)水廠A和村莊B在小河l的兩側(cè)，現(xiàn)要在A，B間鋪設(shè)一條輸水管道，為了搞好工程預(yù)算，需測(cè)算出A，B間的距離一小船在點(diǎn)P處測(cè)得A在正北方向，B位于南偏東24.5的方向，前行1 200m，到達(dá)點(diǎn)Q處，測(cè)得A位于北