高中數學 第1講 相似三角形的判定及有關性質 3.1 相似三角形的判定學案 新人教A版選修

1、1相似三角形的判定1了解三角形相似的定義2掌握相似三角形的判定定理，以及直角三角形相似的判定方法(重點、易混點)基礎初探教材整理1相似三角形的有關概念閱讀教材P10“定義”部分，完成下列問題1定義對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形2相似比相似三角形對應邊的比值叫做相似比(或相似系數)教材整理2相似三角形的判定閱讀教材P10P15“思考”以上部分，完成下列問題1預備定理平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長線)相交，所構成的三角形與原三角形相似2相似三角形的判定定理名稱定理內容簡述判定定理1對于任意兩個三角形，如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩

2、個三角形相似.兩角對應相等，兩三角形相似判定定理2對于任意兩個三角形，如果一個三角形的兩邊和另一個三角形的兩邊對應成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似.判定定理3對于任意兩個三角形，如果一個三角形的三條邊和另一個三角形的三條邊對應成比例，那么這兩個三角形相似.三邊對應成比例，兩三角形相似.如圖131所示，在ABC中，F(xiàn)DGEBC，則與AFD相似的三角形有() 【導學號：】圖131A1個B2個C3個D4個【解析】FDGEBC，AFDAGEABC.【答案】B教材整理3直角三角形的相似閱讀教材P13P16“相似三角形的性質”以上部分，完成下列問題1引理如果

3、一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊2直角三角形相似的判定定理：(1)如果兩個直角三角形有一個銳角對應相等，那么它們相似(2)如果兩個直角三角形的兩條直角邊對應成比例，那么它們相似定理：如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例，那么這兩個直角三角形相似下列判斷中，不正確的是()A兩直角邊分別是3.5,2和2.8,1.6的兩個直角三角形相似B斜邊和一直角邊長分別是2，4和，2的兩個直角三角形相似C兩條邊長分別是7,4和14,8的兩個直角三角形相似D兩個等腰直角三角形相似【解析】由直角三角形相似判定定理

4、知A，B，D正確【答案】C質疑手記預習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：解惑：疑問2：解惑：疑問3：解惑： 小組合作型相似三角形的判定如圖132，在ABCD中，過點B作BECD，垂足為E，連接AE，F(xiàn)為AE上一點，且BFEC.圖132(1)求證：ABFEAD；(2)若AB4，BAE30，求AE的長【精彩點撥】(1)要證ABFEAD，易知12，只需再找一對角相等，即可利用判定定理1證明兩三角形相似(2)解RtABE可求得AE的長【自主解答】(1)證明：四邊形ABCD為平行四邊形，12，CD180.又CBFE，BFEBFA180，DBFA，ABFEAD.(2)ABCD，B

5、ECD，ABE90.在RtAEB中，130，AB4，AE .判定兩個三角形相似時，關鍵是分析已知哪些邊對應成比例，哪些角對應相等，根據三角形相似的判定定理，還缺少什么條件就推導出這些條件再練一題1如圖133，已知在ABC中，ABAC，A36，BD是角平分線，證明：ABCBDC.圖133【證明】A36，ABAC，ABCC72.又BD平分ABC，ABDCBD36，ACBD.又CC，ABCBDC.證明線段成比例如圖134，已知ABC中，BAC90，ADBC于D，E是AC的中點，連接ED并延長與AB的延長線交于F.求證：.圖134【精彩點撥】由條件知：ABACBDAD，轉證BDADDFAF，變?yōu)樽CFA

6、DFDB.其中BDAD正是兩對相似三角形的中間比【自主解答】BAC90，ADBC，CBAD，RtADBRtCDA，.又E是AC的中點，AEDEEC，DAEADE，BADBDF.又FF，F(xiàn)DBFAD.，即.1本題根據，把欲證明的問題轉化為證明是解題的關鍵2求證的成比例線段所在的三角形不相似時，應考慮用中間比過渡，也就是轉證其他三角形相似，得到比例線段，最后得證結論再練一題2如圖135所示，已知梯形ABCD中，ABDC，AC，BD相交于點O，BEAD交AC的延長線于點E.求證：OA2OCOE.圖135【證明】DCAB，AOBCOD，.又ADBE，ODAOBE，即OA2OCOE.證明兩直線平行如圖1

7、36，D為ABC的邊AB上一點，過D點作DEBC，DFAC，AF交DE于G，BE交DF于H，連接GH.求證：GHAB.圖136【精彩點撥】結合圖形的特點可以先證比例式成立，再證EGHEDB，由此得EHGEBD即可【自主解答】DEBC，即.又DFAC，.，.又GEHDEB，EGHEDB，EHGEBD，GHAB.1由平行線可以得到比例式，由比例式也可以確定兩直線的平行關系2證明平行關系時，可以由引理找到比例式得證，也可以使用平行線的其他判定方法再練一題3.如圖137，在平行四邊形ABCD中，直線EFAB，連接AE，BF，DE，CF，分別交于G，H，連接GH.求證：GHBC.圖137【證明】四邊形A

8、BCD為平行四邊形，ABCD，ABCD.又EFAB，ABEFCD，BAGFEG，DCHEFH，GHBC.構建體系1如圖138，銳角三角形ABC的高CD和BE相交于點O，圖中與ODB相似的三角形的個數是()圖138A1B2C3D4【解析】BEAC，CDAB，ODB，ABE，ADC，OCE都是直角三角形又DBOEBA，AA，DOBEOC，ODBAEBADC，ODBOEC，與ODB相似的三角形有3個【答案】C2給出下列四個命題：三邊對應成比例的兩個三角形相似；一個角對應相等的兩個直角三角形相似；一個銳角對應相等的兩個直角三角形相似；一個角對應相等的兩個等腰三角形相似其中正確的命題是() 【導學號：】

9、A BCD【解析】都是判定定理，顯然正確，中若相等的角是直角，則不一定相似，故不正確中，若相等的角在一個三角形中是頂角，在另一個三角形中是底角，則不一定相似，故不正確【答案】A3如圖139所示，DE與BC不平行，當_時，ABCAED.圖139【解析】ABC與AED有一個公共角A，當A的兩夾邊對應成比例，即時，這兩個三角形相似【答案】4如圖1310所示，在ABC中，ACB90，CDAB，AC6，AD3，則AB_.圖1310【解析】在ACD和ABC中，AA，ADCACB90.ACDABC，AB12.【答案】125如圖1311，ABC是等邊三角形，且點E，D在直線BC上，且DAE120，求證：EAB

10、EDA.圖1311【證明】因為DAE120，ABC是等邊三角形，所以ABE120DAE，又E為公共角，在EAB和EDA中，有兩組對應角相等，所以EABEDA.我還有這些不足：(1)(2)我的課下提升方案：(1)(2)學業(yè)分層測評(三)(建議用時：45分鐘)學業(yè)達標一、選擇題1如圖1312，在正方形網格上有6個三角形：ABC，BCD，BDE，BFG，F(xiàn)GH，EFK.其中，中與三角形相似的是()圖1312ABCD【解析】由相似三角形判定定理知選B.【答案】B2如圖1313，在ABC中，M在BC上，N在AM上，CMCN，且，下列結論中正確的是()圖1313AABMACBBANCAMBCANCACMD

11、CMNBCA【解析】CMCN，CMNCNM.AMBCNMMCN，ANCCMNMCN，AMBANC.又，ANCAMB.【答案】B3如圖1314，正方形ABCD中，E為AB的中點，AFDE于點O，則等于()【導學號：】圖1314A. B.C.D.【解析】AFDE，RtDAORtDEA，.【答案】D4如圖1315，在等邊三角形ABC中，E為AB中點，點D在AC上，使得，則有()圖1315AAEDBEDBAEDCBDCAEDABDDBADBCD【解析】因為AC，2，所以AEDCBD.【答案】B5.如圖1316所示，已知點E，F(xiàn)分別是ABC中AC，AB邊的中點，BE，CF相交于點G，F(xiàn)G2，則CF的長為

12、()圖1316A4 B4.5C5D6【解析】E，F(xiàn)分別是ABC中AC，AB邊的中點，F(xiàn)EBC，由相似三角形的預備定理，得FEGCBG，.又FG2，GC4，CF6.【答案】D二、填空題6如圖1317，BDAE，C90，AB4，BC2，AD3，則DE_，CE_.圖1317【解析】在RtACE和RtADB中，A為公共角，ACEADB，AE8，則DEAEAD5，在RtACE中，CE2.【答案】527如圖1318，BD，AEBC，ACD90，且AB6，AC4，AD12，則AE_.圖1318【解析】由BD，AEBC及ACD90可以推得：RtABERtADC，故AE2.【答案】28.如圖1319，在平行四邊

13、形ABCD中，E在DC上，若DEEC12，則BFBE_. 【導學號：】圖1319【解析】DEEC12，DCEC32，ABEC32.ABEC，ABFCEF，.【答案】35三、解答題9如圖1320，已知ABC中，ABAC，AD是中線，P是AD上一點，過C作CFAB，延長BP交AC于E，交CF于點F.求證：PB2PEPF.圖1320【證明】連接PC.ABAC，ABCACB.AD是中線，AD垂直平分BC，PBPC，PBDPCD，ABPACP.又CFAB，ABPFACP，而CPEFPC.PCEPFC，PC2PEPF，即PB2PEPF.10.如圖1321，某市經濟開發(fā)區(qū)建有B，C，D三個食品加工廠，這三個

14、工廠和開發(fā)區(qū)A處的自來水廠正好在一個矩形的四個頂點上，它們之間有公路相通，且ABCD900米，ADBC1 700米自來水公司已經修好一條自來水主管道AN，B，C兩廠之間的公路與自來水主管道交于E處，EC500米若自來水主管道到各工廠的自來水管道由各廠負責修建，每米造價800元圖1321(1)要使修建自來水管道的造價最低，這三個工廠的自來水管道路線應怎樣設計？并在圖中畫出該路線；(2)求出各廠所修建的自來水管道的最低造價各是多少元？【解】(1)如圖，過B，C，D分別作AN的垂線段BH，CF，DG交AN于H，F(xiàn)，G，BH，CF，DG即為所求的造價最低的管道路線(2)在RtABE中，AB900米，B

15、E1 7005001 200米，AE1 500(米)，由ABECFE，得到，即，可得CF300(米)由BHECFE，得，即，可得BH720(米)由ABEDGA，得，即，可得DG1020(米)所以，B，C，D三廠所建自來水管道的最低造價分別是720800576 000(元)，300800240 000(元)，1 020800816 000(元)能力提升1.如圖1322所示，要使ACDBCA，下列各式中必須成立的是()圖1322A.B.CAC2CDCBDCD2ACAB【解析】CC，只有，即AC2CDCB時，才能使ACDBCA.【答案】C2如圖1323所示，AOD90，OAOBBCCD，則下列結論正確的是()圖1323ADABOCABOABODACBACBDADOACABD【解析】設OAOBBCCDa，則ABa，BD2a，且ABCDBA，BACBDA.【答案】C3如圖1324所示，BACDCB，CDBABC90，ACa，BCB.當BD_時，ABCCDB.圖1324【解析】由即可得到【答案】4如圖1325所示，在矩形ABCD中，E為AD的中點，EFEC交AB于F，連接FC(ABAE)圖1325(1)AEF與ECF是否相似？若相似證明你的結論；若不相似，請說明理由；(2)設k，是否存在這樣的k值 ，使