高考總動員高考數(shù)學大一輪復習 第7章 立體幾何學案 文(新人教版)

1、第七章立體幾何第一節(jié)空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖 基礎(chǔ)知識深耕一、空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征多面體(1)棱柱的側(cè)棱都平行且相等，上、下底面是全等的多邊形(2)棱錐的底面是任意多邊形，側(cè)面是有一個公共頂點的三角形(3)棱臺可由平行于底面的平面截棱錐得到，其上、下底面是相似多邊形旋轉(zhuǎn)體(1)圓柱可以由矩形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)得到(2)圓錐可以由直角三角形繞其直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)得到(3)圓臺可以由直角梯形繞直角腰所在直線或等腰梯形繞上、下底中點連線所在直線旋轉(zhuǎn)得到，也可由平行于底面的平面截圓錐得到(4)球可以由半圓面或圓面繞直徑所在直線旋轉(zhuǎn)得到.【方法技巧】在幾何體的有關(guān)計算中，要注意下列方法與技

2、巧：(1)研究圓柱、圓錐、圓臺等問題的主要方法是研究它們的軸截面，這是因為在軸截面中，集中反映了旋轉(zhuǎn)體的各主要元素之間的位置、數(shù)量關(guān)系(2)將圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開是把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題處理的重要方法之一(3)圓(棱)臺問題有時需要將圓(棱)臺還原成圓(棱)錐來解決(4)關(guān)于球的問題中的計算，常作球的一個大圓，化“球”為“圓”，應用平面幾何的有關(guān)知識解決；關(guān)于球與多面體的切接問題，要恰當?shù)剡x取截面，化空間為平面二、空間幾何體的三視圖1三視圖的形成空間幾何體的三視圖是用平行投影得到的，在這種投影之下，與投影面平行的平面圖形留下的影子，與平面圖形的形狀和大小是完全相同的2三視圖的名

3、稱三視圖包括：正視圖、側(cè)視圖和俯視圖3三視圖的畫法(1)在畫三視圖時，重疊的線只畫一條，擋住的線要畫成虛線(2)三視圖的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖分別是從幾何體的正前方、正左方、正上方觀察幾何體畫出的輪廓線三、空間幾何體的直觀圖空間幾何體的直觀圖常用斜二測畫法來畫，基本步驟是：(1)畫幾何體的底面在已知圖形中取互相垂直的x軸、y軸，兩軸相交于點O，畫直觀圖時，把它們畫成對應的x軸、y軸，兩軸相交于點O，且使xOy45或135，已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中長度不變，平行于y軸的線段，長度為原來的一半(2)畫幾何體的高在已知圖形中過O點作z軸垂直于xOy平面，在直觀圖中對應的z軸，也垂直于x

4、Oy平面，已知圖形中平行于z軸的線段，在直觀圖中仍平行于z軸且長度不變【拓展延伸】平面圖形的直觀圖與原圖形面積的兩個關(guān)系按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形的面積有以下關(guān)系：S直觀圖S原圖形，S原圖形2S直觀圖基礎(chǔ)能力提升1下列說法正確的是()A有兩個面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱B有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱C有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體叫棱錐D棱臺各側(cè)棱的延長線交于一點【解析】如圖(1)，(2)，(3)可知A，B，C均錯誤(1)(2)(3)【答案】D2如圖711所示，下列幾何體各自的三視圖中，有且僅有兩個視圖相同的是()圖71

5、1ABCD【解析】由幾何體的結(jié)構(gòu)可知，只有圓錐、正四棱錐兩幾何體的正視圖和側(cè)視圖相同，且不與俯視圖相同【答案】C3有一個幾何體的三視圖如圖712所示，這個幾何體應是一個()圖712A棱臺B棱錐 C棱柱D都不對【解析】由幾何體的三視圖可知該幾何體是一個棱臺【答案】A4利用斜二測畫法得到的：三角形的直觀圖一定是三角形；正方形的直觀圖一定是菱形；等腰梯形的直觀圖可以是平行四邊形；菱形的直觀圖一定是菱形以上結(jié)論正確的序號是_【解析】由斜二測畫法原理可知正確，均不正確【答案】1兩個概念正棱柱、正棱錐的概念(1)正棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱反之，正棱柱的底面是正

6、多邊形，側(cè)棱垂直于底面，側(cè)面是矩形(2)正棱錐：底面是正多邊形，頂點在底面的射影是底面正多邊形的中心的棱錐叫做正棱錐特別地，各棱均相等的正三棱錐叫做正四面體2三個注意點畫三視圖應注意的三個問題(1)若相鄰兩物體的表面相交，表面的交線是它們的分界線，在三視圖中，要注意實、虛線的畫法(2)確定正視、側(cè)視、俯視的方向，觀察同一物體方向不同，所畫的三視圖也不同(3)觀察簡單組合體是由哪幾個簡單幾何體組成的，并注意它們的組成方式，特別是它們的交線位置第二節(jié)空間幾何體的表面積與體積基礎(chǔ)知識深耕一、幾何體的表面積1多面體的表面積因為多面體的各面都是平面，所以多面體的表面積就是各個面的面積之和，即展開圖的面積

7、2旋轉(zhuǎn)體的表面積名稱圖形表面積側(cè)面積圓柱S2r22rl或2r(rl)S側(cè)rl圓錐Sr2rl或r(rl)S側(cè)2rl圓臺S(r2r2rlrl)S側(cè)(rr)l球S4R2【拓展延伸】空間圖形的展開圖及其應用空間圖形的展開圖主要用于求其表面積，至于規(guī)則的多面體，不用展開圖，也能求其表面積展開圖的另一個應用是求從幾何體的表面上一點沿表面到達另一點的最短距離，這個問題可以用展開圖化成平面內(nèi)兩點間的距離求解二、幾何體的體積1設(shè)棱(圓)柱的底面積為S，高為h，則體積VSh.2設(shè)棱(圓)錐的底面積為S，高為h，則體積VSh.3設(shè)棱(圓)臺的上、下底面面積分別為S，S，高為h，則體積V(SS)h.4設(shè)球半徑為R，則

8、球的體積VR3.【方法技巧】割補法求表面積與體積對于不規(guī)則的幾何體或簡單的組合體的表面積和體積的求解通常用割補法，轉(zhuǎn)化為簡單規(guī)則的幾何體進行解決【拓展延伸】球截面及其性質(zhì)用一個平面去截球，截面都是圓面若平面經(jīng)過球心，截球面得到的圓叫大圓，其半徑等于球半徑，圓心就是球心若平面不經(jīng)過球心，截球面得到的圓叫小圓，其半徑小于球半徑，其圓心與球心的連線垂直于截面設(shè)球半徑為R，小圓半徑為r，球心到截面的距離為d，則d.基礎(chǔ)能力提升1若一個底面是正三角形的三棱柱的正視圖如圖721所示，則其側(cè)面積等于()圖721A.B2C2D6【解析】由三棱柱的正視圖可知此三棱柱為底面邊長為2，側(cè)棱長為1的正三棱柱，S側(cè)21

9、36.【答案】D2圓柱的一個底面積為S，側(cè)面展開圖是一個正方形，那么這個圓柱的側(cè)面積是()A4SB2S CS D.S【解析】設(shè)圓柱的底面半徑為r，則Sr2，r.由題意得圓柱的高h2r，S側(cè)2rh424S.【答案】A3長方體的三個相鄰面的面積分別為2,3,6，這個長方體的頂點都在同一個球面上，則這個球的面積為()A.B56 C14D64【解析】設(shè)過長方體同一頂點的三條棱長分別為a，b，c，則得令球的半徑為R，則(2R)222123214，即該球的表面積S4R214.【答案】C4一平面截一球得到直徑為6 cm的圓面，球心到這個平面的距離為4 cm，則球的體積為_cm3.【解析】如圖所示，由已知可得

10、O1A3 cm，OO14 cm，從而ROA5 cm，所以V球53(cm3)【答案】1一種思想旋轉(zhuǎn)體側(cè)面積問題中的轉(zhuǎn)化思想計算旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積時，一般采用轉(zhuǎn)化的方法來進行，即將側(cè)面展開化為平面圖形，“化曲為直”來解決，因此要熟悉常見旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面展開圖的形狀及平面圖形面積的求法2兩個注意點求空間幾何體的表面積應注意兩點(1)求組合體的表面積時，要注意各幾何體重疊部分的處理(2)底面是梯形的四棱柱側(cè)放時，容易和四棱臺混淆，在識別時要緊扣定義，以防出錯3三種方法求空間幾何體體積的常用方法(1)公式法：直接根據(jù)相關(guān)的體積公式計算(2)等積法：根據(jù)體積計算公式，通過轉(zhuǎn)換空間幾何體的底面和高使得體積計算更容易

11、，或是求出一些體積比等(3)割補法：把不能直接計算體積的空間幾何體進行適當?shù)姆指罨蜓a形，轉(zhuǎn)化為可計算體積的幾何體第三節(jié)空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系 基礎(chǔ)知識深耕一、平面的基本性質(zhì)名稱圖示文字表示符號表示公理1如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)Al，Bl，且A，Bl公理2過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面公理3如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線P，且Pl且Pl【拓展延伸】公理2的三個推論推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點有且只有一個平面；推論2：經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個平面；推論3：經(jīng)過兩條平行直線有且只有一個平面二、空間

12、直線的位置關(guān)系1位置關(guān)系的分類2平行公理平行于同一條直線的兩條直線互相平行3等角定理空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補4異面直線所成的角(或夾角)(1)定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間中任一點O作直線aa，bb，把a與b所成的銳角或直角叫做異面直線a與b所成的角(2)范圍：.【拓展延伸】異面直線的判定方法(1)定義法：依據(jù)定義判斷兩直線不可能在同一平面內(nèi)(2)定理法：過平面內(nèi)一點與平面外一點的直線與平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線為異面直線(此結(jié)論可作為定理使用)(3)反證法：即假設(shè)兩直線不是異面直線，那么它們是共面直線(即假設(shè)兩直線相交或平行)，結(jié)合原題中的條件，得出矛盾

13、，否定假設(shè)三、空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系直線與直線直線與平面平面與平面平行關(guān)系圖形語言符號語言aba相交關(guān)系圖形語言符號語言abAaAl獨有關(guān)系圖形語言符號語言a，b是異面直線a基礎(chǔ)能力提升1給出下列命題：如果兩個不重合的平面，有一條公共直線a，就說平面，相交，并記作a；兩個平面，有一個公共點A，就說，相交于過A點的任意一條直線；兩個平面，有一個公共點A，就說，相交于A點，并記作A；平面ABC與平面DBC相交于線段BC；兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面其中正確的是()ABCD【解析】不正確，該直線是唯一確定的；不正確，l，且Al上；不正確，平面ABC與平面DBC相交于直線BC；均正

14、確【答案】D2下列說法正確的是()A若a，b，則a與b是異面直線B若a與b異面，b與c異面，則a與c異面C若a，b不同在平面內(nèi)，則a與b異面D若a，b不同在任何一個平面內(nèi)，則a與b異面【解析】如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，分別取aAA1，bCC1可知A、C錯誤；取aAA1，bBD，cCC1，易知B錯誤，D符合異面直線的定義【答案】D圖7313如圖731所示，點A是平面BCD外一點，ADBC2，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，且EF，則異面直線AD和BC所成的角為_【解析】如圖，設(shè)G是AC的中點，連接EG，F(xiàn)G.因為E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，故EGBC，且EGBC1，F(xiàn)GAD，且FG

15、AD1.即EGF為所求，又EF，由勾股定理逆定理可得EGF90.【答案】90.4下列結(jié)論正確的是_直線a平面，直線b，則ab；直線a，直線b，則直線ab；a，則a或和相交；aA，則a；若a，b，則a、b無公共點【解析】錯，a，b可能異面；錯，a，b可能異面或相交；對，a，包含兩種情況相交或平行；對，a和相交；錯，a，b可能相交【答案】1一種方法異面直線所成角的求法求異面直線所成角常用“平移法”，把空間問題平面化，然后借助三角形的邊角關(guān)系求解2兩個易誤點概念辨析(1)異面直線易誤解為“分別在兩個不同平面內(nèi)的兩條直線為異面直線”，實質(zhì)上兩異面直線不能確定任何一個平面，因此異面直線既不平行，也不相交

16、(2)直線與平面的位置關(guān)系在判斷時最易忽視“線在面內(nèi)”3三個作用3個公理的作用(1)公理1的作用：檢驗平面；判斷直線在平面內(nèi)；由直線在平面內(nèi)判斷直線上的點在平面內(nèi)；由直線的直刻畫平面的平(2)公理2的作用：公理2及其推論給出了確定一個平面或判斷“直線共面”的方法(3)公理3的作用：判定兩平面相交；作兩平面相交的交線；證明多點共線第四節(jié)直線、平面平行的判定及其性質(zhì)基礎(chǔ)知識深耕一、直線與平面平行1判定定理文字語言圖形語言符號語言判定定理平面外一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行l(wèi)2.性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言性質(zhì)定理一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線

17、與該直線平行ab【拓展延伸】(1)證線面平行若a，ab，b，則b.若a，a，則a.(2)線面平行的性質(zhì)若a，a，b，則ab.若a，a，則.二、平面與平面平行1判定定理文字語言圖形語言符號語言判定定理一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行2.性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言性質(zhì)定理如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行ab【拓展延伸】平面與平面平行的幾個性質(zhì)(1)兩個平面平行，其中一個平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個平面(2)夾在兩個平行平面之間的平行線段長度相等(3)經(jīng)過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行(4)兩條直線被三個平行平面所截，截得的對應線

18、段成比例(5)如果兩個平面分別平行于第三個平面，那么這兩個平面互相平行(6)如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條直線，那么這兩個平面平行基礎(chǔ)能力提升1若直線a不平行于平面，則下列結(jié)論成立的是()A內(nèi)的所有直線都與直線a異面B內(nèi)可能存在與a平行的直線C內(nèi)的直線都與a相交D直線a與平面沒有公共點【解析】直線a與不平行，則直線a在內(nèi)或與相交，當直線a在平面內(nèi)時，在內(nèi)存在與a平行的直線，B正確【答案】B2下列說法中正確的是()一條直線如果和一個平面平行，它就和這個平面內(nèi)的無數(shù)條直線平行；一條直線和一個平面平行，它就和這個平面內(nèi)的任何直線無公共點；過直線外一點，有且僅有一個平面和已知

19、直線平行；如果直線l和平面平行，那么過平面內(nèi)一點和直線l平行的直線在內(nèi)ABCD【解析】由線面平行的性質(zhì)定理知正確；由直線與平面平行的定義知正確；錯誤，因為經(jīng)過一點可作一直線與已知直線平行，而經(jīng)過這條直線可作無數(shù)個平面【答案】D3下列條件中，能判斷兩個平面平行的是()A一個平面內(nèi)的一條直線平行于另一個平面B一個平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個平面C一個平面內(nèi)有無數(shù)條直線平行于另一個平面D一個平面內(nèi)任何一條直線都平行于另一個平面【解析】由兩個平面平行的定義可知D正確【答案】D4已知正方體ABCDA1B1C1D1，下列結(jié)論中，正確的結(jié)論是_(只填序號)AD1BC1；平面AB1D1平面BDC1；AD1DC

20、1；AD1平面BDC1.【解析】如圖，四邊形ABC1D1是平行四邊形，AD1BC1，故正確；又AD1與DC1為異面直線，故錯誤；又由B1D1BD，可知正確【答案】1一個轉(zhuǎn)化三種平行關(guān)系間的轉(zhuǎn)化2兩個注意點證明平行問題(1)在推證線面平行時，必須滿足三個條件：一是直線a在已知平面外；二是直線b在已知平面內(nèi)；三是兩直線平行(2)把線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行時，必須說清經(jīng)過已知直線的平面與已知平面相交，則該直線與交線平行第五節(jié)直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)基礎(chǔ)知識深耕一、直線與平面垂直1定義直線l與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，就說直線l與平面互相垂直2判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理一條

21、直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直l性質(zhì)定理垂直于同一個平面的兩條直線平行ab【拓展延伸】與垂直相關(guān)的幾個重要結(jié)論1直線與平面垂直的定義常常逆用，即a，bab.2若兩平行直線中一條垂直于平面，則另一條也垂直于該平面3垂直于同一條直線的兩個平面平行4過一點有且只有一條直線與已知平面垂直5過一點有且只有一個平面與已知直線垂直二、平面與平面垂直1平面和平面垂直的定義兩個平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直2平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直性質(zhì)定理兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直

22、于它們交線的直線與另一個平面垂直l【拓展延伸】垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化三、線面角與二面角1直線和平面所成的角(1)平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條直線和這個平面所成的角(2)當直線與平面垂直和平行(或直線在平面內(nèi))時，規(guī)定直線和平面所成的角分別為90和0.2二面角的有關(guān)概念(1)二面角：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一點為端點，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角基礎(chǔ)能力提升1給出下列四個命題：垂直于同一平面的兩條直線相互平行；垂直于同一平面的兩個平面相互平行；若一個平面內(nèi)有無數(shù)條直線與另一個平面都平