人教A數學選修21同課異構教學課件32第3課時空間向量與空間角探究導學課型

1、3.2立體幾何中的向量方法 第3課時空間向量與空間角,【閱讀教材】 根據下面的知識結構圖，閱讀教材，掌握利用空間向量求空間角的方法并能應用,【知識鏈接】 1.異面直線的夾角：當直線l1與l2是異面直線時，在直線l1上任取一點 A作ABl2，把直線l1與直線AB的夾角叫作異面直線l1與l2的夾角.范 圍：0 2.直線與平面的夾角：平面外一條直線與它在平面內的投影的夾角叫 作該直線與此平面的夾角.范圍：0 3.二面角的平面角：從棱上一點出發(fā)的，與棱垂直且分別在兩個平面 內的射線形成的角,主題：空間向量與空間角 【自主認知】 1.在立體幾何中，我們所學過的空間角有哪些？ 提示：異面直線所成的角、直線

2、與平面所成的角、二面角. 2.非零向量a=(a1,a2)，b=(b1,b2)的夾角公式是什么？ 提示：cosa,b=,3.觀察下表，分析異面直線所成角的余弦值是否等于它們的方向向量所成角的余弦值. 設a，b分別是兩異面直線l1，l2的方向向量.,提示：不一定，若方向向量所成角小于90則相等；若方向向量所成角大于90則互為相反數.,通過上述探究，試總結空間向量夾角的相關內容： 空間向量的夾角 (1)轉化：立體幾何中的夾角都可以轉化為兩個向量的夾角，向量 u,v的夾角滿足關系式cos = . (2)坐標表示： 設a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2)， 則cosa,b= =,【合作探究

3、】 1.若已知兩異面直線所對應的方向向量為a，b，且向量a，b的夾角 的余弦值為負值，則如何用向量表示兩異面直線所成角的余弦值？ 提示：可以利用向量的數量積，求出ab及|a|，|b|的值，再套用 公式求得向量a，b夾角的余弦值，但這一結果不一定為異面直線所 成角的余弦值，若求得余弦值為負值，則兩異面直線所成角的余弦值 應為這兩個向量所成角的余弦值的相反數.故cos=,2.如圖，如何用向量法求出直線AB與平面所成的角的正弦值？ 提示：AB為過平面的一條斜線，n為平面的法向量，設AB與平面 所成的角為，則sin = (n方向與圖中所示 方向相反時加絕對值號).,3.如圖所示，如何用向量法確定二面角

4、-l -()的大??？ 提示：n1與n2分別為二面角-l -兩個面的法向量，則與 二面角-l -互補，即cos=-cos=,【拓展延伸】處理與角有關問題的策略 處理與角有關的問題，通常是先“定位”，后“定量”. 如兩條異面直線所成角的向量公式：兩條異面直線a，b的方向向量分 別為m和n.當m與n的夾角不大90時，異面直線a，b所成的角與 m和n的夾角相等；當m與n的夾角大于90時，直線a，b所成的角 與m和n的夾角互補，即異面直線所成的角的余弦值就是兩條異面直線 的方向向量所成的角的余弦值的絕對值.所以異面直線a，b所成的角 滿足：,【過關小練】 1.設直線l與平面相交，且直線l的方向向量為a，

5、平面的法向量 為n，若a,n= 則l與a所成的角為( ) 【解析】選B.如圖所示，直線l與平面所成的角,2.已知兩平面的法向量分別為m(0,1,0)，n(0,1,1)，則兩平面所成的二面角的大小為_ 【解析】cosm，n 即m，n45，其補角為135， 所以兩平面所成的二面角為45或135. 答案：45或135,【歸納總結】 1.空間向量向空間角的轉化 利用向量數量積求異面直線所成的角，直線與平面所成的角時，要注意各空間角的范圍和向量的方向，依據圖形把向量所成的角轉化為空間角.,2.向量法求空間角的計算公式 (1)設異面直線l1，l2的方向向量分別為m1，m2則l1與l2所成的角滿足cos=|

6、cos|. (2)設直線l的方向向量和平面的法向量分別為m1，m2，則直線l與平面所成的角滿足sin=|cos|.,(3)求二面角的大?。?如圖，AB，CD是二面角-l -的兩個面內與棱l垂直的直線，則二 面角的大小=,類型一：向量法求異面直線的夾角 【典例1】(1)(2014新課標全國卷)直三棱柱ABC-A1B1C1中, BCA=90,M,N分別是A1B1,A1C1的中點,BC=CA=CC1,則BM與AN所成的角的余弦值為( ),(2)(2015大同高二檢測)如圖所示，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各條棱長都相等，M是側棱CC1的中點，則異面直線AB1和BM所成的角的大小是_.,【解題指

7、南】(1)建立坐標系,利用空間向量法求解. (2)采用基向量法，以 為基向量，分別求出,【解析】(1)選C.如圖，分別以C1A1，C1B1，C1C所在直線為x，y，z軸，建立坐標系. 令AC=BC=C1C=2， 則B(0，2，2)，A(2，0，2)，M(1，1，0)，N(1，0，0).,所以 (2)不妨設棱長為2，選擇基向量 則 故 即其夾角為90，所以異面直線AB1和BM所成的角是90 答案：90,【規(guī)律總結】向量法求異面直線夾角的注意事項 (1)范圍：兩異面直線夾角范圍為 時刻注意兩異面直線夾角的 范圍是解題的關鍵. (2)向量法：利用向量求解異面直線夾角時，只需找到兩異面直線的 方向向量

8、，借助方向向量所成角求解.但需注意二者范圍的區(qū)別. (3)轉化：設兩條異面直線a，b的方向向量分別為a,b，其夾角為 ，則cos =|cos |= (其中為異面直線a，b的夾角).,【鞏固訓練】長方體ABCD-A1B1C1D1中，ABAA12，AD1，E為CC1的中點，則異面直線BC1與AE所成的角的余弦值為( ),【解析】選B.如圖以D為坐標原點，建立空間直角坐標系.則B(1,2,0)，C1(0，2，2)，A(1，0，0)，E(0，2，1)， 所以 則 故異面直線BC1與AE所成的角的余弦值為,【補償訓練】(2015太原高二模擬)如圖，在正方體AC1中，M是棱DD1的中點，O是平面ABCD的

9、中心，P是A1B1上的任意一點，則直線AM與OP所成的角是(),【解析】選D.設正方體的棱長為2a，建立如圖所示的空間坐標系，則有A(2a，0，0)，M(0，0，a)，O(a，a，0).,因為P是A1B1上任意一點， 所以不妨設P(2a，m,2a)(0m2a) 所以 (0,0，a)(2a,0,0)(2a,0，a)， (2a，m,2a)(a，a,0)(a，ma,2a) 所以 2aa0(ma)a2a0. 所以異面直線AM與OP所成的角為,類型二：向量法求直線與平面所成的角 【典例2】如圖，四棱錐P-ABCD中，底面 ABCD為矩形，PD底面ABCD，AD=PD=1， AB=2a(a0)，E，F分別

10、是CD,PB的中點. (1)求證：EF平面PAB. (2)當 時，求AC與平面PAB所成角的正弦值.,【解題指南】求出平面PAB的法向量，然后求出直線AC的方向向量與平面PAB的法向量的夾角的余弦值，進而求出AC與平面PAB所成角的正弦值.,【解析】(1)建立如圖所示的空間直角坐標系， 由AD=1，PD=1，AB=2a(a0)， 得E(a,0,0),C(2a,0,0),A(0,1,0),B(2a,1,0),P(0,0,1),得 由 得 即EFAB，同理EFPB， 又ABPB=B，所以EF平面PAB.,(2)由 得 有 由(1)知平面PAB的一個法向量為 設AC與平面PAB所成的角為， 的夾角為

11、 則sin = 所以，AC與平面PAB所成角的正弦值為,【延伸探究】 1.(改變問法)本例(2)條件不變，求直線AE與平面PAB所成角的正弦值，結果如何？,【解析】由 得 有 由原題知平面PAB的一個法向量為 設AE與平面PAB所成的角為， 的夾角為 則sin = 所以，AE與平面PAB所成角的正弦值為,2.(改變問法)本例(2)條件不變，求直線AC與平面AEF所成角的正弦值.,【解析】由題意知 設平面AEF的法向n=(x,y,z) 由題意知 所以 令 可得y=1，z=-1，所以n= 所以 所以直線AC與平面AEF所成角的正弦值為,【規(guī)律總結】向量法求線面角的兩個注意點 (1)范圍：直線與平面

12、所成角的范圍為 (2)轉化：用向量法求線面角的基本求法為先求出直線方向向量與平面法向量的夾角，進而求出線面角.,【鞏固訓練】(2014福建高考)在平行四邊形ABCD中， AB=BD=CD=1，ABBD，CDBD.將ABD沿BD折起， 使得平面ABD平面BCD，如圖. (1)求證：ABCD. (2)若M為AD中點，求直線AD與平面MBC所成角的 正弦值.,【解題指南】(1)由面面垂直的性質定理先推得線面垂直，即AB平面BCD，再進而推得線線垂直.(2)建立坐標系，由線面角公式求解即可.,【解析】(1)因為平面ABD平面BCD，且兩平面的交線為BD，AB平面ABD，ABBD， 所以AB平面BCD，

13、又CD平面BCD，所以ABCD. (2)過點B在平面BCD內作BEBD，如圖，,由(1)知AB平面BCD，BE平面BCD，BD平面BCD， 所以ABBE，ABBD. 以B為坐標原點，以 分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立 空間直角坐標系， 依題意，得B(0，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，A(0，0，1)， 則, 設平面MBC的法向量n=(x0,y0,z0)，,則 即 取z0=1， 得平面MBC的一個法向量n=(1,-1,1)， 設直線AD與平面MBC所成角為， 則 即直線AD與平面MBC所成角的正弦值為,【拓展延伸】與空間角有關的翻折問題及三視圖問題的解法 (1)翻折問題：要找

14、準翻折前后的圖形中的不變量及變化的量，再結合向量知識求解. (2)三視圖問題：關于三視圖問題，關鍵是通過三視圖觀察直觀圖中的對應線段的長度.,【補償訓練】(2014陜西高考)四面體 ABCD及其三視圖如圖所示，過棱AB的中 點E作平行于AD，BC的平面分別交四面 體的棱BD，DC，CA于點F，G，H. (1)證明：四邊形EFGH是矩形. (2)求直線AB與平面EFGH夾角的正弦值.,【解題指南】(1)先證得四邊形EFGH為平行四邊形，再證得此平行四邊形的鄰邊相互垂直.(2)利用已知正確建立空間直角坐標系，求得平面EFGH的法向量，代入公式即可得解.,【解析】(1)因為BC平面EFGH，平面EF

15、GH平面BDC=FG，平面EFGH平面ABC=EH， 所以BCFG，BCEH，所以FGEH. 同理EFAD，HGAD，所以EFHG， 所以四邊形EFGH是平行四邊形. 又由三視圖可知AD平面BDC，所以ADBC， 所以EFFG，所以四邊形EFGH是矩形.,(2)如圖，以D為坐標原點建立空間直角坐標系， 則D(0,0,0),A(0,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0),設平面EFGH的法向量n=(x,y,z), 因為EFAD,FGBC,所以 得 令x=1，則y=1，所以n=(1,1,0)， 所以,類型三：向量法求二面角 【典例3】(2014廣東高考)四邊形ABCD為正方形，PD平面ABC

16、D，DPC=30，AFPC于點F，FECD，交PD于點E. (1)證明：CF平面ADF. (2)求二面角D-AF-E的余弦值.,【解題指南】(1)采用幾何法較為方便，證AD平面PCDCFAD， 又CFAFCF平面ADF. (2)采用向量法較為方便，以D為原點建立空間直角坐標系，設DC=2， 計算出DE，EF的值，得到A，C，E，F的坐標，注意到 為平面ADF 的法向量，結合其求二面角.,【解析】(1)因為四邊形ABCD為正方形，所以ADDC. 又PD平面ABCD，AD平面ABCD，所以PDAD，DCPD=D，所以AD平面PCD. 又CF平面PCD，所以CFAD，而AFPC，即AFCF， 又AD

17、AF=A，所以CF平面ADF.,(2)以D為原點，DP，DC，DA分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，如圖所示.,設DC=2,由(1)知PCDF,即CDF=DPC=30,有 則D(0,0,0), A(0,0,2),C(0,2,0), 設平面AEF的法向量為n=(x,y,z), 由 得,取x=4,有 則n= 又平面ADF的一個法向量為 所以 所以二面角D-AF-E的余弦值為,【規(guī)律總結】二面角的兩種求法 (1)幾何法：利用二面角的定義，找到二面角的平面角，通過解三角形得到二面角的大小，但二面角的確定是一難點. (2)向量法 基向量法：找兩個起點在棱上，且與棱垂直的向量，這兩個向量的夾角即為二面

18、角的大小. 坐標法：建立適當的空間直角坐標系，求得兩個相關半平面的法向量，再借助平面的法向量求解.,【鞏固訓練】(2015山東高考)如圖，在三棱臺DEF-ABC中，AB=2DE，點G，H分別為AC，BC的中點. (1)求證：BD平面FGH. (2)若CF平面ABC，ABBC，CF=DE，BAC=45，求平面FGH與平面ACFD所成的角(銳角)的大小.,【解析】(1)因為DEF-ABC是三棱臺，且AB=2DE，所以BC=2EF，AC=2DF. 因為點G，H分別是AC，BC的中點，所以GHAB，因為AB平面FGH，GH平面FGH，所以AB平面FGH； 因為EFBH且EF=BH，所以四邊形BHFE是平行四邊形，所以BEHF，BE平面FGH，HF平面FGH，所以BE平面FGH； 又因為ABBE=B， 所以平面ABE平面FGH，因為BD平面ABE，所以BD平面FGH.,(2)因為CF平面ABC，所以CFAB， 又BCAB，BCCF=C，所以AB平面BCFE， 以B為坐標原點，BC所在直線為x軸，BA所在直線為y軸建立空間直角坐標系， 因為BAC=45，所以BC=AB，設DE=1，則B(0，0，0)，C(2，0，0)，A(0，2，0)，H(1，0，0)，G(1，1，0)，F(2，0，1)， 所以,設平面FGH的一個法向