河北省淶水波峰中學(xué)高中數(shù)學(xué)必修五23等差數(shù)列的前n項(xiàng)和1課件

1、,2.3等差數(shù)列的前n項(xiàng)和,第一課時(shí),學(xué)習(xí)目標(biāo)：,1. 理解等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過(guò)程，掌握解倒序相加法的原理，掌握并能熟練運(yùn)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式。 2. 通過(guò)有趣的歷史故事，具體的實(shí)際問(wèn)題構(gòu)建“倒序相加”的模型 重點(diǎn)：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)及應(yīng)用 難點(diǎn)：是等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)“倒序相加”思想的獲得及靈活運(yùn)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式解決一些具體問(wèn)題。,問(wèn)題1：,泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世紀(jì)莫臥兒帝國(guó)皇帝沙杰罕為紀(jì)念其愛(ài)妃所建，她宏偉壯觀，純白大理石砌建而成的主體建筑叫人心醉神迷，成為世界七大奇跡之一。陵寢以寶石鑲飾，圖案之細(xì)致令人叫絕。 傳說(shuō)陵寢中有一個(gè)三角形圖案，以相同大小的

2、圓寶石鑲飾而成，共有100層（見(jiàn)左圖），奢靡之程度，可見(jiàn)一斑。 你知道這個(gè)圖案一共花了多少寶石嗎？,導(dǎo)入,著名數(shù)學(xué)家高斯的一個(gè)小故事 在高斯10歲的時(shí)候，他的老師出了一道數(shù)學(xué)題： 1+2+3+4+100=？ 在別的同學(xué)都在忙著計(jì)算的時(shí)候，高斯很快得出了正確答案，你知道高斯是怎 么計(jì)算的嗎？,高斯(Gauss,C.F.,1777年1855年） 德國(guó)著名數(shù)學(xué)家,（1+100)+(2+99)+(3+98)+（50+51） =50101 =5050,點(diǎn)燃思維的火花,數(shù)列前n 項(xiàng)和的定義：,設(shè)an為數(shù)列，它的前n項(xiàng)和用Sn表示. 即Sn=a1+a2+a3+an 則:1+2+3+100表示S100 S10

3、0=1+2+3+100,從高斯的（1+100)+(2+99)+（50+51）首尾配對(duì)相加導(dǎo)出倒序相加。,設(shè) S100=1 + 2 + 3 +99 +100 則 S100=100 +99 +98+ 2 + 1 故 2S100=(1+100)+(2+99) +（99+2）+(100+1) =(1+100)100 S100= =5050 =,高斯的算法其實(shí)給出了求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的方法-倒序相加法 以字母代替數(shù)來(lái)探究,設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn Sn=a1 + a2 + a3 + + an-2 + an-1 + an Sn=an + an-1+ an-2+ + a3 + a2 + a1 兩式對(duì)應(yīng)

4、相加得 2Sn=(a1+an)+(a2+an-1）+(a3+an-2 )+(an-2+a3)+(an-1+a2)+(an+a1） 在等差數(shù)列an中,若m+n=p+q,則am+an=ap+aq 故a1+an=a2+an-1=a3+an-2= 2Sn=n(a1+an) Sn=,等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式,記一記,幫助我記公式啦,根據(jù)下列條件,求出等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn,(1)a1=5,an=95,n=10 （2)a1=100,d= -2, n=50 解：(1)sn= =500 （2）sn=50100+ =2550,熱身練習(xí),Sn= Sn=na1+,例1:如圖 超市一個(gè)堆放鉛筆的V形架，最下面第一層放

5、一支鉛筆，往上每一層都比它下面多放一支，就這樣一層一層地往上放。最上面一層放120支。求這個(gè)V形架上共放著多少支鉛筆？,應(yīng)用提升,解：依題知，各層鉛筆數(shù)自下而上成等差數(shù)列，設(shè)為an則a1=1,an=120,n=120,d=1代入公式得 Sn= =7260,答：這個(gè)V形架上共放了7260支鉛筆,Sn=na1+,例2:等差數(shù)列-10,-6,-2,2，前多少項(xiàng)和是54?,解:設(shè)等差數(shù)列an首項(xiàng)a1= -10,前n項(xiàng)和Sn=54,公差d=4, 代入公式得 -10n + 4=54 整理得 n2-6n-27=0 解得 n1=9 n2= -3(舍去） 故該等差數(shù)列前9項(xiàng)和是54.,等差數(shù)列中由前幾項(xiàng)可確定首項(xiàng)、公差，再代 入前n項(xiàng)和公式第二公式可得關(guān)于n的二次方程，求解時(shí)應(yīng)注意n為正整數(shù),評(píng)注：,能力提升,(1)一種求和方法-倒序相加法. (2)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的兩個(gè)公式. (3)已知等差數(shù)列中首項(xiàng)、公差、末項(xiàng)