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1、第一章 1.1正弦定理和余弦定理,11.2余弦定理(一),1.掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方法. 2.會(huì)運(yùn)用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題,學(xué)習(xí)目標(biāo),題型探究,問題導(dǎo)學(xué),內(nèi)容索引,當(dāng)堂訓(xùn)練,問題導(dǎo)學(xué),思考1,知識(shí)點(diǎn)一余弦定理的推導(dǎo),根據(jù)勾股定理,若ABC中,C90,則c2a2b2a2b22abcos C 試驗(yàn)證式對等邊三角形還成立嗎?你有什么猜想?,答案,當(dāng)abc時(shí),C60, a2b22abcos Cc2c22cccos 60c2, 即式仍成立,據(jù)此猜想,對一般ABC,都有c2a2b22abcos C.,思考2,在c2a2b22abcos C中,abcos C能解釋為哪兩
2、個(gè)向量的數(shù)量積?你能由此證明思考1的猜想嗎?,答案,余弦定理的發(fā)現(xiàn)是基于已知兩邊及其夾角求第三邊的需要因?yàn)閮蛇吋捌鋳A角恰好是平面向量一組基底的條件,所以能把第三邊用基底表示進(jìn)而求出模長 另外,也可通過建立坐標(biāo)系利用兩點(diǎn)間距離公式證明余弦定理,梳理,知識(shí)點(diǎn)二余弦定理的呈現(xiàn)形式,1.a2 ,b2 , c2 . 2.cos cos cos ,A,B,C,b2c22bccos A,c2a22cacos B,a2b22abcos C,每個(gè)公式右邊都涉及三個(gè)量,兩邊及其夾角.故如果已知三角形的兩邊及其夾角,可用余弦定理解三角形.,思考1,觀察知識(shí)點(diǎn)二第1條中的公式結(jié)構(gòu),其中等號(hào)右邊涉及幾個(gè)量?你認(rèn)為可用來
3、解哪類三角形?,知識(shí)點(diǎn)三適宜用余弦定理解決的兩類基本的解三角形問題,答案,每個(gè)公式右邊都涉及三個(gè)量,即三角形的三條邊,故如果已知三角形的三邊,也可用余弦定理解三角形.,思考2,觀察知識(shí)點(diǎn)二第2條中的公式結(jié)構(gòu),其中等號(hào)右邊涉及幾個(gè)量?你認(rèn)為可用來解哪類三角形?,答案,梳理,余弦定理適合解決的問題:(1)已知兩邊及其夾角,解三角形;(2)已知三邊,解三角形.,題型探究,例1已知ABC,BCa,ACb和角C,求解c.,類型一余弦定理的證明,解答,則|c|2cc(ab)(ab) aabb2ab a2b22|a|b|cos C. 所以c2a2b22abcos C.,所謂證明,就是在新舊知識(shí)間架起一座橋梁
4、.橋梁架在哪兒,要勘探地形,證明一個(gè)公式,要觀察公式兩邊的結(jié)構(gòu)特征,聯(lián)系已經(jīng)學(xué)過的知識(shí),看有沒有相似的地方.,反思與感悟,跟蹤訓(xùn)練1例1涉及線段長度,能不能用解析幾何的兩點(diǎn)間距離公式來研究這個(gè)問題?,如圖,以A為原點(diǎn),邊AB所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系, 則A(0,0),B(c,0),C(bcos A,bsin A), BC2b2cos2A2bccos Ac2b2sin2A, 即a2b2c22bccos A. 同理可證b2c2a22cacos B, c2a2b22abcos C.,解答,類型二用余弦定理解三角形,命題角度1已知兩邊及其夾角 例2在ABC中,已知b60 cm,c34 cm,A41
5、,解三角形.(角度精確到1,邊長精確到1 cm),解答,根據(jù)余弦定理, a2b2c22bccos A60234226034cos 411 676.78, 所以a41(cm). 因?yàn)閏不是三角形中最大的邊, 所以C為銳角,利用計(jì)算器可得C33, 所以B180(AC)180(4133)106.,反思與感悟,已知三角形兩邊及其夾角時(shí),應(yīng)先從余弦定理入手求出第三邊,再利用正弦定理求其余的角.,跟蹤訓(xùn)練2在ABC中,已知a2,b C15,求A.,解答,因?yàn)閎a,所以BA,所以A為銳角,所以A30.,命題角度2已知三邊 例3在ABC中,已知a134.6 cm,b87.8 cm,c161.7 cm,解三角形
6、.(角度精確到1),解答,A5620.,B3253. C180(AB)180(56203253)9047.,反思與感悟,跟蹤訓(xùn)練3在ABC中,sin Asin Bsin C245,判斷三角形的形狀.,解答,因?yàn)閍bcsin Asin Bsin C245, 所以可令a2k,b4k,c5k(k0).,所以C為鈍角,從而三角形為鈍角三角形.,當(dāng)堂訓(xùn)練,1.一個(gè)三角形的兩邊長分別為5和3,它們夾角的余弦值是 則三角形的另一邊長為 A.52 B. C.16 D.4,1,2,3,答案,解析,1,2,3,答案,解析,abc,C為最小角且C為銳角,,3.如果等腰三角形的周長是底邊長的5倍,那么它的頂角的余弦值為,1,2,3,答案,解析,設(shè)頂角為C,周長為l,因?yàn)閘5c, 所以ab2c,,1.利用余弦定理可以解決兩類有關(guān)三角形的問題: (1)已知兩邊和夾角,解三角形. (2)已知三邊求三角形的任意一角. 2.余弦定理與勾股定理的關(guān)系:余弦定理可以看作是勾股定理的推廣,勾股定理可以看作是余弦定理的特例. (1)如果一個(gè)三角形兩邊的平方和大于第三邊的平方,
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