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1、上次內容回顧:簡諧振動和能量法 講述的內容 第二章 自由振動 2.3 瑞利法 2.4 彈簧剛度系數(shù),23 瑞利法 在前面的討論中,都假設彈簧總的質量是可以忽略不計的。這樣的簡化,在許多實際問題中可能已經足夠準確了。但在有一些工程問題中彈簧本身的質量可能占系統(tǒng)總質量的一定比例,而不能被忽略。如果忽略這部分彈簧的質量,將會導致計算出來的固有頻率偏高。如何考慮彈簧本身的質量,以確定其對振動頻率的影響,瑞利(Rayleigh)提出了一種近似方法,它運用能量原理,把一個分布質量系統(tǒng)簡化為一個單自由度系統(tǒng),從而把彈簧分布質量對系統(tǒng)頻率的影響考慮進去,得到相對準確的固有頻率值。,現(xiàn)以圖所示的質量一彈簧系統(tǒng)為

2、例說明瑞利法的應用。在應用瑞利法時,必須先假設一個系統(tǒng)的振動形式,設彈簧在振動過程中變形是均勻的,即彈簧在連接質量塊的一端位移為x,彈簧(處于平衡位置時)軸向長度為l,則距固定端u處的位移為 。因此,當質量塊m在某一瞬時的速度為 時,彈簧在u處的微段du的相應速度為 。,設為彈簧單位長度的質量,則彈簧微段du的動能為,整個彈簧的動能為,而整個系統(tǒng)的總動能為質量塊m的動能與彈簧質量的動能之和。在質量塊經過靜平衡位置時,系統(tǒng)最大動能為,系統(tǒng)的勢能將仍和忽略彈簧質量時一樣為,由Tmax=Umax可得,對于簡諧振動,,代入得,式中,l為彈簧的總質量??梢姀椈少|量對于頻率的影響相當于在質量m上再加13彈

3、簧質量的等值質量,這樣就可以把彈簧質量對系統(tǒng)的固有頻率的影響考慮進去。,應用瑞利法求解系統(tǒng)自由振動的固有頻率時,所假定的振動形式越接近實際的振動形式,所得近似值就越接近準確解。實踐證明,以靜變形作為假定的振動形式,所得近似解與準確解比較,一般來說誤差是很小的。,例2.3-1設一均質等截面簡支梁,如圖所示,在中間有一集中質量m,如把梁本身質量考慮在內,試計算此系統(tǒng)的固有頻率和梁的等效質量。,解:假定梁在自由振動時動撓度曲線和簡支梁中間有集中靜載荷mg作用下的靜撓度曲線一樣。由材料力學可知,位于距支座距離x處的任一單元的位移表達式為,式中,ym為中點撓度。根據(jù)材料力學有,設為梁單位長度的質量,整個

4、梁的動能為,可見梁的等效質量為,因為是簡諧振動,設,則,系統(tǒng)的最大總動能為,而梁的最大彈性勢能仍為,由Tmax=Umax得,得,式中,k為梁的彈簧剛度,對于簡支梁帶有中間集中質量時,2.4 彈簧剛度系數(shù) 1、定義:使彈簧產生單位變形所需要的力或力矩。 2、不同受力情況下的彈簧剛度系數(shù)的確定 拉伸: 扭轉: 彎曲:,其中:E彈性模量; G剪切彈性模量; d、D簧絲、簧圈直徑; n彈簧圈數(shù)。,3、等值彈簧剛度系數(shù)的確定 并聯(lián)彈簧 串聯(lián)彈簧,在振動系統(tǒng)中常常不是單獨使用一個彈性元件,而是串聯(lián)或并聯(lián)幾個彈性元件加以使用。這時需要把組合的彈簧系統(tǒng)折算成一個“等效”的彈簧,其等效彈簧的剛度應該和原來的組合

5、彈簧系統(tǒng)的剛度相等,即等效剛度。,下面以兩個串聯(lián)和并聯(lián)的彈簧為例,說明組合彈簧系統(tǒng)的等效剛度的計算方法。,如圖所示是兩個串聯(lián)彈簧,剛度系數(shù)分別為k1和k2,求B端垂直方向的剛度時,在B端加一垂直力,每個彈簧都拉伸,伸長分別為F/k1和F/k2。B點的位移為兩個彈簧的總伸長,即,由此,B點的等效剛度系數(shù)為,也可以寫成,從上式可以看出,兩個串聯(lián)彈簧的等效剛度比原來兩個彈簧的剛度都要小,也就是說,串聯(lián)彈簧使系統(tǒng)中的彈簧剛度降低。,如果有n個彈簧串聯(lián),剛度系數(shù)分別為是k1、k2、.kn,則等效剛度系數(shù)k應滿足關系式,如圖所示是兩個并聯(lián)彈簧,連接兩彈簧的剛性桿在彈簧變形過程中保持水平,求B端垂直方向的剛度時,在B端加垂直力F。這時兩個彈簧均伸長xB。但兩個彈簧所受的力不相等,分別為是k1xB和k2xB。根據(jù)靜力平衡條件得,所以B點的等效剛度為,可見并聯(lián)彈簧系統(tǒng)的剛度是原來彈簧剛度的總和,比原來各彈簧的剛度都要大。,如果有n個彈簧并聯(lián),其彈簧剛度系數(shù)分別為k

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