質(zhì)點(diǎn)的動量矩定理.ppt_第1頁
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文檔簡介

1、第十二章,動量矩定理,120 引言,均質(zhì)輪受外力作用而繞其質(zhì)心O作定軸轉(zhuǎn)動,它有角速度和角加速度,但對于輪的動量為:,外力的矢量和為:,這個問題不能用動量定理來描述輪繞其質(zhì)心作定軸轉(zhuǎn)動是的運(yùn)動。,121 動量矩,一、質(zhì)點(diǎn)的動量矩,動量矩:動量對某點(diǎn)(軸)之矩。,1、質(zhì)點(diǎn)對某點(diǎn)之矩:質(zhì)點(diǎn)在某瞬時的動量對O點(diǎn)之矩定義為質(zhì)點(diǎn)在某瞬時對點(diǎn)O的動量矩。,質(zhì)點(diǎn)A對點(diǎn)O的動量矩:,質(zhì)點(diǎn)A對Z軸的動量矩:,方向: 是代數(shù)量,它的正負(fù)可以通過右手定則判斷;即:手心握轉(zhuǎn)動軸(坐標(biāo)軸),四指的指向?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)動量的方向,大拇指指向?yàn)樵搫恿烤氐姆较?,若方向與坐標(biāo)軸正向相同為正、相反為負(fù)。 或:從坐標(biāo)軸正向看去,逆時針為正、

2、順時針為負(fù)。,單位:,大?。?二、質(zhì)點(diǎn)系動量矩,1、對點(diǎn)的動量矩:,2、對軸的動量矩(即上式在各軸上的投影):,3、剛體的動量矩,(1)平移剛體:剛體上任意點(diǎn)的速度均與其質(zhì)心速度相同。故可將其看作為質(zhì)量集中與質(zhì)心的一個質(zhì)點(diǎn)。,對點(diǎn)的:,對軸的:,(2)定軸轉(zhuǎn)動剛體對轉(zhuǎn)動軸的動量矩:,定軸轉(zhuǎn)動剛體對z軸的轉(zhuǎn)動慣量,(3)平面運(yùn)動剛體的動量矩,平面運(yùn)動剛體對垂直與其質(zhì)量對稱平面內(nèi)任一固定軸的動量矩為:,即:其對z軸的動量矩等于剛體隨質(zhì)心作平移時的動量對該軸的動量矩,與其繞過質(zhì)心的軸作定軸轉(zhuǎn)動時對該軸的動量矩之和。,122 動量矩定理,一、質(zhì)點(diǎn)的動量矩定理,設(shè)有質(zhì)點(diǎn)A,受外力作用,由牛頓第二定律:,

3、且,在等式兩邊同時叉乘矢徑,其中:,質(zhì)點(diǎn)對點(diǎn)的動量矩定理,即:質(zhì)點(diǎn)對任一點(diǎn)的動量矩對時間的導(dǎo)數(shù)等于作用在質(zhì)點(diǎn)上的力對該點(diǎn)之矩。,上式向坐標(biāo)軸投影后得:,即:質(zhì)點(diǎn)對固定軸的動量矩對時間的導(dǎo)數(shù)等于作用在質(zhì)點(diǎn)上的力對該軸之矩。,質(zhì)點(diǎn)對軸的動量矩定理,二、質(zhì)點(diǎn)系的動量矩定理,質(zhì)點(diǎn)系中某質(zhì)點(diǎn)對固定點(diǎn)的動量矩定理為:,質(zhì)點(diǎn)系對固定點(diǎn)的動量矩定理為:,其中:,質(zhì)點(diǎn)系對固定點(diǎn)的動量矩定理,即:質(zhì)點(diǎn)系對某固定點(diǎn)的動量矩對時間的導(dǎo)數(shù),等于質(zhì)點(diǎn)系的外力對該點(diǎn)之矩的矢量和。,上式向軸投影后的:,質(zhì)點(diǎn)系對固定軸的動量矩定理,即:質(zhì)點(diǎn)系對某固定軸的動量矩對時間的導(dǎo)數(shù),等于質(zhì)點(diǎn)系的外力對該軸之矩的矢量和。,三、動量矩守恒定

4、理,若: 則 (常矢量),若: 則 (常量),123 剛體的轉(zhuǎn)動慣量,剛體對某軸的轉(zhuǎn)動慣量:剛體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量與各質(zhì)點(diǎn)到軸的矢徑大小平方的乘積之和。,單位:,一、簡單形狀剛體的轉(zhuǎn)動慣量,1、均質(zhì)桿對質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量,單位長度的質(zhì)量為:,2、均質(zhì)薄圓環(huán)對過圓心軸的轉(zhuǎn)動慣量,單位弧長的質(zhì)量為:,取微弧長為:,3、均質(zhì)薄圓盤對過圓心軸的轉(zhuǎn)動慣量,可將圓盤分割成無數(shù)小的圓環(huán),則各圓環(huán)質(zhì)量為:,另外:,二、平行移軸定理計(jì)算復(fù)雜形狀剛體轉(zhuǎn)動慣量,平行移軸定理:,即:剛體對某軸的轉(zhuǎn)動慣量,等于剛體對過其質(zhì)心且與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動慣量,加上剛體的質(zhì)量與兩軸間距離平方的乘積。,例1:求均質(zhì)細(xì)直桿對過其端點(diǎn)O的軸的

5、轉(zhuǎn)動慣量。,例2:求鐘擺對過點(diǎn)O的軸的轉(zhuǎn)動慣量。,解:,解:,桿對過點(diǎn)對過點(diǎn)O的軸的轉(zhuǎn)動慣量:,圓盤對過其質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量:,桿對過點(diǎn)對過點(diǎn)O的軸的轉(zhuǎn)動慣量,用平行移軸定理求得:,124 質(zhì)點(diǎn)系相對質(zhì)心的動量矩定理,本節(jié)主要研究:當(dāng)選擇質(zhì)心作為動量矩和力矩的矩心世,質(zhì)心的運(yùn)動對動量矩的影響。,(1),(2),1、質(zhì)點(diǎn)系相對固定點(diǎn)運(yùn)動的動量矩,(3),2、質(zhì)點(diǎn)系相對定坐標(biāo)系的運(yùn)動(絕對運(yùn)動)的對質(zhì)心的動量矩,(4),3、質(zhì)點(diǎn)系相對質(zhì)心的運(yùn)動(相對運(yùn)動)對質(zhì)心的動量矩,(5),將(2)式代入(4)得:,(6),將(1)式代入(3)得:,(7),將(7)式代入(6)得:,質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心的動量對固定點(diǎn)的動

6、量矩,質(zhì)點(diǎn)系相對質(zhì)心的運(yùn)動(相對運(yùn)動)對 質(zhì)心點(diǎn)的動量矩,(8),則第(8)式可寫為如下格式:,即:質(zhì)點(diǎn)系對于固定點(diǎn)的動量矩,等于質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心動量對該點(diǎn)的動量矩,與質(zhì)點(diǎn)系相對質(zhì)心的運(yùn)動對質(zhì)心動量矩的矢量和。,由動量矩定理:,左邊:,右邊:,質(zhì)點(diǎn)系相對質(zhì)心的動量矩定理,即:質(zhì)點(diǎn)系在相對質(zhì)心作平動的坐標(biāo)系的運(yùn)動中,相對質(zhì)心的動量矩對時間的導(dǎo)數(shù),等于質(zhì)點(diǎn)系上所有外力對質(zhì)心之矩的矢量和。,125 剛體的運(yùn)動微分方程,對轉(zhuǎn)動軸的動量矩為:,動量矩定理:,且,剛體定軸轉(zhuǎn)動時的運(yùn)動微分方程,一、定軸轉(zhuǎn)動剛體的運(yùn)動微分方程,二、平面運(yùn)動剛體的運(yùn)動微分方程,剛體相對質(zhì)心軸的動量矩定理為,剛體質(zhì)心運(yùn)動的運(yùn)動微分方程

7、為,(2),(1),(1)、(2)式共同成為剛體平面運(yùn)動的運(yùn)動微分方程為,例1:單擺將質(zhì)量為m的小球用長為的線懸掛于水平軸上,使其在重力作用下繞懸掛軸O在鉛直平面內(nèi)擺動。線自重不計(jì)且不可伸長,擺線由偏角 時從靜止開始釋放,求單擺的運(yùn)動規(guī)律。,解:將小球視為質(zhì)點(diǎn)。其速度為 且垂直于擺線。擺對軸的動量矩為,注意:在計(jì)算動量矩與力矩時,符號規(guī)定應(yīng)一致(在本題中規(guī)定逆時針轉(zhuǎn)向?yàn)檎?根據(jù)動量矩定理,有,即,(1),并令,則(1)式化為,解此微分方程,并將運(yùn)動初始條件帶入,即當(dāng)t=0時,由此可知,單擺的運(yùn)動是做簡諧振動。其振動周期為,解:軸與軸的定軸轉(zhuǎn)動微分方程分別為,例2:雙軸傳動系統(tǒng)中,傳動軸與對各自轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為 與 ,兩齒輪的節(jié)圓半徑分別為 與 ,齒數(shù)分別為 與 ,在軸上作用有主動力矩 ,在軸上作用有阻力矩 ,如圖所示。求軸的角加速度。,傳動比為:,聯(lián)立上述三式得:,例3:質(zhì)量為m半徑為R的均質(zhì)圓輪置放在傾角為 的斜面上,在重力的作用下由靜止開始運(yùn)動,設(shè)輪與斜面間的靜、動滑動摩擦系數(shù)分別為 、 ,不計(jì)滾動摩阻。試分析輪的運(yùn)動。,解:取輪為研究對象,根據(jù)平面運(yùn)動微分方程有,且,情況一:設(shè)接觸處絕對光滑。則F=0,情況二:設(shè)接觸處絕對粗糙。輪只滾不滑,做純滾動。F為靜滑動摩擦力。,例4:均質(zhì)滑輪A、B的質(zhì)量為 與 ,半徑分別為 與 ,物

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