2.1隨機(jī)變量及其分布函數(shù)

1、1,2.1 隨機(jī)變量及其分布函數(shù),一、隨機(jī)變量 二、分布函數(shù),2,一、隨機(jī)變量,例1 拋一枚硬幣,觀察正面1,反面2出 現(xiàn)的情況:,樣本空間=1, 2,引入一個(gè)定義在上的函數(shù) X :,由于試驗(yàn)結(jié)果的出現(xiàn)是隨機(jī)的,因此 X()的取值也是隨機(jī)的,3,例2 從包含兩件次品(a1,a2)和三件正品(b1,b2,b3)的五件產(chǎn)品中任意取出兩件:,以X表示抽取的兩件產(chǎn)品中包含的 次品個(gè)數(shù),則X是定義在上的一個(gè)函數(shù),樣本空間為:,即 X=X(),=a1,a2,a1,b1,a1,b2,a1,b3,a2,b1, a2,b2,a2,b3,b1,b2,b1,b3,b2,b3,4,具體寫(xiě)出這個(gè)函數(shù)如下:,X取什么值依

2、賴于試驗(yàn)結(jié)果,即X的 取值帶有隨機(jī)性,5,在實(shí)際問(wèn)題中，隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用數(shù)量來(lái)表示，由此就產(chǎn)生了隨機(jī)變量的概念.,6,1、有些試驗(yàn)結(jié)果本身與數(shù)值有關(guān)（本身就是一個(gè)數(shù)）.,例如，擲一顆骰子面上出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)；,七月份鄭州的最高溫度；,每天從鄭州下火車(chē)的人數(shù)；,昆蟲(chóng)的產(chǎn)卵數(shù)；,7,R,設(shè)E是隨機(jī)試驗(yàn),是其樣本空間,如果對(duì)每個(gè),總有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)X()與之對(duì)應(yīng), 則稱X()為定義在上的一個(gè)隨機(jī)變量,定義:,隨機(jī)變量常用X、Y 或、等表示,X(),8,隨機(jī)變量的特點(diǎn):,1. X的全部可能取值是互斥且完備的,2. X的部分可能取值描述隨機(jī)事件,9,隨機(jī)變量與函數(shù)變量的比較,函數(shù)變量:,隨機(jī)變量:,樣本空

3、間,實(shí)數(shù)集,這種實(shí)值函數(shù)與在高等數(shù)學(xué)中大家接觸到的函數(shù)一樣嗎？,10,定義了隨機(jī)變量后,就可以用隨機(jī) 變量的取值情況來(lái)刻劃隨機(jī)事件,在例2中,事件“取出的兩件產(chǎn)品中沒(méi)有 次品”,用X=0表示,且概率為: PX=0=0.3,事件“取出的兩件產(chǎn)品中至少有一件次 品”,用X1表示,且概率為: PX1=0.7,11,例如，從某一學(xué)校隨機(jī)選一學(xué)生，測(cè)量他的身高.,我們可以把可能的 身高看作隨機(jī)變量X,然后我們可以提出關(guān)于X的各種問(wèn)題.,如 P(X1.7)=？ P(X1.5)=?,P(1.5X1.7)=?,12,例3 在約會(huì)問(wèn)題中，樣本空間為,設(shè)X表示甲到達(dá)約定地點(diǎn)的時(shí)刻，則X為隨機(jī)變量。試求：對(duì)于給定的

4、實(shí)數(shù)a,事件 的概率 。,13,則：,14,有了隨機(jī)變量,隨機(jī)試驗(yàn)中的各種事件，就可以通過(guò)隨機(jī)變量的關(guān)系式表達(dá)出來(lái).,引入隨機(jī)變量的意義,如：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)某電話交換臺(tái)收到的呼叫次數(shù)用X表示，它是一個(gè)隨機(jī)變量.,事件收到不少于1次呼叫 X 1,沒(méi)有收到呼叫 X= 0,15,隨機(jī)變量概念的產(chǎn)生是概率論發(fā)展史上的重大事件. 引入隨機(jī)變量后，對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的研究，就由對(duì)事件及事件概率的研究擴(kuò)大為對(duì)隨機(jī)變量及其取值規(guī)律的研究.,事件及 事件概率,隨機(jī)變量及其 取值規(guī)律,16,二、分布函數(shù),對(duì)隨機(jī)變量的概率分布情況進(jìn)行刻畫(huà),定義:,設(shè)X是一隨機(jī)變量,稱函數(shù) F(x)=P(Xx), x+ 為X的分布函數(shù),

5、x,X,顯然,有: 0F(x)1,17,X,且Xx1Xx2,故: P(x1Xx2)=PXx2PXx1,另, P(x1Xx2)=F(x2) F(x1) (x1x2), x1Xx2=Xx2Xx1,=F(x2) F(x1),18,(1)F(x)是x的不減函數(shù),即若x1x2 ,則F(x1)F(x2),(2),理解:,當(dāng)x+時(shí),Xx越接近于必然事件,性質(zhì):,19,(3)右連續(xù)性: 對(duì)任意實(shí)數(shù)x ,具有上述三個(gè)性質(zhì)的實(shí)函數(shù)必是某 隨機(jī)變量的分布函數(shù).該三個(gè)性質(zhì)是分布 函數(shù)的充分必要性質(zhì),20,例4 設(shè)一個(gè)箱子中有依次標(biāo)有-1，2，2，3數(shù)字 的4個(gè)乒乓球，從中任取一個(gè)乒乓球記隨機(jī)變量X 為取得的乒乓球上標(biāo)

6、有的數(shù)字,求X的分布函數(shù)，并 分別求 解 可能取的值為-1，2，3，由古典概率的計(jì)算公 式，可知取這些值的概率依次為0.25,0.5,0.25 . 當(dāng)x -1時(shí) X x是不可能事件，因此 F(x)= 0 當(dāng)-1 x 2時(shí) X x等同于X= -1，因此 F(x)= 0.25,21,當(dāng)2 x 3時(shí) X x 等同于X = -1或X = 2， 因此 F(x)= 0.25+0.5=0.75 當(dāng)3 x時(shí) X x是必然事件，因此 F(x)= 1。 綜合起來(lái)， F(x)的表達(dá)式為：,22,分布函數(shù)F(x)的圖像如下：,23,小 結(jié),1.概率論是從數(shù)量上來(lái)研究隨機(jī)現(xiàn)象內(nèi)在規(guī)律性的，因此為了方便有力的研究隨機(jī)現(xiàn)象， 就需將隨機(jī)事件數(shù)量化，把一些非數(shù)量表示的