高等數(shù)學(xué)方明亮版數(shù)學(xué)課件84 重積分的應(yīng)用.ppt

1、2020年10月1日星期四,1,第四節(jié) 重積分的應(yīng)用,第八章,(Application of Multiple Integrals),一、曲面的面積,二、質(zhì)心,三、轉(zhuǎn)動慣量,四、引力,五、小結(jié)與思考練習(xí),2020年10月1日星期四,2,一、曲面的面積,設(shè)光滑曲面,則面積 A 可看成曲面上各點,處小切平面的面積 d A 無限積累而成.,設(shè)它在 D 上的投影為 d ,(稱為面積元素),則,(Area of Surface),2020年10月1日星期四,3,故有曲面面積公式,若光滑曲面方程為,則有,即,2020年10月1日星期四,4,若光滑曲面方程為,若光滑曲面方程為隱式,則,則有,且,2020年1

2、0月1日星期四,5,解:,2020年10月1日星期四,6,二、質(zhì)心,設(shè)空間有n個質(zhì)點,其質(zhì)量分別,由力學(xué)知, 該質(zhì)點系的質(zhì)心坐標(biāo),設(shè)物體占有空間域 ,有連續(xù)密度函數(shù),則,公式 ,分別位于,為,為,即:,采用 “大化小, 常代變, 近似和, 取極限” 可導(dǎo)出其質(zhì)心,（Centroid）,2020年10月1日星期四,7,將 分成 n 小塊,將第 k 塊看作質(zhì)量集中于點,例如,令各小區(qū)域的最大直徑,系的質(zhì)心坐標(biāo)就近似該物體的質(zhì)心坐標(biāo).,的質(zhì)點,即得,此質(zhì)點,在第 k 塊上任取一點,2020年10月1日星期四,8,則得形心坐標(biāo)：,同理可得,2020年10月1日星期四,9,若物體為占有xoy 面上區(qū)域

3、D 的平面薄片,(A 為 D 的面積),得D 的形心坐標(biāo):,則它的質(zhì)心坐標(biāo)為,其面密度, 對 x 軸的 靜矩, 對 y 軸的 靜矩,2020年10月1日星期四,10,的方程為,內(nèi)儲有高為 h 的均質(zhì)鋼液,解: 利用對稱性可知質(zhì)心在 z 軸上，,采用柱坐標(biāo), 則爐壁方程為,因此,故,自重, 求它的質(zhì)心. (補(bǔ)充題）,若爐,不計爐體的,其坐標(biāo)為,例2 一個煉鋼爐為旋轉(zhuǎn)體形, 剖面壁線,2020年10月1日星期四,11,2020年10月1日星期四,12,三、轉(zhuǎn)動慣量,設(shè)物體占有空間區(qū)域 , 有連續(xù)分布的密度函數(shù),該物體位于(x , y , z) 處的微元,因此物體 對 z 軸 的轉(zhuǎn)動慣量:,對 z

4、軸的轉(zhuǎn)動慣量為,因質(zhì)點系的轉(zhuǎn)動慣量等于各質(zhì)點的轉(zhuǎn)動慣量之和,故,連續(xù)體的轉(zhuǎn)動慣量可用積分計算.,(Moment of Inertia),2020年10月1日星期四,13,對 x 軸的轉(zhuǎn)動慣量,對 y 軸的轉(zhuǎn)動慣量,對原點的轉(zhuǎn)動慣量,類似可得:,2020年10月1日星期四,14,面密度為,則轉(zhuǎn)動慣量的表達(dá)式是二重積分.,如果物體是平面薄片,2020年10月1日星期四,15,解: 取球心為原點, z 軸為 l 軸,則,球體的質(zhì)量,設(shè)球,所占域為,(用球坐標(biāo)),（補(bǔ)充題）,例3 求密度為均勻球體對于過球心的一條軸 l 的轉(zhuǎn)動慣量.,2020年10月1日星期四,16,G 為引力常數(shù),四、引力,設(shè)物體占

5、有空間區(qū)域 ,物體對位于原點的單位質(zhì)量質(zhì)點的引力,利用元素法,在上積分即得各引力分量:,其密度函數(shù),引力元素在三坐標(biāo)軸上的投影分別為,(Gravitation),2020年10月1日星期四,17,對 xoy 面上的平面薄片D ,它對原點處的單位質(zhì)量質(zhì)點,的引力分量為,2020年10月1日星期四,18,對位于,的單位質(zhì)量質(zhì)點的引力.（課本 例6）,解: 利用對稱性知引力分量,點,例4 求半徑 R 的均勻球,2020年10月1日星期四,19,2020年10月1日星期四,20,內(nèi)容小結(jié),幾何應(yīng)用：曲面的面積,物理應(yīng)用：質(zhì)心、轉(zhuǎn)動慣量、,對質(zhì)點的引力,課外練習(xí),習(xí)題84 1 ； 2 ；3；4（3）；7（3）；9（2）；14,2020年10月1日星期四,21,思考練習(xí),( t 為時間) 的雪堆在融化過程中,其,側(cè)面滿足方程,設(shè)長度單位為厘米,時間單位為小時,設(shè)有一高度為,已知體積減少的速率與側(cè)面積成正比,(比例系數(shù) 0.9 ),問高度為130 cm 的雪堆全部融化需要,多少小時? (2001考研),2020年10月1日星期四,22,記雪堆體積