微積分課件(導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用-南京大學(xué)).ppt

1、南京 *大學(xué) 高數(shù)教研室,微積分教學(xué)課件,第五章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,精品課程 序 言 第1章 函 數(shù) 第2章 導(dǎo) 數(shù) 第3章 定積分 第4章 求導(dǎo)方法 第5章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 第6章 求積分方法 第7章 定積分應(yīng)用 第8章 微分方程,內(nèi)容導(dǎo)航 前 言 理論基礎(chǔ)：中值定理 一階導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 二階導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 數(shù)學(xué)建模：最優(yōu)化模型,第五章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,精品課程 序 言 第1章 函 數(shù) 第2章 導(dǎo) 數(shù) 第3章 定積分 第4章 求導(dǎo)方法 第5章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 第6章 求積分方法 第7章 定積分應(yīng)用 第8章 微分方程,前 言 本章我們進(jìn)一步用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的特性，并由此解決一些實(shí)際問題。 導(dǎo)數(shù)可應(yīng)用于求各種變化率，如求變速

2、直線運(yùn)動的速度、加速度、切線的斜率，經(jīng)濟(jì)的邊際等問題。 用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題，可統(tǒng)稱為數(shù)學(xué)建模。 最后介紹微分的概念及應(yīng)用,5-1 理論基礎(chǔ):中值定理,精品課程 序 言 第1章 函 數(shù) 第2章 導(dǎo) 數(shù) 第3章 定積分 第4章 求導(dǎo)方法 第5章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 第6章 求積分方法 第7章 定積分應(yīng)用 第8章 微分方程,拉格朗日中值定理 設(shè)函數(shù)由于y=f(x)在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，則必定在（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)x0使得,如圖所示,x,y,0,b,a,x0,y=f(x),5-1 理論基礎(chǔ):中值定理,精品課程 序 言 第1章 函 數(shù) 第2章 導(dǎo) 數(shù) 第3章 定積分 第4章 求導(dǎo)方法

3、 第5章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 第6章 求積分方法 第7章 定積分應(yīng)用 第8章 微分方程,例1 試證當(dāng)x0時，有,令f(t)=ln(1+t)，則f(t)在0，x上滿足拉格 朗日中值定理，則,其中,即,因?yàn)?所以,證,5-1 理論基礎(chǔ):中值定理,精品課程 序 言 第1章 函 數(shù) 第2章 導(dǎo) 數(shù) 第3章 定積分 第4章 求導(dǎo)方法 第5章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 第6章 求積分方法 第7章 定積分應(yīng)用 第8章 微分方程,例2 試證當(dāng),有,則yf(x)在a，b是增函數(shù)。,任,，由于,說明可用中值定理有,其中,由已知,，,故,，,證得f(x)在a，b遞增。,證,在a，b存在；,應(yīng)用此中值定理注意（構(gòu)造）什么函數(shù)在什么區(qū)間上運(yùn)用。

4、,拉格朗日中值定理是導(dǎo)數(shù)與函數(shù)聯(lián)系的橋梁。,5-2 一階導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,精品課程 序 言 第1章 函 數(shù) 第2章 導(dǎo) 數(shù) 第3章 定積分 第4章 求導(dǎo)方法 第5章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 第6章 求積分方法 第7章 定積分應(yīng)用 第8章 微分方程,函數(shù)單調(diào)性的判定,設(shè)函數(shù)y=f(x)在a,b連續(xù)，（a,b）可導(dǎo)，那么,例3 判別函數(shù) 的單調(diào)性 解,5-2 一階導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,精品課程 序 言 第1章 函 數(shù) 第2章 導(dǎo) 數(shù) 第3章 定積分 第4章 求導(dǎo)方法 第5章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 第6章 求積分方法 第7章 定積分應(yīng)用 第8章 微分方程,例4 求函數(shù),的單調(diào)區(qū)間。,令,得,，,解,函數(shù)的定義域?yàn)?數(shù)軸上討論，如圖,在,區(qū)間

5、取,代入,得,在,區(qū)間取x=0,代入,得,區(qū)間取,代入,得,在,得 函數(shù)在,和,上遞增；在,上遞減。,5-2 一階導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,精品課程 序 言 第1章 函 數(shù) 第2章 導(dǎo) 數(shù) 第3章 定積分 第4章 求導(dǎo)方法 第5章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 第6章 求積分方法 第7章 定積分應(yīng)用 第8章 微分方程,重要說明:,，,解題步驟：1.求導(dǎo),；2.令,，求駐點(diǎn)xi,和奇點(diǎn)xi（y不可導(dǎo)的點(diǎn)，見下例）；,首先求出函數(shù)的定義域，因?yàn)橐押瘮?shù)的定義域討論完，,技巧是只須取一好計算的點(diǎn)x0，這有“投石問路”的方法技巧。,確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間的依據(jù)為：,的點(diǎn)）,（,.數(shù)軸上以xi（駐點(diǎn)、奇點(diǎn)可統(tǒng)稱為分界點(diǎn)）分區(qū)間討論,正負(fù)號，得

6、結(jié)論。,以及定義域外不討論單調(diào)性；關(guān)于討論一個區(qū)間上 符號，,5-2 一階導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,精品課程 序 言 第1章 函 數(shù) 第2章 導(dǎo) 數(shù) 第3章 定積分 第4章 求導(dǎo)方法 第5章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 第6章 求積分方法 第7章 定積分應(yīng)用 第8章 微分方程,例5 確定,函數(shù)的定義域?yàn)?的單調(diào)區(qū)間。,解,由于,則無駐點(diǎn)；,則x=0為奇點(diǎn),當(dāng)x=0時,不存在，,（也可以是單調(diào)區(qū)間分界點(diǎn)）,討論,得函數(shù)在,遞減，,遞增。,5-2 一階導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,精品課程 序 言 第1章 函 數(shù) 第2章 導(dǎo) 數(shù) 第3章 定積分 第4章 求導(dǎo)方法 第5章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 第6章 求積分方法 第7章 定積分應(yīng)用 第8章 微分方程,函數(shù)的極

7、大值和極小值,定義 設(shè)函數(shù)yf(x)在（a，b）有意義，,，若x0附近的函數(shù)值都大于（或都小于）f(x0)，則稱f(x0)為函數(shù)f(x)的一個極大值（或極小值），點(diǎn)x0叫函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)（或極小值點(diǎn)）。 函數(shù)的極大值和極小值統(tǒng)稱為極值。極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)。 注意: 極值是局部概念-局部最大或最?。灰粋€函數(shù)在一個區(qū)間內(nèi)只可能有一個最大值、一個最小值，但可能有多個極大值和極小值。,5-2 一階導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,精品課程 序 言 第1章 函 數(shù) 第2章 導(dǎo) 數(shù) 第3章 定積分 第4章 求導(dǎo)方法 第5章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 第6章 求積分方法 第7章 定積分應(yīng)用 第8章 微分方程,如何求函數(shù)的極值？

8、 如下圖所示： 可見，極值與函數(shù)的單調(diào)性密切聯(lián)系，極值就是函數(shù)單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)。因而可以通過求單調(diào)區(qū)間來求極值。,x,y,0,y=f(x),x1,x2,x3,x4,5-2 一階導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,精品課程 序 言 第1章 函 數(shù) 第2章 導(dǎo) 數(shù) 第3章 定積分 第4章 求導(dǎo)方法 第5章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 第6章 求積分方法 第7章 定積分應(yīng)用 第8章 微分方程,例6 求函數(shù),的極值。,f(x)的定義域?yàn)?令,解,得駐點(diǎn),討論如圖,得，當(dāng)x=1時，函數(shù)有極大值f(1)=2； 當(dāng)x=2時，函數(shù)有極小值f(2)=1。,5-2 一階導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,精品課程 序 言 第1章 函 數(shù) 第2章 導(dǎo) 數(shù) 第3章 定積分 第4章

9、求導(dǎo)方法 第5章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 第6章 求積分方法 第7章 定積分應(yīng)用 第8章 微分方程,說明 求函數(shù)極值的方法與步驟：,令,分區(qū)間討論,將極值點(diǎn)代入f(x)算出極值。,求,。,，求一階駐點(diǎn)和奇點(diǎn)xi。,的正負(fù)號，確定單調(diào)區(qū)間,進(jìn)而確定極值點(diǎn)。,5-2 一階導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,精品課程 序 言 第1章 函 數(shù) 第2章 導(dǎo) 數(shù) 第3章 定積分 第4章 求導(dǎo)方法 第5章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 第6章 求積分方法 第7章 定積分應(yīng)用 第8章 微分方程,例7 求函數(shù),的極值。,函數(shù)的定義域?yàn)?解,令,得,討論如圖,得 函數(shù)的極小值為,，駐點(diǎn),不是極值點(diǎn)。,5-2 一階導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,精品課程 序 言 第1章 函 數(shù) 第2章 導(dǎo)

10、數(shù) 第3章 定積分 第4章 求導(dǎo)方法 第5章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 第6章 求積分方法 第7章 定積分應(yīng)用 第8章 微分方程,例8 求函數(shù),的極值。,函數(shù)的定義域?yàn)?解,奇點(diǎn),，駐點(diǎn),討論如圖,得，函數(shù)的極大值為,，極小值為,5-3 二階導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,精品課程 序 言 第1章 函 數(shù) 第2章 導(dǎo) 數(shù) 第3章 定積分 第4章 求導(dǎo)方法 第5章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 第6章 求積分方法 第7章 定積分應(yīng)用 第8章 微分方程,曲線凹凸區(qū)間的判定（如圖）,直觀看曲線“往上彎”為凹，每點(diǎn)切線在曲線下方； 曲線“往下彎”為凸，每點(diǎn)切線在曲線上方。,x,y,0,x,y,0,a,b,b,a,y=f(x),y=f(x),a圖,b圖,5-

11、3 二階導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,精品課程 序 言 第1章 函 數(shù) 第2章 導(dǎo) 數(shù) 第3章 定積分 第4章 求導(dǎo)方法 第5章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 第6章 求積分方法 第7章 定積分應(yīng)用 第8章 微分方程,進(jìn)一步觀察曲線凹凸性與切線的關(guān)系 a圖曲線是凹的,切線的傾斜角,為銳角，且由小變大，,是遞增的，,有f(x)遞增，則表明,有,遞增，反之亦然，這就得到,有f(x)凹；(b）圖同理有,，f(x)凸。,回憶,曲線上凹凸的分界點(diǎn)叫做曲線的拐點(diǎn)。,5-2 二階導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,精品課程 序 言 第1章 函 數(shù) 第2章 導(dǎo) 數(shù) 第3章 定積分 第4章 求導(dǎo)方法 第5章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 第6章 求積分方法 第7章 定積分應(yīng)用 第8章 微分方

12、程,例9 求,的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)。,解 函數(shù)的定義域?yàn)?，令,（為二階駐點(diǎn)）,討論如圖,得 曲線在,凸，在,凹，拐點(diǎn)為（3，-146）。,x,3,-,+,104,52,-146,-464,6,3,-2,x,y,草圖,5-3 二階導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,5-3 二階導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,精品課程 序 言 第1章 函 數(shù) 第2章 導(dǎo) 數(shù) 第3章 定積分 第4章 求導(dǎo)方法 第5章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 第6章 求積分方法 第7章 定積分應(yīng)用 第8章 微分方程,求曲線凹凸區(qū)間、拐點(diǎn)與 單調(diào)區(qū)間、極值的步驟與要點(diǎn)類似：,、,（2）求二階駐點(diǎn)和奇點(diǎn)xi；,其分界點(diǎn)xi代回函數(shù)f(x)，并算出f(xi)，則有拐點(diǎn)。,（1）求,；,（3）由xi

13、分區(qū)間討論,符號確定凹凸區(qū)間；,5-3 二階導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,精品課程 序 言 第1章 函 數(shù) 第2章 導(dǎo) 數(shù) 第3章 定積分 第4章 求導(dǎo)方法 第5章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 第6章 求積分方法 第7章 定積分應(yīng)用 第8章 微分方程,例10 求曲線,的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)。,解 函數(shù)的定義域?yàn)?，,有二階奇點(diǎn)x=0，討論如圖,得 曲線在,凸，在,可見，二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也可能是曲線的拐點(diǎn),凹，拐點(diǎn)為（0，0）,x,0,-,+,5-3 二階導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,精品課程 序 言 第1章 函 數(shù) 第2章 導(dǎo) 數(shù) 第3章 定積分 第4章 求導(dǎo)方法 第5章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 第6章 求積分方法 第7章 定積分應(yīng)用 第8章 微分方程,曲線形態(tài)判

14、別方法小結(jié),曲線增減與極值 1、,極值為增減區(qū)間分界點(diǎn) 2、步驟 （1）求,（2）求一階駐點(diǎn)、奇點(diǎn)xi； （3）以xi分區(qū)間討論,曲線凹凸與拐點(diǎn) 1、,拐點(diǎn)為凹凸區(qū)間分界點(diǎn) 2、步驟 （1）求,、,（2）求二階駐點(diǎn)、奇點(diǎn)xi （3）以xi分區(qū)間討論,；,符號確定增減區(qū)間與極值,符號確定凹凸區(qū)間與拐點(diǎn),5-4 數(shù)學(xué)建模：最優(yōu)化問題,精品課程 序 言 第1章 函 數(shù) 第2章 導(dǎo) 數(shù) 第3章 定積分 第4章 求導(dǎo)方法 第5章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 第6章 求積分方法 第7章 定積分應(yīng)用 第8章 微分方程,求出某些量的最大值和最小值對于許多實(shí)際問題都顯得十分重要。 例如求時間最短、利潤最大、成本最低等等。相應(yīng)，大

15、學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽題幾乎都是優(yōu)化問題，或說必須用優(yōu)化思想、方法去分析解決。初等數(shù)學(xué)中用二次函數(shù)、三角函數(shù)、不等式等等方法可以求函數(shù)最值，這里我們將看到，高等數(shù)學(xué)用導(dǎo)數(shù)如何提供一種更有效的方法來解決許多最優(yōu)化問題。,5-4 數(shù)學(xué)建模：最優(yōu)化問題,精品課程 序 言 第1章 函 數(shù) 第2章 導(dǎo) 數(shù) 第3章 定積分 第4章 求導(dǎo)方法 第5章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 第6章 求積分方法 第7章 定積分應(yīng)用 第8章 微分方程,例13 求,在-3，3上的最大值和最小值。,從以上討論可知，函數(shù)最值只可能在函數(shù)極值或區(qū) 間端點(diǎn)處，于是求函數(shù)最值的方法是先求f(x)的極 值可能點(diǎn)xi，再求f(xi)和f(a)、f(b) ，從中比

16、較出最 大的為最大值，最小的為最小值。,解,，令,得駐點(diǎn),，,，,計算得f(-2)=f(2)=-15，f(0)=1，f(-3)=f(3)=10。,比較 得函數(shù)在-3，3上的最大值為f(-3)=f(3)=10， 最小值為f(-2)=f(2)=-15。,5-4 數(shù)學(xué)建模：最優(yōu)化問題,精品課程 序 言 第1章 函 數(shù) 第2章 導(dǎo) 數(shù) 第3章 定積分 第4章 求導(dǎo)方法 第5章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 第6章 求積分方法 第7章 定積分應(yīng)用 第8章 微分方程,例14 生產(chǎn)易拉罐飲料，其容積V一定時，希望制易拉罐 的材料最省。假設(shè)易拉罐側(cè)面和底面的厚度相同，而頂 部的厚度是底、側(cè)面厚度的三倍，試求易拉罐的高和底 面的直

17、徑。市場上的易拉罐，其高和底面直徑之比是否 符合你得到的結(jié)論。,解,假定易拉罐是圓柱形，設(shè)其高為h，底面圓半徑為r，,，則頂?shù)暮穸葹?故所需材料為,再設(shè)底、側(cè)面金屬板的厚度為,再由已知條件消去一個變元，即r、h滿足約束條件,（定值）,代入上式,將,5-4 數(shù)學(xué)建模：最優(yōu)化問題,精品課程 序 言 第1章 函 數(shù) 第2章 導(dǎo) 數(shù) 第3章 定積分 第4章 求導(dǎo)方法 第5章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 第6章 求積分方法 第7章 定積分應(yīng)用 第8章 微分方程,計算,令,，解得,討論如圖,故,是f(r)唯一的極小值，因而是最小值點(diǎn),此時，易拉罐的直徑為,易拉罐的高為,即易拉罐的高是底面直徑的一倍。市場上不少易拉罐， 如可

18、口可樂、椰汁等，與此結(jié)果近似。,r,0,-,-,5-4 數(shù)學(xué)建模：最優(yōu)化問題,精品課程 序 言 第1章 函 數(shù) 第2章 導(dǎo) 數(shù) 第3章 定積分 第4章 求導(dǎo)方法 第5章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 第6章 求積分方法 第7章 定積分應(yīng)用 第8章 微分方程,在開區(qū)間上如何求最值？有這樣的結(jié)論，實(shí)際問題中：可知有最?。ù螅┲荡嬖诙瘮?shù)只有一個極?。ù螅┲祫t這個極小（大）就是最?。ù螅┲怠?注意：最值與極值的關(guān)系,5-4 數(shù)學(xué)建模：最優(yōu)化問題,精品課程 序 言 第1章 函 數(shù) 第2章 導(dǎo) 數(shù) 第3章 定積分 第4章 求導(dǎo)方法 第5章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 第6章 求積分方法 第7章 定積分應(yīng)用 第8章 微分方程,4.題設(shè)中已知什

19、么條件，將其表示出來（約束條件）， 將約束條件代入目標(biāo)函數(shù)消元、化簡；,數(shù)學(xué)建模實(shí)用提示,1.最優(yōu)化模型通常是由目標(biāo)函數(shù)與約束條件構(gòu)成；,2.全面分析問題，確認(rèn)優(yōu)化哪個量，則考慮求其函 數(shù)（目標(biāo)函數(shù)）；,3.求目標(biāo)函數(shù)需要依據(jù)（找）某些公式，如面積、 體積公式、路程公式、勾股定理、三角公式、牛頓 定律、浮力定律等等；,5.用導(dǎo)數(shù)方法求極值進(jìn)而求出最值。,5-5 微分：導(dǎo)數(shù)的代數(shù)應(yīng)用,精品課程 序 言 第1章 函 數(shù) 第2章 導(dǎo) 數(shù) 第3章 定積分 第4章 求導(dǎo)方法 第5章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 第6章 求積分方法 第7章 定積分應(yīng)用 第8章 微分方程,如果說用導(dǎo)數(shù)判定確定函數(shù)的單調(diào)性、極值、曲線的凹凸性、

20、拐點(diǎn)，是導(dǎo)數(shù)在幾何上的應(yīng)用，那么這里“微分”則主要是導(dǎo)數(shù)在代數(shù)上的應(yīng)用。因?yàn)椤拔⒎帧钡闹饕獑栴}是函數(shù)的近似計算如何求一個函數(shù)的改變量？ 微分的概念及思想 設(shè)函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)存在，即，由極限的概念 令，稱它為函數(shù)f(x)的微分。并記 ，則,5-5 微分：導(dǎo)數(shù)的代數(shù)應(yīng)用,精品課程 序 言 第1章 函 數(shù) 第2章 導(dǎo) 數(shù) 第3章 定積分 第4章 求導(dǎo)方法 第5章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 第6章 求積分方法 第7章 定積分應(yīng)用 第8章 微分方程,例16 求函數(shù)的微分 解 需要注意： (1)微分的意義 由于，說明可以用微分求函數(shù)的 改變量，即 這里越小近似程度越好。 (2)微分的思想 如下圖所示：,5-5 微分

21、：導(dǎo)數(shù)的代數(shù)應(yīng)用,精品課程 序 言 第1章 函 數(shù) 第2章 導(dǎo) 數(shù) 第3章 定積分 第4章 求導(dǎo)方法 第5章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 第6章 求積分方法 第7章 定積分應(yīng)用 第8章 微分方程,如右圖所示：MT是y=f(x)在M點(diǎn)的切線 微分，當(dāng)較小時， 可用直線MT來近似曲線MP （或說用三角形MTN近似曲邊三角形MPN）。 可見，“以直代曲”是微分的一個基本思想。 于是，可顧名思義，把“微分”看作動詞，意思為“無限細(xì)分”，而把“微分”看作名詞，意思為“微小的一部分”。,x,0,y,M,P,T,N,x,X+X,y=f(x),5-5 微分：導(dǎo)數(shù)的代數(shù)應(yīng)用,精品課程 序 言 第1章 函 數(shù) 第2章 導(dǎo) 數(shù) 第3章 定積分 第4章 求導(dǎo)方法 第5章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 第6章 求積分方法 第7章 定積分應(yīng)用 第8章 微分方程,(3) 微分的計算 由于，因此，“求微分就是求導(dǎo)數(shù)” （并且在存在的情況下，可微與