數(shù)列與函數(shù)例題分析

1、第26課 數(shù)列與函數(shù)考試目標(biāo) 主詞填空1.函數(shù)的定義域常要推導(dǎo)或計算才能確定，而數(shù)列的定義域都是已知的，是事先確定的，要么是集合1，2，3，n.要么是1，2，3，n，.2.函數(shù)的值域須依其定義域推算確定，數(shù)列的值域也是計算所得：且為a1，a2，an或a1，a2，a3，an，.3.函數(shù)的圖像最常見的是連續(xù)不斷的曲線(若是分段函數(shù)則在每一段上是連續(xù)不斷的曲線)，而數(shù)列對應(yīng)的點(diǎn)(n，an)描繪出來的圖形是一些“孤零零的點(diǎn)”，不是線狀圖形.4.函數(shù)的單調(diào)性考察，須在其定義域內(nèi)任取x1，x2，不妨設(shè)x1x2，然后比較f(x1)與f(x2)的大小關(guān)系是否恒定.而數(shù)列an的單調(diào)性考察，只須比較對一切n，an

2、與an+1的大小關(guān)系即可.5.函數(shù)的最值，在數(shù)列中就是“最大項”或“最小項”.6.函數(shù)的作圖，往往要利用函數(shù)的各種性質(zhì)或用“變換”作圖，而數(shù)列的圖形只須描點(diǎn)即可.題型示例 點(diǎn)津歸納【例1】 填空題.(1)函數(shù)f(x)=sin(xn*)的值域是 ，最大函數(shù)值為 .(2)當(dāng)且僅當(dāng)n= 時，數(shù)列n2-21n單調(diào)增. 【解前點(diǎn)津】 (1)考察函數(shù)在一個周期內(nèi)的取值情況即可. (2)an=n2-21n解不等式：anan+1即得. 【規(guī)范解答】 (1)f(1)=sin，f(2)=sin，f(3)=sin=sin，f(4)=sin=sin，f(5)=0，故值域為.(2)令an=n2-21n.由anan+1得

3、，n2-21n10.故n11，12，13，.【解后歸納】 考察數(shù)列an的單調(diào)性，關(guān)鍵是看anan+1)成立與否. 【例2】 判斷并證明函數(shù)f(x)=-(xn*)的單調(diào)性. 【解前點(diǎn)津】 化函數(shù)f(x)為再比較f(x+1)與f(x)的大小.【規(guī)范解答】 證明：f(x)= 0(xn*),故=1，f(x+1)0，a1)，設(shè)y3=18，y6=12.(1)數(shù)列yn的前多少項和最大?最大值為多少?(2)試判斷是否存在自然數(shù)m，使得nm時，xn1恒成立，若存在，求出相應(yīng)的m；若不存在，請說明理由.(3)令an=logxn+1(n13，nn*),試比較an與an+1的大小.【解前點(diǎn)津】 通過計算yn+1-yn

4、，考察yn的屬性，才能計算其前n項和.【規(guī)范解答】 (1)yn=2logaxn，yn+1=2logaxn+1yn+1-yn=2logaxn+1-2logaxn=2loga，xn為等比數(shù)列，為定值，yn為等差數(shù)列，又y6-y3=3d=12-18，d=-2.y1=y3-2d=22，sn=22n+(-2)=-n2+23n，當(dāng)n=11或n=12時，sn取最大值132.(2)已知yn=22+(n-1)(-2)=2logaxn，xn=a12-n，又xn=a12-n1恒成立，當(dāng)a1時，12-n0，n12；當(dāng)0a1時，12-n12.當(dāng)0am時，xn1恒成立.(3)an=log=1+，已知an在(13，+)上是

5、減函數(shù)，anan+1.【解后歸納】 存在性問題，常從計算，假設(shè)存在推導(dǎo)入手，值得注意的是：假設(shè)應(yīng)與條件背景相符合，對結(jié)果進(jìn)行檢驗.對應(yīng)訓(xùn)練 分階提升一、基礎(chǔ)夯實1.數(shù)列an是公差不為0的等差數(shù)列，且a7、a10、a15是等比數(shù)列bn的連續(xù)三項，若等比數(shù)列bn的首項b1=3，則b2等于 ( )a. b.5 c.2 d.2.在數(shù)列an中，an=n2-22n+10，則滿足am=an(mn)的等式有 ( )a.8個 b.9個 c.10個 d.11個3.已知an=sin+cos，則無窮數(shù)列an中 ( )a.有最大項無最小項 b.有最小項無最大項c.既有最大項又有最小項 d.既無最大項又無最小項4.設(shè)an

6、=cos()，則數(shù)列an ( )a.單調(diào)遞增 b.單調(diào)遞減c.先遞增后遞減 d.先遞減后遞增5.設(shè)an=an+bn且a1=1，a2=5，則a4 ( )a.71 b.72 c.73 d.746.設(shè)數(shù)列xn，yn滿足遞推關(guān)系式組：xn+xnyn=1-n+n2-n3及yn+xnyn=2n2-n3，則以下結(jié)論正確的是( )a.xn是遞增數(shù)列，yn是遞減數(shù)列b.xn是遞減數(shù)列，yn是遞增數(shù)列c.xn與yn都是遞增數(shù)列d.xn與yn都是遞減數(shù)列7.設(shè)an=log(4n-2n+5+259)，則在無窮數(shù)列an中，必有 ( )a.最大項是-1 b.最小項是-1c.最大項是1 d.最小項是18.已知正項無窮數(shù)列x

7、n，yn滿足遞推關(guān)系：2xn-yn=n，3x-y=3n2-1,則的值為 ( )a.5 b.4 c.3 d.29.若無窮數(shù)列各項和為s，則log2s的值為 ( )a.1 b.-1 c. d.10.無窮數(shù)列l(wèi)ogm(n2-2n+8)中的最大項是-1，則m ( )a.(1，+) b.(0，) c.(，1) d.二、思維激活11.在數(shù)列an中，若a1=1，an+1=n+an，則a2004= .12.數(shù)列中最大項的值是 .13.已知數(shù)列an各項為非負(fù)實數(shù)，且滿足：+a=1，則此數(shù)列各項之和為 .14.已知數(shù)列an中，an=1+x+2x2+3x3+nxn.則此數(shù)列前4項之和是 .三、能力提高15.已知函數(shù)

8、f(x)=abx的圖像過點(diǎn)a(1，)和b(2，).(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)記an=log2f(n)，n是正整數(shù)，sn是數(shù)列an的前n項和，求s30.16.已知一次函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x-y=0對稱的圖像為c.且ff(1)=-1，若點(diǎn)(n，)(nn*)在曲線c上并有a1=1，-=1 (n2).(1)求f(x)的解析式及曲線c的方程；(2)求數(shù)列an的通項公式；(3)設(shè)sn=+，求：sn之值. 17.設(shè)f(x)=sinx，xr，求f(1)+f(2)+f(3)+f(2004)之值.18.在數(shù)列an中，an+1+an=3n-54 (nn*).(1)若a1+20=0，求通項an；(2)

9、設(shè)sn為an的前n項和，證明：當(dāng)a1+270時，存在自然數(shù)m，使得當(dāng)n=m時，和|an+1+an|都取得最小值，并求此時m的值.第5課 數(shù)列與函數(shù)習(xí)題解答1.b a=a7a15，(a1+9d)2=(a1+6d)(a1+14d)a1=-d公比q=，b2=3=5.2.c an=(n-11)2-111，函數(shù)y=(x-11)2-111的對稱軸x=11其對稱點(diǎn)有10對.3.a an=sin(+)，故a1a2a3an. 4.a an=cos是遞增. 5.c 其中an=3n-2n.6.b 解關(guān)于xn，yn的二元方程組得：xn=1-n，yn=n2.7.a 注意到f(n)=4n-2n+5+259=(2n-24)

10、2+33.即n=4時有最小值3.8.d 解關(guān)于xn及yn的二元二次方程組得：xn=2n-1，yn=3n-2.9.b s=故為-1.10.d 令an=logm(n2-2n+8)，則a1=logm7=-1m=.11.由an+1-an=n(ak+1-ak)=kan-a1=(n-1)，an=1+，a2004=1+20031002=2007007. 12.這是一個周期數(shù)列.當(dāng)n=1時值為，當(dāng)n=2時值為，n=3時無意義，故此數(shù)列只兩項.13.n1，2，3，4，5.此數(shù)列只有5項，且點(diǎn)(n，an)在橢圓上.an=，a1+a2+a3+a4+a5=+=+=(7+2).14.由條件知：a1=1+x，a2=1+x

11、+2x2，a3=1+x+2x2+3x3，a4=1+x+2x2+3x3+4x4故其前4項之和是a1+a2+a3+a4=4+4x+6x2+6x3+4x4.15.由題意得ab=且ab2=a=，b=4f(x)= .(2)an=log2f(n)=log2f(n)=log2=2n-5(nn*)，an+1-an=2(nn*)，故an是公差為2的等差數(shù)列，且a1=-3，由sn=n(a1+an)s30=30(-3+230-5)=780. 16.(1)設(shè)f(x)=kx+b(k0)，則ff(1)=k(k+b)+b=-1即k2+kb+b+1=0，又f -1(x)= -是曲線c的解析式，點(diǎn)(n，)在曲線c上，f -1(

12、n)-f -1(n-1)=-=1，又f -1(n)-f -1(n-1)= =，故k=1代入k2+kb+b+1=0得b=-1，f(x)=x-1f -1(x)=x+1，曲線c為：x-y+1=0.(2)由(1)知當(dāng)x=n時，f -1(x)=n+1，故=n+1，而a1=1于是=234n，即an=n!.(3)，sn=-sn=.17.f(1)=的正弦=，f(2)=sin=，f(3)=sin=1，f(4)=sin=，f(5)=sin=，f(6)=0，f(7)=-，f(8)=- ，f(9)=-1，f(10)=-，f(11)=- ，f(12)=0，f(1)+f(2)+f(12)=0，f(1)+f(2)+f(2004)=167f(1)+f(2)+f(3)+f(12)=0.18.(1)由已知a2+a1=-51，又a=-20，a2=-31由an+2-an=3，數(shù)列an的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別成公差為3的等差數(shù)列.當(dāng)n為奇數(shù)時，an=-20+3=(3n-43)；當(dāng)n為偶數(shù)時，an=-31+3=(3n-68)故an=.(2)當(dāng)n為偶數(shù)時，sn=(a1+a2)+(a3+a4)+(an-1+an)=(31-54)+(33-54)+3(n-1)-54=31+3+5+(n-1)-54=n2-27n；此時當(dāng)n=18時，(sn)min=-243；當(dāng)n為奇數(shù)時，sn=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+(an-1+a