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1、最新資料推薦導(dǎo)數(shù)解答題題型分類之拓展篇(一)編 制 : 王 平審 閱:朱成2014-05-31題型一:最常見的關(guān)于函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;極值;最值;不等式恒成立;經(jīng)驗1:此類問題提倡按以下三個步驟進(jìn)行解決:第一步:令 f ( x) 0 得到幾個根;第二步:列表如下;第三步:由表可知;經(jīng)驗2:不等式恒成立問題的實質(zhì)是函數(shù)的最值問題,常見處理方法有四種:第一種:變更主元(即關(guān)于某字母的一次函數(shù)) ;題型特征(已知誰的范圍就把誰作為主元); 第二種:分離變量求最值(請同學(xué)們參考例5);第三種:關(guān)于二次函數(shù)的不等式恒成立;第四種:構(gòu)造函數(shù)求最值;題型特征( f ( x)g( x) 恒成立h( x) f (

2、x) g (x) 0 恒成立);參考例 4;例 1.已知函數(shù) f (x)1x3bx22x a , x 2 是 f (x) 的一個極值點3()求 f (x) 的單調(diào)遞增區(qū)間;()若當(dāng) x1, 3 時, f ( x) a22恒成立,求 a 的取值范圍3例 2. 設(shè) f ( x)2x2, g (x) ax 5 2a( a 0) 。x1(1)求 f ( x) 在 x0,1 上的值域;(2)若對于任意x1 0,1 ,總存在 x00,1 , 使得 g(x0 )f ( x1 ) 成立 , 求 a 的取值范圍。1最新資料推薦例 3. 已知函數(shù) f (x)x3ax2 圖象上一點 P(1,b) 的切線斜率為 3

3、,g (x) x3t 6 x2(t1)x3(t0)2()求 a,b 的值;()當(dāng) x 1,4 時,求 f (x) 的值域;()當(dāng) x1,4 時,不等式 f ( x) g(x) 恒成立,求實數(shù) t 的取值范圍。例 4. 已知定義在 R 上的函數(shù)f (x) ax32(a)在區(qū)間2,1上的最大值是,最小值是2axb05 11.()求函數(shù)f ( x) 的解析式;()若 t 1,1 時, f (x) tx0 恒成立,求實數(shù)x 的取值范圍 .例 5.已知函數(shù) f ( x)x 3圖象上斜率為 3的兩條切線間的距離為2 10 ,函數(shù)a 25g (x)3bx 23 f ( x)a 2(1) 若函數(shù) g( x)

4、在 x1處有極值,求 g( x) 的解析式;(2) 若函數(shù) g( x) 在區(qū)間 1,1 上為增函數(shù),且 b 2mb 4g( x) 在區(qū)間 1,1 上都成立,求實數(shù)m 的取值范圍2最新資料推薦題型二:已知函數(shù)在某個區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)的范圍及函數(shù)與x 軸即方程根的個數(shù)問題;經(jīng)驗 1:已知函數(shù)在某個區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)的范圍的常用方法有三種:第一種:轉(zhuǎn)化為恒成立問題即f ()0 ( )0在給定區(qū)間上恒成立,然后轉(zhuǎn)為不等式恒成立x或 fx問題;用分離變量時要特別注意是否需分類討論(看是否在0 的同側(cè)),如果是同側(cè)則不必分類討論;若在 0 的兩側(cè),則必須分類討論,要注意兩邊同處以一個負(fù)數(shù)時不等號的方向

5、要改變!有時分離變量解不出來,則必須用另外的方法;第二種:利用子區(qū)間(即子集思想) ;首先求出函數(shù)的單調(diào)增或減區(qū)間,然后讓所給區(qū)間是求的增或減區(qū)間的子集;參考 08 年高考題;第三種方法:利用二次方程根的分布, 著重考慮端點函數(shù)值與 0 的關(guān)系和對稱軸相對區(qū)間的位置;可參考第二次市統(tǒng)考試卷;特別說明:做題時一定要看清楚“在( a,b )上是減函數(shù)”與“函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是( a,b )”,要弄清楚兩句話的區(qū)別;經(jīng)驗 2:函數(shù)與 x 軸即方程根的個數(shù)問題解題步驟第一步:畫出兩個圖像即“穿線圖” (即解導(dǎo)數(shù)不等式)和“趨勢圖”即三次函數(shù)的大致趨勢“是先增后減再增”還是“先減后增再減” ;第二步:由趨

6、勢圖結(jié)合交點個數(shù)或根的個數(shù)寫不等式(組) ;主要看極大值和極小值與0 的關(guān)系;第三步:解不等式(組)即可;例 6已知函數(shù) f ( x)1 x3( k 1) x 2 , g (x)1kx ,且 f ( x) 在區(qū)間 (2, ) 上為增函數(shù)323k 的取值( )求實數(shù) k 的取值范圍;( )若函數(shù) f ( x)與 g (x) 的圖象有三個不同的交點,求實數(shù)12范圍例 7. 已知函數(shù) f (x)ax33x213 .a(I )討論函數(shù) f ( x) 的單調(diào)性。(II )若函數(shù) yf (x) 在 A、B 兩點處取得極值,且線段AB與 x 軸有公共點,求實數(shù)a 的取值范圍。3最新資料推薦例 8已知函數(shù) f

7、(x) x3ax2 4x 4a,其中 a 為實數(shù)( ) 求導(dǎo)數(shù) f (x) ; ( ) 若 f ( 1) 0,求 f(x) 在 2,2 上的最大值和最小值;( ) 若 f(x) 在( , 2 和2 , ) 上都是遞增的,求a 的取值范圍例 9. 已知:函數(shù) f ( x)x3ax 2(I )若函數(shù) f ( x) 的圖像上存在點(II )若函數(shù) f (x) 在 x 1和 x 范圍 .bxcP ,使點 P 處的切線與 x 軸平行,求實數(shù) a, b 的關(guān)系式;3 時取得極值且圖像與x 軸有且只有 3 個交點,求實數(shù) c 的取值例 10設(shè) yf ( x) 為三次函數(shù),且圖像關(guān)于原點對稱,當(dāng)x1 時, f

8、 (x) 的極小值為 12()求 f (x) 的解析式;()證明:當(dāng) x (1, ) 時,函數(shù) f ( x) 圖像上任意兩點的連線的斜率恒大于 0例 11在函數(shù) f (x)ax3bx(a 0) 圖像在點( 1, f ( 1)處的切線與直線 6x y 70. 平行,導(dǎo)函數(shù) f (x) 的最小值為12。( 1)求a、b 的值;( )討論方程 f ( x)m 解的情況(相同根2算一根)。4最新資料推薦導(dǎo)數(shù)解答題題型分類之拓展篇(二)編 制 : 王 平審 閱:朱 成 2014-06-01例 12已知定義在 R上的函數(shù)( )3(, ,)f ( x) 取得極大值,f1 時,3x axbx c abc R

9、,當(dāng) xf (0) 1.()求 f ( x) 的解析式;()已知實數(shù) t 能使函數(shù) f (x) 在區(qū)間 (t, t3) 上既能取到極大值,又能取到極小值,記所有的實數(shù) t 組成的集合為 M.請判斷函數(shù) g( x)f ( x) (x M ) 的零點個數(shù) .x例 13. 已知函數(shù)( )33(1) 22 24,若( )的單調(diào)減區(qū)間為(, )f xkxkxkf x0 4(I )求 k 的值;1,1, 關(guān)于 x的方程 2 x2(II )若對任意的 t5xa f (t ) 總有實數(shù)解,求實數(shù) a 的取值范圍。例 14. 已知函數(shù) f (x) ax3bx 2x( x R,a,b 是常數(shù) ) ,且當(dāng) x1和

10、x 2 時,函數(shù) f ( x) 取得極值 .()求函數(shù) f (x) 的解析式;()若曲線 yf ( x) 與 g( x)3x m( 2 x 0) 有兩個不同的交點,求實數(shù) m 的取值范圍 .例 15. 已知 f (x) x3 bx2 cx2若 f(x) 在 x 1時有極值 1,求 b、 c 的值;若函數(shù) yx2x5的圖象與函數(shù) y k2 的圖象恰有三個不同的交點,求實數(shù)k 的取值范圍x5最新資料推薦例 16.設(shè)函數(shù) f (x)1 x3 x 2 ax , g (x) 2x b ,當(dāng) x 12 時, f ( x) 取得極值 .3(1)求 a 的值,并判斷f (12) 是函數(shù) f ( x) 的極大值

11、還是極小值;( 2)當(dāng) x 3,4 時,函數(shù) f (x) 與 g (x) 的圖象有兩個公共點,求b 的取值范圍 .題型三:函數(shù)的切線問題;經(jīng)驗 1:在點處的切線,易求;經(jīng)驗 2:過點作曲線的切線需四個步驟;第一步:設(shè)切點,求斜率;第二步:寫切線(一般用點斜式) ;第三步:根據(jù)切點既在曲線上又在切線上得到一個三次方程;第四步:判斷三次方程根的個數(shù);例 17. 已知函數(shù) f ( x)ax 3bx 2cx 在點 x0 處取得極小值 4,使其導(dǎo)數(shù)f ( x)0 的 x 的取值范圍為 (1,3) ,求:( 1) f (x) 的解析式;( 2)若過點 P( 1,m) 可作曲線 y f (x) 的三條切線,

12、求實數(shù) m 的取值范圍例 18.已知 f (x)x3ax24x ( a 為常數(shù))在 x2 時取得一個極值,( 1)確定實數(shù) t 的取值范圍,使函數(shù)f ( x) 在區(qū)間 t,2 上是單調(diào)函數(shù);( 2)若經(jīng)過點 A(2,c)( c8 )可作曲線 yf ( x) 的三條切線,求 c 的取值范圍6最新資料推薦題型四:函數(shù)導(dǎo)數(shù)不等式線性規(guī)劃結(jié)合;例 19. 設(shè)函數(shù) g( x)1 x3 1 ax 2 bx(a,b R) ,在其圖象上一點 F ( x, y) 處的切線的斜率記為 f ( x) 3 2(1) 若方程 f ( x) 有兩個實根分別為 -2 和 4,求 f ( x) 的表達(dá)式;(2) 若 g( x

13、) 在區(qū)間 1,3 上是單調(diào)遞減函數(shù),求 a2 b2 的最小值。例 20. 已知函數(shù) f ( x)1 x3ax 2bx(a, b R)311) 處的切線的斜率為(1)若 yf ( x) 圖象上的是 (1,4, 求 y f ( x) 的極大值。3(2) yf ( x) 在區(qū)間 1,2上是單調(diào)遞減函數(shù),求 ab 的最小值。例 21. 已知函數(shù) f ( x)mx 3nx 2 ( m , nR , mn 且 m0 )的圖象在 (2,f (2) 處的切線與 x軸平行 .(I) 試確定 m 、 n 的符號;(II)若函數(shù) yf ( x) 在區(qū)間 n, m 上有最大值為 mn2 ,試求 m 的值 .7最新資

14、料推薦題型五:函數(shù)導(dǎo)數(shù)不等式的結(jié)合例 22. 已知函數(shù) f xab x0 ,其中 a, b R .xx()若曲線 y f x在點 P 2, f2 處的切線方程為 y3x 1 ,求函數(shù) f x 的解析式;()討論函數(shù) f x 的單調(diào)性;()若對于任意的 a1 ,2,不等式 f x 10 在 1,1上恒成立,求 b 的取值范圍 .24例 23. 已知函數(shù) f ( x)1321(x R, a , b 為實數(shù))有極值,且在 x1處的切線與直線3 xax bxx y 1 0 平行 .(1)求實數(shù) a 的取值范圍;f ( x) 的極小值為,若存在,求出實數(shù) a 的值;若不存在,( )是否存在實數(shù) a,使得

15、函數(shù)21請說明理由;例 24. 已知函數(shù)f x1 ax31 x2cx d( 、 )滿足且f ( x) 0 在 R()f (0) 0, f (1)04acd R3上恒成立。(1)求 a、c、d 的值;(2)若 h( x)3 x2bxb1 ,解不等式 f ( x) h(x)0 ;424例 25. 設(shè)函數(shù) f ( x)x(xa)2 ( x R),其中 aR(1)當(dāng) a1 時,求曲線 yf ( x) 在點( 2, f (2))處的切線方程;(2)當(dāng) a0 時,求函數(shù) f ( x) 的極大值和極小值;(3)當(dāng) a3 時,證明存在 k 1,0 ,使得不等式 f ( k cos x) f (k 2cos2

16、x) 對任意的 xR恒成立。8最新資料推薦導(dǎo)數(shù)解答題題型分類之拓展篇答案 2014-05-31題型一 例 1、解:() f ( x)x22bx 2 . x2是 f ( x) 的一個極值點, x 2 是方程 x22bx20的一個根,解得 b3 .令 f (x)0 ,則 x223x20 ,解得 x1或 x 2 .函數(shù) yf ( x) 的單調(diào)遞增區(qū)間為 (, 1) , (2,+) .()當(dāng) x (1,2) 時 f ( x)0 , x (2,3)時 f (x)0 , f ( x) 在( 1, 2)上單調(diào)遞減, f (x) 在( 2,3)上單調(diào)遞增 . f (2) 是 f ( x) 在區(qū)間 1 , 3上

17、的最小值,且 f (2)2a .若當(dāng) x1, 3 時,要使 f ( x)a22 恒成立,只需f (2) a2 2 , 即 232 ,解得 03a a2a1.3332x22x2例 2、解: (1)4x( x1)4x0在 x0,1 上恒成立 .法一 :( 導(dǎo)數(shù)法 ) f ( x)1)2( x1)2(x f ( x) 在0,1 上增, f ( x) 值域 0,1 。2x20, x02, x (0,1, 復(fù)合函數(shù)求值域 .法二 : f ( x)1x 11xx22x22( x1)24( x1) 22( x1)法三 : f ( x)x1x 1(2) f (x) 值域 0,1, g( x)ax52a(a0)

18、 在 x由條件 , 只須 0,152a,552a0a ,24 用 對號函數(shù)求值域 .x10,1 上的值域 52a,5a .5a4 .5 a1例 3、解:() f / (x) 3x22ax f / (1)3,b1a2解得a3b2()由()知,f (x) 在 1,0 上單調(diào)遞增,在 0,2上單調(diào)遞減,在 2,4上單調(diào)遞減又f ( 1)4, f (0)0, f ( x) minf (2)4, f ( x) maxf (4)16 f (x) 的值域是 4,16()令 h(x)f (x)g ( x)tx2(t1)x3x1,42,即 t ( x2要使 f (x)g( x) 恒成立,只需 h(x)02x)2

19、x6(1)當(dāng) x1,2)時 t2 x6 ,解得 t1 ;(2)當(dāng) x2 時tR ;x22x(3)當(dāng) x(2,4 時 t2x6 解得 t8 ;綜上所述所求 t的范圍是 ( , 1 8,)x22x例 4、解:()f ( x) ax32ax2b,f ( x)3ax24axax(3x 4)令 f ( x) =0, 得 x10, x242,13因為 a0 ,所以可得下表:x2,000,19最新資料推薦f( x)+0-f ( x)極大因此f (0)必為最大值 , f(0) 5因此 b5 ,f ( 2)16a 5,f (1)a 5,f (1),f ( 2)即 f ( 2)16 a511 , a1 , f (

20、 x) x 32x 25.() f(x)3x 24x , f(x) tx0 等價于 3x 24 xtx0 , 令 g(t )xt3x24x ,則問題就是 g(t )0 在 t1,1上恒成立時,求實數(shù) x 的取值范圍,為此只需g(1)0g(,即01)3x 25x0,x2x0解得 0x1,所以所求實數(shù) x 的取值范圍是 0 ,1.例 5、解: f( x)3x2,由323有 xa ,即切點坐標(biāo)為 (a, a) , (a,a)a22 xa切線方程為 ya3( xa) ,或 ya3( xa) ,整理得3xy2a0 或 3xy2a0 |2a2a |210 ,解得 a1 ,f ( x)3, g( x)x33

21、bx3。( )g ( x)3x23b,32( 1) 25x1g (x) 在 x1處有極值, g (1)0,即3123b 0,解得 b1, g ( x)x 33x3(2)函數(shù) g (x) 在區(qū)間 1,1上為增函數(shù), g (x)3x 23b0 在區(qū)間 1,1上恒成立, b0,又 b 2mb4g(x) 在區(qū)間 1,1 上恒成立, b2mb4g(1) ,即 b 2mb443b ,m b3 在 b(,0 上恒成立, m3 m 的取值范圍是 3,題型二答案:例 6 解:(1)由題意 f(x)x2(k1) x f ( x) 在區(qū)間 (2,) 上為增函數(shù), f ( x)x2(k1) x0在區(qū)間 (2,) 上恒

22、成立即 k1x 恒成立,又 x2 , k12 ,故 k1 k 的取值范圍為 k1(2)設(shè) h( x)f ( x)g (x)x3(k21) x 2kx1 ,h ( x) x233(k 1)x k ( x k )( x 1)令 h ( x)0 得 xk 或 x1 由( 1)知 k1,當(dāng) k1時,h(x)(x1) 20,h(x) 在 R上遞增,顯然不合題意當(dāng) k1時,h( x),h (x)隨 x 的變化情況如下表:x(, k )k(k,1)1(1,)h (x)00h( x)極大值k 3k 21極小值k 16232由于 k10,欲使 f (x) 與 g ( x) 的圖象有三個不同的交點, 即方程 h(

23、 x)0有三個不同的實根,2k1k3k210 ,即 (k1)(k 22k2)0,解得 k13故需k 22k26230綜上,所求 k 的取值范圍為 k13例 7、解:(1)()326,得或2,當(dāng)時,遞增2遞減2fxaxxf( x)0x10x2aa0(,0), (0,a),(a,)遞增;10最新資料推薦當(dāng) a0 時x( ,0)0(0,2 )2(2 , )aaaf (x)+00+f ( x)增極大值減極小值增此時,極大值為 f (0)13 , 極小值為 f ( 2 )413 . 7 分aaa2a當(dāng) a0 時x( , 2)2( 2 ,0)0(0, )aaaf (x)0+0f ( x)減極小值增極大值減

24、此時,極大值為24133. 因為線段 AB與 x 軸有公共點所以f ( )2, 極小值為 f (0)1aaaaf (0) f ( 2 )0即 (a 3)( a4)(a1)0, 解得 a 1,0) 3,4aa3例 8、解:() f (x) 3x 2 2ax 4()由 f(1)0得 a1 ,f ( x)x31 x24x2. f( x)3x 2x 4 ,由 f( x)0得 x4或223x= 1又 f ( 4 )50 , f ( 1)9 , f (2)0, f (2)0,f ( x) 在 -2,2 上最大值 9 ,最小值503272227() f (x)3x22ax4 , 由題意知 f(2)0,4a8

25、0,f(2) 0,84a0,2a 2.22a2,6a6,6例 9、解:(I )設(shè)切點 P (x , y)f (x)3x22axb|x x0,22axb0, 因為存在極3x值點,所以4 2120,即a23b。(II)因為x1,x 3是方程 f (x)3x22axb0ab的根,所以 a3,b9,f (x)x33x29 xc 。f (x)3x26x9 3(x1)(x3),f(x)0, x3, x1;f (x)0,1x3f ( x) 在x1處取得極大值,在 x3 處取得極小值 .函數(shù)圖像與 x 軸有 3 個交點,f ( 1)0,f (3)0c(5,27)例 10解:()設(shè) f ( x) ax3bx2c

26、x d (a0)其圖像關(guān)于原點對稱, 即 f ( x)f (x)得ax3bx2cxdax3bx2cxd b0d0, 則有f ( x)ax3cx由f (x)3ax2c, 依題意得f10 3ac0 , f11 a1 c1由24282得 a4, c3故所求的解析式為: f ( x)4x33x. ()由 f ( x)12x230解得: x11(1 ,2或 x,(1,) x(1,) 時,函數(shù) f ( x) 單調(diào)遞增;設(shè) x1, y1,x2 , y2是2211最新資料推薦x (1,) 時,函數(shù) f ( x) 圖像上任意兩點,且 x2x1 ,則有 y2 y1 過這兩點的直線的斜率y2y10.kx1x2例 11、解:(1) f ( x) 3ax2 b的最小值為6x y 7 0的斜率為 6,因此 f (1) 3a b (2)由( 1)知 f (x) 2x3 12x, f ( x) 6xx(,2)2(f +0f (x)極大值所以,函數(shù) f ( x)的單調(diào)增區(qū)間是(,12,b12,且a 0.(3) 又直線6,a2,b12.(6 )2126( x2)( x2) ,列表如下:2 ,2)2( 2, )0+極小值2 ) 和 (2 ,)f ( 1)10, f ( 2 )82, f (3)在x2上的極大值是f (2)

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